Kąty wpisane i środkowe — wytłumaczenie, wzór i zadania

Kąt wpisany $\alpha$ jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego $\beta$ opartego na tym samym łuku: $\beta = 2\alpha$. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

• Środkowy $\textcolor{#0284c7}{\mathbf{100^\circ}}$ → wpisany $\tfrac{1}{2}\cdot 100^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{50^\circ}}$.
• Łuk to $\tfrac{1}{6}$ okręgu → środkowy $\tfrac{1}{6}\cdot 360^\circ = 60^\circ$ → wpisany $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{30^\circ}}$.
• Wierzchołek kąta wpisanego leży na krótszym łuku $AB$, a $\measuredangle AOB = 130^\circ$ → kąt opiera się na dłuższym łuku: $\tfrac{1}{2}(360^\circ-130^\circ)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{115^\circ}}$.
• Promienie $OA$, $OB$ i cięciwa $AB$ tworzą trójkąt równoramienny: $\measuredangle AOB = 80^\circ$ → $\measuredangle OAB = \tfrac{1}{2}(180^\circ-80^\circ)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{50^\circ}}$.

Na maturze: zadanie zwykle mówi „zobacz rysunek” — najpierw ustal, na którym łuku opiera się kąt (wierzchołek leży poza tym łukiem), dopiero potem licz. Własności kątów w okręgu nie ma w karcie wzorów CKE — $\beta=2\alpha$ trzeba znać. Gdy na rysunku jest środek okręgu i cięciwa, szukaj trójkąta równoramiennego z promieni; nadmiarowe dane (promień, drugi kąt) to często dystraktor.