Cechy podobieństwa trójkątów — skala, przykłady i zadania

Q: Jak obliczyć skalę podobieństwa trójkątów?

Podziel długości pary odpowiadających boków. Bok 6 przechodzi na 9, więc k = 9/6 = 1,5, a bok 8 przechodzi na 8 · 1,5 = 12.

Q: Kiedy trójkąty są podobne na podstawie kątów?

Wystarczą dwa równe kąty, bo trzeci wynika z sumy 180°. Trójkąt o kątach 40° i 60° jest podobny do trójkąta o kątach 60° i 80° — oba mają kąty 40°, 60° i 80°.

Q: Jak odczytać odpowiadające boki z zapisu podobieństwa?

Kolejność liter pokazuje pary wierzchołków: △ABC ∼ △KLM oznacza A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M, więc bok AB odpowiada bokowi KL, a BC — bokowi LM.

Trójkąty są podobne, gdy mają równe kąty (cecha KK), proporcjonalne trzy boki (BBB) albo dwa boki proporcjonalne i równy kąt między nimi (BKB). Odpowiadające boki trójkątów podobnych są w tym samym stosunku — skali $k$ .

Planimetria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Trzy cechy podobieństwa trójkątów

Trójkąty są podobne, gdy mają równe kąty (cecha KK), proporcjonalne trzy boki (BBB) albo dwa boki proporcjonalne i równy kąt między nimi (BKB). W trójkątach podobnych odpowiadające boki są w tym samym stosunku — skali $k$ — a zapis $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ mówi, które wierzchołki sobie odpowiadają ( $A \leftrightarrow K$ , $B \leftrightarrow L$ , $C \leftrightarrow M$ ).

Skala z pary boków: $6 \to 9$ daje $k = \frac{9}{6} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1{,}5}}$ , więc bok $8$ przechodzi na $8 \cdot 1{,}5 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$ .
Cecha KK bez rysunku: trójkąt o kątach $40^\circ$ , $60^\circ$ i trójkąt o kątach $60^\circ$ , $80^\circ$ są podobne, bo ich trzecie kąty to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{80^\circ}}$ i $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{40^\circ}}$ — te same trzy miary.
Prosta równoległa do boku $BC$ odcina trójkąt $ADE \sim ABC$ : przy $|AD| = 4$ , $|DB| = 2$ , $|BC| = 9$ jest $|DE| = 9 \cdot \frac{4}{6} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ (skala z całego boku $|AB| = 6$ , nie z $|DB|$ ).
„Motylek”: gdy $AC$ i $BD$ przecinają się w $O$ , a $AD \parallel BC$ , to $\triangle AOD \sim \triangle COB$ (kąty wierzchołkowe i naprzemianległe) i $\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OD|}{|OB|} = \frac{|AD|}{|BC|}$ .

Skala z całego boku — pułapki na maturze

Na maturze: cech podobieństwa nie ma na karcie wzorów — wystarczy pamiętać, że dwa równe kąty (wspólny kąt, kąty wierzchołkowe, naprzemianległe przy równoległych, dwa kąty proste) już dają podobieństwo. Zadanie za 1 pkt to zwykle proporcja z rysunku z prostymi równoległymi albo z zapisu typu $\triangle ABC \sim \triangle BDA$ ; za 2 pkt — dwa trójkąty prostokątne o równym kącie ostrym, gdzie z proporcji dzielisz odcinek ( $x + y$ = całość), a potem stosujesz twierdzenie Pitagorasa. Najczęstsza pułapka: skala liczona z kawałka boku (np. $|BD|$ ) zamiast z całego boku od wspólnego wierzchołka.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Brakujący bok ze skali podobieństwa

Wyznaczasz skalę k jako iloraz pary odpowiadających boków, a potem mnożysz lub dzielisz przez k, żeby dostać brakujący bok.

Zadanie Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne, przy czym bok $AB$ odpowiada bokowi $DE$ , a bok $BC$ — bokowi $EF$ . Dane: $|AB| = 8$ , $|DE| = 12$ , $|EF| = 15$ . Oblicz długość boku $BC$ .

Skalę liczę z tej pary boków, w której znam obie długości: $k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ — trójkąt $DEF$ jest większy.
Bok $EF$ odpowiada bokowi $BC$ i leży w większym trójkącie, więc $|EF| = k \cdot |BC|$ — szukany bok trzeba podzielić przez $k$ , nie pomnożyć.
$|BC| = \frac{|EF|}{k} = \frac{15}{1{,}5} = 10$ .
Kontrola: $10 \cdot 1{,}5 = 15 = |EF|$ ✓, więc $|BC| = 10$ .

Odpowiedź: $|BC| = 10$

Przykład 2 Sprawdzanie podobieństwa cechą KK lub BBB

Sprawdzasz, czy trójkąty są podobne: porównujesz ilorazy trzech par boków (BBB) albo dwa kąty, licząc w razie potrzeby trzeci z sumy 180° (KK), i ustalasz, który wierzchołek odpowiada któremu.

Cecha KK wymaga dwóch par równych kątów, a podane kąty nie pokrywają się wprost — liczę więc trzecie kąty: $|\angle C| = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ , $|\angle M| = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$ .
Zestawy kątów: $ABC$ : $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$ ; $KLM$ : $70^\circ, 50^\circ, 60^\circ$ — te same trzy miary, więc trójkąty są podobne (KK).
Wierzchołki paruję według równych kątów: $A\,(50^\circ) \leftrightarrow L\,(50^\circ)$ , $B\,(60^\circ) \leftrightarrow M\,(60^\circ)$ , $C\,(70^\circ) \leftrightarrow K\,(70^\circ)$ .
Zapis: $\triangle ABC \sim \triangle LMK$ — kolejność liter w drugim trójkącie wynika z kątów, nie z alfabetu.

Odpowiedź: Tak (KK): $\triangle ABC \sim \triangle LMK$

Przykład 3 Odpowiadające boki z zapisu podobieństwa

Z zapisu ABC ~ KLM odczytujesz pary wierzchołków (A↔K, B↔L, C↔M), układasz proporcję odpowiadających boków i rozwiązujesz ją — także gdy trójkąty mają wspólny bok lub kąt.

Zadanie W trójkącie $ABC$ dane są $|AB| = 6$ i $|AC| = 9$ . Na boku $AC$ wybrano punkt $D$ tak, że trójkąty $ABC$ i $ADB$ są podobne ( $\triangle ABC \sim \triangle ADB$ , wierzchołki w kolejności odpowiadania). Oblicz $|AD|$ .

Z zapisu $\triangle ABC \sim \triangle ADB$ odczytuję pary wierzchołków: $A \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow D$ , $C \leftrightarrow B$ (kąt przy $A$ jest wspólny, a kąt $ABD$ równy kątowi $ACB$ ).
Odpowiadające boki: $AB \leftrightarrow AD$ , $BC \leftrightarrow DB$ , $CA \leftrightarrow BA$ . Do proporcji biorę parę z niewiadomą i parę, w której znam obie długości: $\frac{|AB|}{|AD|} = \frac{|CA|}{|BA|}$ .
Podstawiam: $\frac{6}{|AD|} = \frac{9}{6}$ , czyli $9 \cdot |AD| = 36$ .
$|AD| = 4$ — mniej niż $|AC| = 9$ , więc punkt $D$ rzeczywiście leży na boku $AC$ .

Odpowiedź: $|AD| = 4$

Przykład 4 Prosta równoległa do boku — trójkąt w trójkącie

Gdy prosta równoległa do boku odcina mniejszy trójkąt, układasz proporcję całych boków od wspólnego wierzchołka (AD/AB = AE/AC = DE/BC), nie kawałków przy podstawie.

Zadanie Ramiona kąta o wierzchołku $A$ przecięto prostymi równoległymi $k$ i $l$ : prosta $k$ w punktach $B$ i $C$ , prosta $l$ w punktach $D$ i $E$ , przy czym $B$ i $D$ leżą na jednym ramieniu ( $B$ między $A$ i $D$ ), a $C$ i $E$ na drugim. Dane: $|AB| = 5$ , $|BD| = 3$ , $|BC| = 7$ , $|CE| = 6$ . Oblicz $|DE|$ oraz $|AC|$ .

Proste $k \parallel l$ , więc kąty przy $B$ i $D$ są równe (odpowiadające), a kąt przy $A$ jest wspólny — trójkąty $ABC$ i $ADE$ są podobne (KK).
Skala to stosunek całych boków od wierzchołka $A$ : $k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$ (nie $\frac{3}{5}$ — odcinek $BD$ nie jest bokiem żadnego z tych trójkątów).
Odcinek $DE$ odpowiada $BC$ : $|DE| = \frac{8}{5} \cdot 7 = 11{,}2$ .
Na drugim ramieniu $|AE| = |AC| + 6$ i $\frac{|AE|}{|AC|} = \frac{8}{5}$ , więc $5(|AC| + 6) = 8|AC|$ , czyli $30 = 3|AC|$ .
$|AC| = 10$ (wtedy $|AE| = 16$ ; kontrola: $16 : 10 = 8 : 5$ ✓).

Odpowiedź: $|DE| = 11{,}2$ , $|AC| = 10$

Przykład 5 „Motylek”: trójkąty między prostymi równoległymi

Gdy odcinki AC i BD przecinają się w O, a AD ∥ BC, trójkąty AOD i COB są podobne (kąty wierzchołkowe i naprzemianległe) — układasz proporcję OA/OC = OD/OB = AD/BC.

Zadanie Proste $k$ i $l$ są równoległe. Punkty $A$ i $D$ leżą na prostej $k$ , punkty $B$ i $C$ na prostej $l$ , a odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ . Dane: $|OA| = 10$ , $|OC| = 4$ , $|OD| = 15$ , $|BC| = 8$ . Oblicz $|OB|$ oraz $|AD|$ .

Kąty $AOD$ i $COB$ są wierzchołkowe, a kąty $OAD$ i $OCB$ — naprzemianległe przy równoległych $k$ i $l$ , więc $\triangle AOD \sim \triangle COB$ (KK).
Wierzchołki odpowiadają sobie: $A \leftrightarrow C$ , $O \leftrightarrow O$ , $D \leftrightarrow B$ (odcinki na tej samej prostej przez $O$ tworzą parę). Skala: $k = \frac{|OA|}{|OC|} = \frac{10}{4} = 2{,}5$ .
$OD$ odpowiada $OB$ i leży w większym trójkącie: $|OB| = \frac{|OD|}{k} = \frac{15}{2{,}5} = 6$ .
$AD$ odpowiada $CB$ : $|AD| = k \cdot |BC| = 2{,}5 \cdot 8 = 20$ .

Odpowiedź: $|OB| = 6$ , $|AD| = 20$

Przykład 6 Podział odcinka z podobieństwa i twierdzenie Pitagorasa

Dwa trójkąty prostokątne z równym kątem ostrym są podobne: z proporcji x : y = stosunek przyprostokątnych i x + y = całość liczysz podział odcinka, a z twierdzenia Pitagorasa — szukany odcinek.

Zadanie Czworokąt $ABCD$ jest trapezem prostokątnym o podstawach $AB$ i $DC$ i kątach prostych przy wierzchołkach $A$ i $D$ . Punkt $E$ leży na ramieniu $AD$ tak, że $|\angle AEB| = |\angle DEC|$ . Dane: $|AB| = 9$ , $|DC| = 12$ , $|AD| = 28$ . Oblicz długość odcinka $CE$ .

Kąty przy $A$ i $D$ są proste, a kąty $AEB$ i $DEC$ równe z założenia, więc $\triangle ABE \sim \triangle DCE$ (KK); wierzchołki: $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow C$ , $E \leftrightarrow E$ .
Proporcja przyprostokątnych: $\frac{|AE|}{|DE|} = \frac{|AB|}{|DC|} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ , więc oznaczam $|AE| = 3t$ , $|DE| = 4t$ .
Punkt $E$ leży na $AD$ , więc $3t + 4t = 28$ , stąd $t = 4$ : $|AE| = 12$ , $|DE| = 16$ .
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DCE$ : $|CE| = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ .

Odpowiedź: $|CE| = 20$

Najczęstsze błędy

Skala liczona z kawałka boku zamiast z całego boku od wspólnego wierzchołka. Przy $|AD| = 4$ i $|DB| = 2$ skala to $\frac{4}{6}$ , nie $\frac{4}{2}$ .
Łączenie wierzchołków według alfabetu zamiast według równych kątów. Zapis $\triangle ABC \sim \triangle LMK$ wynika z kątów.
Mnożenie przez skalę, gdy trzeba dzielić. Bok mniejszego trójkąta to odpowiadający mu bok większego podzielony przez $k$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Trójkąty $ABC$ i $KLM$ są podobne, przy czym bok $AB$ odpowiada bokowi $KL$ , a bok $AC$ — bokowi $KM$ . Dane: $|AB| = 6$ , $|AC| = 9$ , $|KL| = 4$ . Długość boku $KM$ jest równa:

Zadanie 2

Trójkąt o bokach $6$ , $9$ , $12$ jest podobny do trójkąta o bokach $4$ , $6$ , $x$ (boki wymienione w kolejności odpowiadania). Wtedy $x$ jest równe:

Zadanie 3

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$ tak, że $\triangle ABC \sim \triangle ACD$ . Dane: $|AB| = 18$ , $|AC| = 6$ . Długość odcinka $AD$ jest równa:

Zadanie 4

Ramiona kąta o wierzchołku $P$ przecięto dwiema prostymi równoległymi: pierwsza przecina ramiona w punktach $K$ i $L$ , druga w punktach $M$ i $N$ , przy czym $K$ i $M$ leżą na jednym ramieniu ( $K$ między $P$ i $M$ ), a $L$ i $N$ na drugim. Dane: $|PK| = 4$ , $|KM| = 6$ , $|KL| = 3$ . Długość odcinka $MN$ jest równa:

Zadanie 5

Proste $k$ i $l$ są równoległe. Punkty $A$ i $D$ leżą na prostej $k$ , punkty $B$ i $C$ na prostej $l$ , a odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ . Dane: $|OA| = 9$ , $|OB| = 4$ , $|OD| = 6$ . Długość odcinka $OC$ jest równa:

Zadanie 6

Czworokąt $ABCD$ jest trapezem prostokątnym o podstawach $AB$ i $DC$ i kątach prostych przy wierzchołkach $A$ i $D$ . Punkt $E$ leży na ramieniu $AD$ tak, że $|\angle AEB| = |\angle DEC|$ . Dane: $|AB| = 10$ , $|DC| = 5$ , $|AD| = 18$ . Długość odcinka $AE$ jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 24

W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC| = |BC| = 4$ i $|AB| = 3$ . Na boku $BC$ , między punktami $B$ i $C$ , wybrano taki punkt $D$ , że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $BD$ ma długość

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Podobieństwo trójkątów (kurs) Matemaks

Skala podobieństwa a pola figur podobnych Marek Duda

Najczęstsze pytania

Jakie są cechy podobieństwa trójkątów?

Trzy: KK — trójkąty mają równe kąty (wystarczą dwie pary), BBB — trzy pary boków są proporcjonalne, BKB — dwie pary boków są proporcjonalne, a kąty między nimi równe.

Jak obliczyć skalę podobieństwa trójkątów?

Podziel długości pary odpowiadających boków. Bok $6$ przechodzi na $9$ , więc $k = \frac{9}{6} = 1{,}5$ , a bok $8$ przechodzi na $8 \cdot 1{,}5 = 12$ .

Kiedy trójkąty są podobne na podstawie kątów?

Wystarczą dwa równe kąty, bo trzeci wynika z sumy $180^\circ$ . Trójkąt o kątach $40^\circ$ i $60^\circ$ jest podobny do trójkąta o kątach $60^\circ$ i $80^\circ$ — oba mają kąty $40^\circ$ , $60^\circ$ i $80^\circ$ .

Jak odczytać odpowiadające boki z zapisu podobieństwa?

Kolejność liter pokazuje pary wierzchołków: $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ oznacza $A \leftrightarrow K$ , $B \leftrightarrow L$ , $C \leftrightarrow M$ , więc bok $AB$ odpowiada bokowi $KL$ , a $BC$ — bokowi $LM$ .

Dlaczego trójkąty prostokątne z równym kątem ostrym są podobne?

Mają kąt prosty i równy kąt ostry, czyli dwie pary równych kątów — to cecha KK.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria Rozpoznawanie rodzajów trójkątów Planimetria Trygonometria w figurach płaskich Planimetria Twierdzenie Talesa Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę