Cechy podobieństwa trójkątów — wytłumaczenie, wzór i zadania

Trójkąty są podobne, gdy mają równe kąty (cecha KK), proporcjonalne trzy boki (BBB) albo dwa boki proporcjonalne i równy kąt między nimi (BKB). W trójkątach podobnych odpowiadające boki są w tym samym stosunku — skali $k$ — a zapis $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ mówi, które wierzchołki sobie odpowiadają ($A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$).

• Skala z pary boków: $6 \to 9$ daje $k = \frac{9}{6} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1{,}5}}$, więc bok $8$ przechodzi na $8 \cdot 1{,}5 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$.
• Cecha KK bez rysunku: trójkąt o kątach $40^\circ$, $60^\circ$ i trójkąt o kątach $60^\circ$, $80^\circ$ są podobne, bo ich trzecie kąty to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{80^\circ}}$ i $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{40^\circ}}$ — te same trzy miary.
• Prosta równoległa do boku $BC$ odcina trójkąt $ADE \sim ABC$: przy $|AD| = 4$, $|DB| = 2$, $|BC| = 9$ jest $|DE| = 9 \cdot \frac{4}{6} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ (skala z całego boku $|AB| = 6$, nie z $|DB|$).
• „Motylek”: gdy $AC$ i $BD$ przecinają się w $O$, a $AD \parallel BC$, to $\triangle AOD \sim \triangle COB$ (kąty wierzchołkowe i naprzemianległe) i $\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OD|}{|OB|} = \frac{|AD|}{|BC|}$.

Na maturze: cech podobieństwa nie ma na karcie wzorów — wystarczy pamiętać, że dwa równe kąty (wspólny kąt, kąty wierzchołkowe, naprzemianległe przy równoległych, dwa kąty proste) już dają podobieństwo. Zadanie za 1 pkt to zwykle proporcja z rysunku z prostymi równoległymi albo z zapisu typu $\triangle ABC \sim \triangle BDA$; za 2 pkt — dwa trójkąty prostokątne o równym kącie ostrym, gdzie z proporcji dzielisz odcinek ($x + y$ = całość), a potem stosujesz twierdzenie Pitagorasa. Najczęstsza pułapka: skala liczona z kawałka boku (np. $|BD|$) zamiast z całego boku od wspólnego wierzchołka.