Rozpoznawanie rodzajów trójkątów — wytłumaczenie, wzór i zadania

O rodzaju trójkąta o bokach $a \le b \le c$ rozstrzyga porównanie $c^2$ z $a^2 + b^2$: gdy $c^2 < a^2 + b^2$, trójkąt jest ostrokątny, gdy $c^2 = a^2 + b^2$ — prostokątny, gdy $c^2 > a^2 + b^2$ — rozwartokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa). Ten sam test kryje się w twierdzeniu cosinusów: $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, więc znak licznika to znak cosinusa największego kąta. Trójkąt w ogóle istnieje tylko wtedy, gdy najdłuższy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych, a naprzeciw większego kąta zawsze leży dłuższy bok.

• Boki $4, 6, 7$: $7^2 = 49$, $4^2 + 6^2 = 52$, $49 < 52$ — trójkąt $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{ostrokątny}}$.
• Boki $2, \sqrt{5}, 3$: $3^2 = 9$ i $2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$ — trójkąt $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{prostokątny}}$.
• Boki $3, 5, 7$: $\cos\gamma = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = -\frac{1}{2}$, więc największy kąt ma $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{120^\circ}}$ — trójkąt rozwartokątny.
• Boki $4, 5, 10$: $4 + 5 = 9 < 10$ — taki trójkąt $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{nie\ istnieje}}$.
• Kąty $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$: najdłuższy bok leży naprzeciw kąta $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{70^\circ}}$.

Na maturze: karta wzorów CKE podaje twierdzenie cosinusów ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$) i twierdzenie Pitagorasa — reguły „$c^2$ kontra $a^2 + b^2$” tam nie ma, ale to dokładnie twierdzenie cosinusów dla $\cos\gamma = 0$. Zadanie za 1 pkt to zwykle „trójkąt o bokach … jest: ostrokątny / prostokątny / rozwartokątny” albo ocena P/F: dane dwa boki i kąt między nimi (maj 2025: $11$, $12$ i $60^\circ$) — trzeci bok liczysz z twierdzenia cosinusów, pole z $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Pułapka: podnoś do kwadratu NAJDŁUŻSZY bok, a przy bokach z pierwiastkami pamiętaj, że $(\sqrt{7})^2 = 7$, nie $49$.