Kąty wpisane i środkowe — zależność, przykłady i zadania

Q: Ile wynosi kąt wpisany oparty na średnicy?

Zawsze 90° — kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Dzięki temu w trójkącie wpisanym w okrąg, którego bokiem jest średnica, od razu znamy jeden kąt.

Q: Jak obliczyć kąt wpisany, gdy dany jest łuk?

Zamień łuk na kąt środkowy jako ułamek 360° i weź połowę. Łuk to 1/6 okręgu, więc kąt środkowy ma 60°, a kąt wpisany 30°.

Kąt wpisany $\alpha$ jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego $\beta$ opartego na tym samym łuku: $\beta = 2\alpha$ . Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

Planimetria · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Kąt środkowy a kąt wpisany $\alpha$ — kąt wpisany, $\beta$ — kąt środkowy oparty na tym samym łuku: $\beta = 2\alpha$

Kąt wpisany a kąt środkowy — jaka jest zależność

Kąt wpisany $\alpha$ jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego $\beta$ opartego na tym samym łuku: $\beta = 2\alpha$ . Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

Środkowy $\textcolor{#0284c7}{\mathbf{100^\circ}}$ → wpisany $\tfrac{1}{2}\cdot 100^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{50^\circ}}$ .
Łuk to $\tfrac{1}{6}$ okręgu → środkowy $\tfrac{1}{6}\cdot 360^\circ = 60^\circ$ → wpisany $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{30^\circ}}$ .
Wierzchołek kąta wpisanego leży na krótszym łuku $AB$ , a $\measuredangle AOB = 130^\circ$ → kąt opiera się na dłuższym łuku: $\tfrac{1}{2}(360^\circ-130^\circ)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{115^\circ}}$ .
Promienie $OA$ , $OB$ i cięciwa $AB$ tworzą trójkąt równoramienny: $\measuredangle AOB = 80^\circ$ → $\measuredangle OAB = \tfrac{1}{2}(180^\circ-80^\circ)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{50^\circ}}$ .

Jak rozwiązywać zadania z kątami w okręgu

Na maturze: zadanie zwykle mówi „zobacz rysunek” — najpierw ustal, na którym łuku opiera się kąt (wierzchołek leży poza tym łukiem), dopiero potem licz. Własności kątów w okręgu nie ma w karcie wzorów CKE — $\beta=2\alpha$ trzeba znać. Gdy na rysunku jest środek okręgu i cięciwa, szukaj trójkąta równoramiennego z promieni; nadmiarowe dane (promień, drugi kąt) to często dystraktor.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Kąt środkowy z kąta wpisanego i odwrotnie

Kąt wpisany BAD = 62°, kąt środkowy COD = 44°; punkt C leży na krótszym łuku BD

Przeliczasz kąt wpisany na środkowy oparty na tym samym łuku (środkowy jest dwa razy większy) i odwrotnie — także gdy zależność trzeba zapisać równaniem lub odjąć sąsiedni kąt środkowy.

Zadanie Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku O. Punkt C leży na krótszym łuku BD. Kąt BAD ma miarę 62°, a kąt COD ma miarę 44°. Oblicz miarę kąta BOC.

Kąt wpisany BAD i kąt środkowy BOD są oparte na tym samym łuku BD (punkt A leży poza tym łukiem), więc ∠BOD = 2 · 62° = 124°.
Punkt C leży na krótszym łuku BD, więc promień OC dzieli kąt BOD na dwa kąty: ∠BOD = ∠BOC + ∠COD.
Stąd ∠BOC = 124° − 44° = 80°.

Odpowiedź: 80°

Przykład 2 Kąt wpisany z łuku (ułamek okręgu, wielokąt foremny)

Dwunastokąt foremny wpisany w okrąg o środku S; kąt wpisany AHE oparty na łuku AE (4 boki)

Zamieniasz łuk podany jako ułamek okręgu lub liczbę boków wielokąta foremnego na kąt środkowy (ułamek z 360°) i bierzesz jego połowę.

Zadanie Na dwunastokącie foremnym ABCDEFGHIJKL opisano okrąg o środku S. Oblicz miarę kąta wpisanego AHE.

Każdy bok dwunastokąta foremnego wyznacza kąt środkowy 360° : 12 = 30°.
Kąt AHE jest oparty na łuku AE, który nie zawiera wierzchołka H; ten łuk obejmuje 4 boki (AB, BC, CD, DE), więc kąt środkowy ASE = 4 · 30° = 120°.
Kąt wpisany to połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku: ∠AHE = 120° : 2 = 60°.

Odpowiedź: 60°

Przykład 3 Kąt wpisany oparty na dłuższym łuku

Kąt środkowy KSM = 140°, punkt L na krótszym łuku KM — kąt KLM oparty na dłuższym łuku KM

Gdy wierzchołek kąta wpisanego leży na krótszym łuku, kąt opiera się na dłuższym łuku: liczysz 360° minus dany kąt środkowy i bierzesz połowę.

Zadanie Punkty K, L, M leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy KSM ma miarę 140°, a punkt L leży wewnątrz tego kąta (na krótszym łuku KM). Oblicz miarę kąta wpisanego KLM.

Punkt L leży na krótszym łuku KM, więc kąt KLM nie jest oparty na tym łuku — jest oparty na dłuższym łuku KM, na którym nie ma L.
Dłuższemu łukowi KM odpowiada kąt środkowy 360° − 140° = 220°.
Kąt wpisany to połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku: ∠KLM = 220° : 2 = 110°.

Odpowiedź: 110°

Przykład 4 Kąt przy cięciwie w trójkącie z dwóch promieni

Trójkąt ABC wpisany w okrąg, kąt ACB = 36°; trójkąt OAB równoramienny (OA = OB = r)

W trójkącie OAB z dwóch promieni kąty przy cięciwie AB są równe: z kąta środkowego liczysz kąt przy podstawie (180° − ∠AOB) : 2 i odwrotnie, a kąt środkowy bierzesz w razie potrzeby z kąta wpisanego.

Zadanie W trójkącie ABC wpisanym w okrąg o środku O kąt ACB ma miarę 36°. Oblicz miarę kąta ostrego OAB.

Kąt OAB leży w trójkącie OAB, którego boki OA i OB są promieniami, więc trójkąt jest równoramienny i ∠OAB = ∠OBA.
Kąt środkowy AOB i kąt wpisany ACB są oparte na tym samym łuku AB, więc ∠AOB = 2 · 36° = 72°.
Z sumy kątów trójkąta OAB: 2 · ∠OAB = 180° − 72° = 108°, stąd ∠OAB = 54°.

Odpowiedź: 54°

Przykład 5 Równe kąty wpisane i kąt oparty na średnicy

AC — średnica; kąt CAB = 34°; kąty ADB i ACB oparte na tym samym łuku AB

Przenosisz miarę kąta wpisanego na inny kąt oparty na tym samym łuku, kąt oparty na średnicy oznaczasz jako 90° i domykasz rachunek sumą kątów trójkąta lub kątem zewnętrznym.

Zadanie Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku S. Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, kąt CAB ma miarę 34°, a punkty C i D leżą po tej samej stronie cięciwy AB. Oblicz miarę kąta ADB.

Kąt ABC jest kątem wpisanym opartym na średnicy AC, więc ∠ABC = 90°.
W trójkącie ABC: ∠ACB = 180° − 90° − 34° = 56°.
Kąty ADB i ACB są wpisane i oparte na tym samym łuku AB (C i D leżą po tej samej stronie cięciwy AB), więc ∠ADB = ∠ACB = 56°.

Odpowiedź: 56°

Najczęstsze błędy

Wzięcie złego łuku. Kąt wpisany opiera się na łuku, na którym nie leży jego wierzchołek — gdy wierzchołek leży na krótszym łuku $AB$ , kąt ma $\tfrac{1}{2}(360^\circ - \measuredangle AOB)$ .
Podwojenie zamiast połowy: kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od środkowego ( $\beta = 2\alpha$ ), więc środkowemu $100^\circ$ odpowiada wpisany $50^\circ$ .
Przeoczenie trójkąta równoramiennego z promieni: $OA = OB$ , więc kąty przy cięciwie $AB$ są równe i każdy ma $\tfrac{1}{2}(180^\circ - \measuredangle AOB)$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W okręgu kąt środkowy β oraz kąt wpisany α są oparte na tym samym łuku. Kąt β ma miarę o 33° większą od kąta α. Miara kąta β jest równa:

Zadanie 2

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Długość łuku AB, na którym jest oparty kąt wpisany ACB, jest równa 3/8 długości okręgu. Miara kąta ACB jest równa:

Zadanie 3

Kąt środkowy KSM = 128°, punkt L wewnątrz tego kąta

Punkty K, L, M leżą na okręgu o środku S. Miara kąta KSM jest równa 128°, a punkt L leży wewnątrz tego kąta. Miara kąta wpisanego KLM jest równa:

Zadanie 4

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku O. Miara kąta BCA jest równa 64°. Miara kąta ostrego ABO jest równa:

Zadanie 5

Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K; ∠ADB = 23°, ∠DBC = 44°

Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie, że ∠ADB = 23° i ∠DBC = 44°; punkty A i B leżą po tej samej stronie cięciwy CD. Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K. Miara kąta DKC jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 23

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$ . Kąt $ACO$ ma miarę $70^{\circ}$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kąty środkowe i wpisane w okręgu (kurs) Matemaks

Kąt środkowy i kąt wpisany Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jaka jest zależność między kątem wpisanym a środkowym?

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku: $\beta = 2\alpha$ . Kątowi środkowemu $100^\circ$ odpowiada kąt wpisany $\tfrac{1}{2}\cdot 100^\circ = 50^\circ$ .

Ile wynosi kąt wpisany oparty na średnicy?

Zawsze $90^\circ$ — kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Dzięki temu w trójkącie wpisanym w okrąg, którego bokiem jest średnica, od razu znamy jeden kąt.

Jak rozpoznać, na którym łuku oparty jest kąt wpisany?

Kąt wpisany opiera się na łuku, na którym nie leży jego wierzchołek. Gdy wierzchołek leży na krótszym łuku $AB$ , a $\measuredangle AOB = 130^\circ$ , kąt wpisany ma $\tfrac{1}{2}(360^\circ - 130^\circ) = 115^\circ$ .

Czy kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe?

Tak — wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają tę samą miarę, równą połowie kąta środkowego opartego na tym łuku.

Jak obliczyć kąt wpisany, gdy dany jest łuk?

Zamień łuk na kąt środkowy jako ułamek $360^\circ$ i weź połowę. Łuk to $\tfrac{1}{6}$ okręgu, więc kąt środkowy ma $60^\circ$ , a kąt wpisany $30^\circ$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Kąty i przekątne czworokątów Planimetria Pole wycinka i długość łuku Planimetria Wielokąty foremne Planimetria Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę