Rozpoznawanie rodzajów trójkątów — ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny

Q: Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Podnieś do kwadratu najdłuższy bok i porównaj z sumą kwadratów pozostałych. Gdy c² = a² + b², trójkąt jest prostokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa), np. boki 2, √5, 3: 9 = 4 + 5.

Q: Jak sprawdzić, czy trójkąt jest ostrokątny czy rozwartokątny?

Gdy c² a² + b² — rozwartokątny (c to najdłuższy bok). Dla boków 4, 6, 7: 49 < 52, więc trójkąt jest ostrokątny.

Q: Jaki jest warunek istnienia trójkąta?

Najdłuższy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych. Boki 4, 5, 10 nie tworzą trójkąta, bo 4 + 5 = 9 < 10.

Q: Jak obliczyć największy kąt trójkąta z długości boków?

Z twierdzenia cosinusów: cos γ = (a² + b² - c²)/(2ab), gdzie c to najdłuższy bok. Dla boków 3, 5, 7: cos γ = -1/2, więc γ = 120° i trójkąt jest rozwartokątny.

Q: Który bok leży naprzeciw największego kąta?

Najdłuższy — naprzeciw większego kąta zawsze leży dłuższy bok. W trójkącie o kątach 50°, 60°, 70° najdłuższy bok leży naprzeciw kąta 70°.

Dla boków $a \le b \le c$ : gdy $c^2 < a^2 + b^2$ , trójkąt jest ostrokątny, gdy $c^2 = a^2 + b^2$ — prostokątny, gdy $c^2 > a^2 + b^2$ — rozwartokątny. Trójkąt istnieje tylko wtedy, gdy najdłuższy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.

Planimetria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Trójkąt prostokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa) $c$ — najdłuższy bok, $a$ , $b$ — pozostałe boki; gdy $c^2 < a^2 + b^2$ — ostrokątny, gdy $c^2 > a^2 + b^2$ — rozwartokątny: $c^2 = a^2 + b^2$
Cosinus największego kąta $\gamma$ — kąt naprzeciw najdłuższego boku $c$ ; znak licznika to znak $\cos\gamma$: $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Twierdzenie cosinusów $\alpha$ — kąt między bokami $b$ i $c$ , leżący naprzeciw boku $a$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny

O rodzaju trójkąta o bokach $a \le b \le c$ rozstrzyga porównanie $c^2$ z $a^2 + b^2$ : gdy $c^2 < a^2 + b^2$ , trójkąt jest ostrokątny, gdy $c^2 = a^2 + b^2$ — prostokątny, gdy $c^2 > a^2 + b^2$ — rozwartokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa). Ten sam test kryje się w twierdzeniu cosinusów: $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ , więc znak licznika to znak cosinusa największego kąta. Trójkąt w ogóle istnieje tylko wtedy, gdy najdłuższy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych, a naprzeciw większego kąta zawsze leży dłuższy bok.

Przykłady: rodzaj trójkąta z długości boków

Boki $4, 6, 7$ : $7^2 = 49$ , $4^2 + 6^2 = 52$ , $49 < 52$ — trójkąt $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{ostrokątny}}$ .
Boki $2, \sqrt{5}, 3$ : $3^2 = 9$ i $2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$ — trójkąt $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{prostokątny}}$ .
Boki $3, 5, 7$ : $\cos\gamma = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = -\frac{1}{2}$ , więc największy kąt ma $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{120^\circ}}$ — trójkąt rozwartokątny.
Boki $4, 5, 10$ : $4 + 5 = 9 < 10$ — taki trójkąt $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{nie\ istnieje}}$ .
Kąty $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$ : najdłuższy bok leży naprzeciw kąta $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{70^\circ}}$ .

Rodzaje trójkątów na maturze

Na maturze: karta wzorów CKE podaje twierdzenie cosinusów ( $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ ) i twierdzenie Pitagorasa — reguły „ $c^2$ kontra $a^2 + b^2$ ” tam nie ma, ale to dokładnie twierdzenie cosinusów dla $\cos\gamma = 0$ . Zadanie za 1 pkt to zwykle „trójkąt o bokach … jest: ostrokątny / prostokątny / rozwartokątny” albo ocena P/F: dane dwa boki i kąt między nimi (maj 2025: $11$ , $12$ i $60^\circ$ ) — trzeci bok liczysz z twierdzenia cosinusów, pole z $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ . Pułapka: podnoś do kwadratu NAJDŁUŻSZY bok, a przy bokach z pierwiastkami pamiętaj, że $(\sqrt{7})^2 = 7$ , nie $49$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Rodzaj trójkąta z boków — porównanie c^{do potęgi 2} z a^{do potęgi 2} + b^{do potęgi 2}

Wskazujesz najdłuższy bok c i porównujesz c^{do potęgi 2} z a^{do potęgi 2} + b^{do potęgi 2}: równość daje trójkąt prostokątny, mniej — ostrokątny, więcej — rozwartokątny.

Zadanie Trójkąt ma boki długości $\sqrt{7}$ , $3$ i $4$ . Rozstrzygnij, czy jest on ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny.

Ustalam najdłuższy bok: $\sqrt{7} < 3 < 4$ (bo $7 < 9$ ), więc $c = 4$ i to jego kwadrat porównuję z sumą kwadratów pozostałych: $c^2 = 16$ .
Kwadrat pierwiastka to liczba pod pierwiastkiem: $(\sqrt{7})^2 = 7$ , a $3^2 = 9$ , zatem $a^2 + b^2 = 7 + 9 = 16$ .
Porównuję: $16 = 16$ , czyli $c^2 = a^2 + b^2$ — z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciw boku $4$ .

Odpowiedź: Trójkąt prostokątny (kąt prosty naprzeciw boku $4$ ).

Przykład 2 Warunek istnienia trójkąta i możliwe długości trzeciego boku

Sprawdzasz, czy najdłuższy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych, i wyznaczasz przedział, w którym może leżeć długość trzeciego boku.

Zadanie Dwa boki trójkąta mają długości $4$ i $9$ . Ile jest liczb całkowitych, które mogą być długością trzeciego boku tego trójkąta?

Trzeci bok $x$ nie może być dłuższy ani równy sumie pozostałych, bo wtedy „trójkąt” spłaszcza się do odcinka: $x < 4 + 9$ , czyli $x < 13$ .
Ten sam warunek musi spełniać bok $9$ , gdy to on jest najdłuższy: $9 < 4 + x$ , czyli $x > 5$ (bok $4$ warunek $4 < 9 + x$ spełnia zawsze).
Łączę obie nierówności: $5 < x < 13$ — obie ostre, więc $5$ i $13$ odpadają.
Liczby całkowite od $6$ do $12$ : $12 - 6 + 1 = 7$ .

Odpowiedź: $7$ liczb ( $x \in \{6, 7, \dots, 12\}$ ).

Przykład 3 Kolejność boków trójkąta z miar kątów

Porządkujesz kąty trójkąta (dopełniając trzeci do 180°) i odczytujesz kolejność boków leżących naprzeciw nich — albo odwrotnie: z boków odczytujesz kolejność kątów.

Zadanie W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $35^\circ$ , a kąt przy wierzchołku $C$ ma miarę $100^\circ$ . Uporządkuj boki tego trójkąta od najdłuższego do najkrótszego.

Najpierw dopełniam trzeci kąt, bo bez niego nie da się uporządkować wszystkich boków: $|\angle B| = 180^\circ - 35^\circ - 100^\circ = 45^\circ$ .
Porządkuję kąty: $C = 100^\circ > B = 45^\circ > A = 35^\circ$ .
Każdemu kątowi przypisuję bok leżący naprzeciw (bok, który nie zawiera tego wierzchołka): naprzeciw $C$ jest $AB$ , naprzeciw $B$ jest $AC$ , naprzeciw $A$ jest $BC$ .
Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok, więc kolejność boków powtarza kolejność kątów: $|AB| > |AC| > |BC|$ .

Odpowiedź: $|AB| > |AC| > |BC|$ .

Przykład 4 Miara największego kąta z twierdzenia cosinusów

Z twierdzenia cosinusów liczysz cos γ = (a^{do potęgi 2} + b^{do potęgi 2} − c^{do potęgi 2})/(2ab) dla kąta naprzeciw boku c: znak mówi, czy kąt jest ostry, prosty czy rozwarty, a wartość — ile ma stopni; przy danym kącie liczysz trzeci bok.

Zadanie Trójkąt ma boki długości $7$ , $8$ i $13$ . Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta i podaj miarę tego kąta.

Największy kąt $\gamma$ leży naprzeciw najdłuższego boku, więc w twierdzeniu cosinusów wstawiam $c = 13$ : $13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos\gamma$ .
Wyznaczam cosinus: $\cos\gamma = \frac{7^2 + 8^2 - 13^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$ .
Cosinus ujemny oznacza kąt rozwarty (trójkąt rozwartokątny); wartość $-\frac{1}{2}$ to $\cos 120^\circ$ , bo $\cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ$ .
Największy kąt ma miarę $120^\circ$ .

Odpowiedź: $\cos\gamma = -\frac{1}{2}$ , $\gamma = 120^\circ$ .

Najczęstsze błędy

Podnoszenie do kwadratu nie tego boku. Z sumą kwadratów dwóch pozostałych porównujemy kwadrat NAJDŁUŻSZEGO boku.
Błąd przy bokach z pierwiastkami: $(\sqrt{7})^2 = 7$ , nie $49$ .
Sprawdzenie tylko jednej nierówności przy szukaniu trzeciego boku. Dla boków $4$ i $9$ trzeci bok spełnia $5 < x < 13$ — obie nierówności są ostre.
Porządkowanie boków bez trzeciego kąta. Najpierw dopełniamy kąty do $180^\circ$ , potem naprzeciw większego kąta wskazujemy dłuższy bok.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Który z trójkątów o podanych długościach boków jest rozwartokątny?

Zadanie 2

Ramię trójkąta równoramiennego ma długość $5$ . Długość podstawy tego trójkąta może być równa:

Zadanie 3

W trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $48^\circ$ , a kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $84^\circ$ . Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest:

Zadanie 4

W trójkącie $ABC$ dane są $|AB| = 5$ , $|BC| = 8$ i $|AC| = 7$ . Kąt $ABC$ ma miarę:

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie do niego odwrotne Lernado

Planimetria — teoria: najważniejsze fakty (pewniak maturalny) MiedzianyFsor

Najczęstsze pytania

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Podnieś do kwadratu najdłuższy bok i porównaj z sumą kwadratów pozostałych. Gdy $c^2 = a^2 + b^2$ , trójkąt jest prostokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa), np. boki $2$ , $\sqrt{5}$ , $3$ : $9 = 4 + 5$ .

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest ostrokątny czy rozwartokątny?

Gdy $c^2 < a^2 + b^2$ , trójkąt jest ostrokątny, a gdy $c^2 > a^2 + b^2$ — rozwartokątny ( $c$ to najdłuższy bok). Dla boków $4$ , $6$ , $7$ : $49 < 52$ , więc trójkąt jest ostrokątny.

Jaki jest warunek istnienia trójkąta?

Najdłuższy bok musi być krótszy od sumy dwóch pozostałych. Boki $4$ , $5$ , $10$ nie tworzą trójkąta, bo $4 + 5 = 9 < 10$ .

Jak obliczyć największy kąt trójkąta z długości boków?

Z twierdzenia cosinusów: $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ , gdzie $c$ to najdłuższy bok. Dla boków $3$ , $5$ , $7$ : $\cos\gamma = -\frac{1}{2}$ , więc $\gamma = 120^\circ$ i trójkąt jest rozwartokątny.

Który bok leży naprzeciw największego kąta?

Najdłuższy — naprzeciw większego kąta zawsze leży dłuższy bok. W trójkącie o kątach $50^\circ$ , $60^\circ$ , $70^\circ$ najdłuższy bok leży naprzeciw kąta $70^\circ$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria Trygonometria w figurach płaskich Planimetria Twierdzenie Talesa Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę

Rozpoznawanie rodzajów trójkątów — ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny

Przykłady: rodzaj trójkąta z długości boków

Rodzaje trójkątów na maturze

Przykłady krok po kroku

Przykład 1 Rodzaj trójkąta z boków — porównanie c do potęgi 2 z a do potęgi 2 + b do potęgi 2

Przykład 2 Warunek istnienia trójkąta i możliwe długości trzeciego boku

Przykład 3 Kolejność boków trójkąta z miar kątów

Przykład 4 Miara największego kąta z twierdzenia cosinusów

Najczęstsze błędy

Sprawdź się na zadaniach

Filmy, które pomogą

Najczęstsze pytania

Powiązane tematy

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Przykład 1 Rodzaj trójkąta z boków — porównanie c^{do potęgi 2} z a^{do potęgi 2} + b^{do potęgi 2}