Planimetria · matura podstawowa 2 LO →

Punkty szczególne trójkąta — wytłumaczenie, wzór i zadania

Cztery punkty szczególne trójkąta to przecięcia czterech rodzajów prostych: symetralne boków → środek okręgu opisanego (równo oddalony od wierzchołków), dwusieczne kątów → środek okręgu wpisanego (równo oddalony od boków), wysokości → ortocentrum, środkowe → środek ciężkości. Zadania sprawdzają nie definicje, lecz własności: gdzie punkt leży, jak dzieli odcinek, jakie kąty tworzy.

Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2:1$ , licząc od wierzchołka: środkowa $12$ → odcinki $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$ (przy wierzchołku) i $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ (przy boku).
Trójkąt prostokątny: środek okręgu opisanego to środek przeciwprostokątnej, a ortocentrum to wierzchołek kąta prostego. Przyprostokątne $6$ i $8$ → $c = 10$ , $R = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{5}}$ .
Trójkąt równoboczny: wszystkie cztery punkty pokrywają się, $R = \frac{2}{3}h$ , $r = \frac{1}{3}h$ . Bok $6$ → $h = 3\sqrt{3}$ , $R = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2\sqrt{3}}}$ , $r = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt{3}}}$ .
Kąty: $|OA| = |OB| = |OC|$ daje trójkąty równoramienne, np. $|\angle OAB| = 20^\circ \Rightarrow |\angle AOB| = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{140^\circ}}$ . Środek $S$ okręgu wpisanego leży na dwusiecznych, więc $|\angle ASB| = 90^\circ + \frac{1}{2}|\angle ACB|$ : dla $|\angle ACB| = 40^\circ$ jest $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{110^\circ}}$ .

Na maturze: karta wzorów CKE podaje dla trójkąta równobocznego $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ — promienie liczysz z niej: $R = \frac{2}{3}h$ , $r = \frac{1}{3}h$ . Zadanie zwykle brzmi „punkt $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie…” i wymaga zauważenia równych promieni $|OA| = |OB| = |OC|$ , albo podaje przyprostokątne i pyta o promień (najpierw Pitagoras, potem $R = \frac{c}{2}$ ). Pułapka: stosunek $2:1$ liczy się od wierzchołka — dłuższa część jest przy wierzchołku, krótsza przy boku.

Przykład krok po kroku

Punkt O leży wewnątrz trójkąta ABC i spełnia |OA| = |OB| = |OC|. Punkt S jest jednakowo oddalony od prostych AB, BC i CA. Które proste przecinają się w punkcie O, a które w punkcie S? Gdzie leżałby punkt O, gdyby kąt ACB był prosty?

1 |OA| = |OB| oznacza, że O leży na symetralnej boku AB; tak samo |OB| = |OC| daje symetralną BC. Punkt O to przecięcie symetralnych boków — środek okręgu opisanego (przechodzącego przez A, B, C).
2 Równa odległość od prostych AB, BC, CA oznacza, że S leży na dwusiecznych kątów trójkąta — S to środek okręgu wpisanego, który zawsze leży wewnątrz trójkąta.
3 Gdy kąt ACB jest prosty, kąt wpisany ACB jest oparty na średnicy, więc AB jest średnicą okręgu opisanego — O to środek boku AB (leży na brzegu trójkąta, nie w środku).
4 Dla porównania: w trójkącie ostrokątnym O leży wewnątrz, w rozwartokątnym — na zewnątrz, za bokiem naprzeciw kąta rozwartego.

Odpowiedź: O — przecięcie symetralnych boków (środek okręgu opisanego); S — przecięcie dwusiecznych (środek okręgu wpisanego); przy kącie prostym w C punkt O jest środkiem boku AB.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Dwusieczna, symetralna, środkowa — własności i twierdzenia PATOMATMA

Okrąg opisany na trójkącie — symetralne boków Wzorowanie

Sprawdź się na zadaniach

Próbka — pełny zestaw z informacją zwrotną jest w aplikacji.

Zadanie

Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wynika stąd, że:

app.compass-matematyka.pl

Lekcja „Punkty szczególne trójkąta" w aplikacji Compass

Opanuj „Punkty szczególne trójkąta" do końca — w Compass

Rozumiesz temat. Na egzaminie liczy się powtarzalność — że rozwiążesz każdy wariant pewnie. W aplikacji Compass masz prowadzoną ścieżkę zadań, interaktywne rysunki i zadania w formacie CKE — tyle, ile trzeba, aż temat będzie naprawdę opanowany.

Wypróbuj 7 dni za darmo Zobacz cennik

Sprawdź, czy naprawdę to umiesz

Jeden przykład to nie to samo co opanowany temat. Darmowy test diagnostyczny Compass w kilkanaście minut pokaże, czy ten i pozostałe tematy egzaminu są u Ciebie pewne — i od czego zacząć.

Zrób darmową diagnozę

Najczęstsze pytania

Odpowiedź: O — przecięcie symetralnych boków (środek okręgu opisanego); S — przecięcie dwusiecznych (środek okręgu wpisanego); przy kącie prostym w C punkt O jest środkiem boku AB.. |OA| = |OB| oznacza, że O leży na symetralnej boku AB; tak samo |OB| = |OC| daje symetralną BC. Punkt O to przecięcie symetralnych boków — środek okręgu opisanego (przechodzącego przez A, B, C). Równa odległość od prostych AB, BC, CA oznacza, że S leży na dwusiecznych kątów trójkąta — S to środek okręgu wpisanego, który zawsze leży wewnątrz trójkąta. Gdy kąt ACB jest prosty, kąt wpisany ACB jest oparty na średnicy, więc AB jest średnicą okręgu opisanego — O to środek boku AB (leży na brzegu trójkąta, nie w środku). Dla porównania: w trójkącie ostrokątnym O leży wewnątrz, w rozwartokątnym — na zewnątrz, za bokiem naprzeciw kąta rozwartego.

Inne tematy z matematyki

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Rozpoznawanie rodzajów trójkątów Planimetria Trygonometria w figurach płaskich Planimetria Twierdzenie Talesa Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Szykujesz się do egzaminu? Zobacz cały kurs do matury podstawowej →