Okręgi: promienie, cięciwy i styczne — wzory, przykłady i zadania

Q: Jaki jest promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?

Połowa przeciwprostokątnej: R=c/2, bo przeciwprostokątna jest średnicą. Dla trójkąta o bokach 12, 16, 20: R=10.

Q: Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny?

Ze wzoru r=(a+b-c)/2, gdzie a, b to przyprostokątne, a c — przeciwprostokątna. Dla 12, 16, 20: r=(12+16-20)/2=4. Można też użyć wzoru P=r· p z karty wzorów.

Q: Jaki jest promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym?

R=(a√3)/3=2/3 h, a promień okręgu wpisanego r=(a√3)/6=1/3 h. Przy R=2√3 bok ma a=R√3=6.

Zadanie o okręgu sprowadzamy do trójkąta prostokątnego z promieniem: odcinek ze środka do środka cięciwy jest do niej prostopadły, promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

Planimetria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym $c$ — przeciwprostokątna (średnica okręgu opisanego): $R=\tfrac{c}{2}$
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny $a$ , $b$ — przyprostokątne, $c$ — przeciwprostokątna: $r=\tfrac{a+b-c}{2}$
Okrąg opisany na trójkącie równobocznym $a$ — bok, $h$ — wysokość trójkąta: $R=\tfrac{a\sqrt3}{3}=\tfrac23 h$
Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny $a$ — bok, $h$ — wysokość trójkąta: $r=\tfrac{a\sqrt3}{6}=\tfrac13 h$

Cięciwa, styczna i promień — trójkąt prostokątny w okręgu

Prawie każde zadanie o okręgu sprowadzasz do trójkąta prostokątnego z promieniem: odcinek ze środka do środka cięciwy jest do niej prostopadły (i ją połowi), promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Potem liczysz twierdzeniem Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym $R=\tfrac{c}{2}$ i $r=\tfrac{a+b-c}{2}$ ; w równobocznym $R=\tfrac{a\sqrt3}{3}=\tfrac23 h$ , $r=\tfrac{a\sqrt3}{6}=\tfrac13 h$ .

Cięciwa w okręgu o $r=15$ odległa od środka o $9$ : połowa cięciwy $=\sqrt{15^2-9^2}=12$ , cięciwa $=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{24}}$ .
Odcinek styczny z punktu $P$ , $|OP|=10$ , $r=6$ : $|PA|=\sqrt{10^2-6^2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$ .
Trójkąt prostokątny $12,\ 16,\ 20$ : $R=\tfrac{20}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{10}}$ , $r=\tfrac{12+16-20}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ .
Równoboczny wpisany w okrąg o $R=2\sqrt3$ : $a=R\sqrt3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ .

Promień okręgu wpisanego i opisanego na maturze

Na maturze: karta wzorów CKE daje wysokość trójkąta równobocznego $h=\tfrac{a\sqrt3}{2}$ i wzór $P=r\cdot p$ ( $p$ — połowa obwodu); wzorów $R=\tfrac{c}{2}$ i $r=\tfrac{a+b-c}{2}$ na karcie nie ma — odtwarzasz je z rysunku (przeciwprostokątna = średnica; równe odcinki styczne). Zadanie za 1 pkt to zwykle trójkąt prostokątny z trójki pitagorejskiej (np. $10,\ 24,\ 26$ ) i pytanie o $R$ albo $r$ ; pułapka: podać średnicę zamiast promienia albo policzyć $\tfrac{a+b}{2}$ . Przy stycznej i średnicy szukaj dwóch kątów prostych — w punkcie styczności i w kącie wpisanym opartym na średnicy — i pisz Pitagorasa dwa razy.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Długość cięciwy z promienia i odległości od środka

Cięciwa AB odległa od środka S o 5; r = 13, |AB| = 24

Łączysz środek okręgu z końcem cięciwy i z jej środkiem i w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej r liczysz cięciwę, promień albo odległość cięciwy od środka.

Zadanie W okręgu o środku $S$ i promieniu $13$ poprowadzono cięciwę $AB$ , której odległość od punktu $S$ jest równa $5$ . Oblicz długość cięciwy $AB$ .

Odległość punktu od prostej to odcinek prostopadły, więc rysuję $SM\perp AB$ , gdzie $M$ leży na cięciwie; $|SM|=5$ . Odcinek ze środka prostopadły do cięciwy dzieli ją na połowy, więc $M$ jest środkiem $AB$ .
Dorysowuję promień $SA$ : trójkąt $SMA$ jest prostokątny z kątem prostym przy $M$ , a jego przeciwprostokątną jest promień $|SA|=13$ — to najdłuższy bok, więc kwadraty odejmuję.
Z twierdzenia Pitagorasa: $|AM|^2=13^2-5^2=169-25=144$ , czyli $|AM|=12$ .
Cięciwa to dwa takie odcinki: $|AB|=2\cdot12=24$ .

Odpowiedź: $|AB|=24$

Przykład 2 Odcinek styczny z twierdzenia Pitagorasa

Korzystasz z tego, że promień jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności, i z Pitagorasa liczysz odcinek styczny, promień lub odległość punktu od środka okręgu.

Zadanie Punkt $P$ leży na zewnątrz okręgu o środku $S$ i promieniu $9$ . Prosta przechodząca przez $P$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ , przy czym $|PA|=12$ . Oblicz odległość punktu $P$ od środka $S$ .

Promień $SA$ poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt $SAP$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$ — to jest jedyny fakt, którego potrzebuję z geometrii okręgu.
Szukany odcinek $SP$ leży naprzeciw kąta prostego, czyli jest przeciwprostokątną: kwadraty przyprostokątnych dodaję. $|SP|^2=|SA|^2+|PA|^2=9^2+12^2=81+144=225$ .
$|SP|=\sqrt{225}=15$ . Sprawdzenie: $9,\ 12,\ 15$ to trójka pitagorejska (trzykrotność $3,\ 4,\ 5$ ).
Odpowiedź: $|PS|=15$ ; punkt $P$ leży $15-9=6$ od samego okręgu.

Odpowiedź: $|PS|=15$

Przykład 3 Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

Trójkąt prostokątny wpisany; przeciwprostokątna AB = średnica, R = ½·AB

Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — liczysz R jako jej połowę, a gdy dane są przyprostokątne, najpierw wyznaczasz c z twierdzenia Pitagorasa.

Zadanie Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $9$ i $12$ . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Kąt prosty trójkąta jest kątem wpisanym opartym na przeciwprostokątnej, a kąt wpisany prosty opiera się na średnicy — więc przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego. Potrzebuję jej długości.
Z twierdzenia Pitagorasa: $c^2=9^2+12^2=81+144=225$ , czyli $c=15$ .
Promień to połowa średnicy: $R=\tfrac{c}{2}=\tfrac{15}{2}=7{,}5$ . Środek okręgu leży w środku przeciwprostokątnej, nie w środku trójkąta.

Odpowiedź: $R=7{,}5$

Przykład 4 Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny 8, 15, 17; r = (a + b − c)/2 = 3

Liczysz promień okręgu wpisanego wzorem r = (a + b − c)/2 albo z P = r·p, wyznaczając wcześniej brakujący bok z twierdzenia Pitagorasa.

Zadanie Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $8$ i $15$ . Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Wzór $r=\tfrac{a+b-c}{2}$ wymaga wszystkich trzech boków, więc najpierw przeciwprostokątna: $c^2=8^2+15^2=64+225=289$ , $c=17$ .
Skąd ten wzór: odcinki styczne z jednego wierzchołka są równe, a przy kącie prostym odcinki styczne mają długość $r$ (promienie do punktów styczności i przyprostokątne tworzą kwadrat). Suma przyprostokątnych to $2r$ plus dwa odcinki, które razem dają przeciwprostokątną: $a+b=2r+c$ .
Stąd $r=\tfrac{8+15-17}{2}=\tfrac{6}{2}=3$ .
Kontrola kartą wzorów ( $P=r\cdot p$ ): $P=\tfrac12\cdot8\cdot15=60$ , $p=\tfrac{8+15+17}{2}=20$ , $r=\tfrac{60}{20}=3$ ✓.

Odpowiedź: $r=3$

Przykład 5 Trójkąt równoboczny: promienie okręgów i bok

Trójkąt równoboczny a = 15; R = a√3/3 = 5√3

Z wysokości h = a $\sqrt{3}$ /2 wyznaczasz R = 2h/3 i r = h/3, a z danego promienia odzyskujesz bok, obwód lub pole trójkąta.

Zadanie Na trójkącie równobocznym opisano okrąg o promieniu $5\sqrt3$ . Oblicz długość boku i obwód tego trójkąta.

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to punkt przecięcia wysokości; dzieli on każdą wysokość w stosunku $2:1$ , więc $R=\tfrac23 h=\tfrac23\cdot\tfrac{a\sqrt3}{2}=\tfrac{a\sqrt3}{3}$ .
Dany jest $R$ , szukam $a$ , więc rozwiązuję równanie: $\tfrac{a\sqrt3}{3}=5\sqrt3$ , czyli $a\sqrt3=15\sqrt3$ , $a=15$ (skrót: $a=R\sqrt3$ ).
Obwód: $3\cdot15=45$ .
Sprawdzenie: $h=\tfrac{15\sqrt3}{2}$ , $R=\tfrac23\cdot\tfrac{15\sqrt3}{2}=5\sqrt3$ ✓.

Odpowiedź: $a=15$ , obwód $45$

Przykład 6 Styczna i średnica: dwa trójkąty prostokątne w okręgu

AB — średnica (r = 3), kąt ACB prosty; styczna w A i punkt D (|AD| = 8) poza rysunkiem, C leży na odcinku BD

Znajdujesz kąty proste (kąt wpisany oparty na średnicy, styczna prostopadła do średnicy) i w powstałych trójkątach prostokątnych stosujesz twierdzenie Pitagorasa, często dwa razy.

Zadanie Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$ i promieniu $3$ . Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ , a punkt $D$ leży na prostej $k$ , przy czym $|AD|=8$ . Odcinek $BD$ przecina okrąg w punkcie $C$ . Oblicz długość odcinka $BC$ .

Szukam kątów prostych. Styczna $k$ jest prostopadła do promienia $SA$ , a więc do średnicy $AB$ : trójkąt $ABD$ ma kąt prosty przy $A$ . Z Pitagorasa $|BD|^2=6^2+8^2=100$ , $|BD|=10$ (średnica to $2\cdot3=6$ ).
Kąt $ACB$ jest kątem wpisanym opartym na średnicy $AB$ , więc jest prosty — odcinek $AC$ jest wysokością trójkąta $ABD$ opuszczoną na przeciwprostokątną $BD$ .
Oznaczam $|BC|=x$ , wtedy $|CD|=10-x$ . Odcinek $AC$ jest wspólną przyprostokątną dwóch trójkątów, więc piszę Pitagorasa dwa razy: $|AC|^2=6^2-x^2$ (trójkąt $ABC$ ) oraz $|AC|^2=8^2-(10-x)^2$ (trójkąt $ACD$ ).
Porównuję prawe strony: $36-x^2=64-100+20x-x^2$ , stąd $20x=72$ , $x=3{,}6$ .
Sprawdzenie: $|AC|^2=36-3{,}6^2=36-12{,}96=23{,}04=4{,}8^2$ , a $4{,}8=\tfrac{6\cdot8}{10}$ to wysokość trójkąta $6$ - $8$ - $10$ ✓. Zatem $|BC|=3{,}6$ .

Odpowiedź: $|BC|=3{,}6$

Najczęstsze błędy

Podanie średnicy zamiast promienia. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest średnicą, więc $R=\tfrac{c}{2}$ .
Liczenie promienia okręgu wpisanego jako $\tfrac{a+b}{2}$ . Poprawnie: $r=\tfrac{a+b-c}{2}$ .
Dodawanie kwadratów, gdy promień jest przeciwprostokątną. Połowa cięciwy w okręgu o promieniu $15$ , odległej od środka o $9$ , to $\sqrt{15^2-9^2}=12$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Cięciwa $AB$ okręgu o środku $S$ ma długość $12$ , a odległość punktu $S$ od tej cięciwy jest równa $8$ . Promień tego okręgu jest równy:

Zadanie 2

Odcinek $PA$ jest styczny do okręgu o środku $S$ i promieniu $2$ w punkcie $A$ , przy czym $|PS|=4$ . Długość odcinka $PA$ jest równa:

Zadanie 3

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy $10$ , a jedna z przyprostokątnych tego trójkąta ma długość $12$ . Druga przyprostokątna ma długość:

Zadanie 4

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $65$ , a jedna z przyprostokątnych $25$ . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy:

Zadanie 5

W okrąg o promieniu $6$ wpisano trójkąt równoboczny. Bok tego trójkąta ma długość:

Zadanie 6

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o promieniu $4$ . Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ , a punkt $D$ leży na prostej $k$ , przy czym $|BD|=10$ . Długość odcinka $AD$ jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 23

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$ . Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ . Prosta $l$ przecina ten okrąg w punktach $B$ i $C$ . Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $D$ , przy czym $|BC| = 4$ i $|CD| = 3$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $A$ od prostej $l$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Trójkąt prostokątny — okrąg wpisany i opisany Matemaks

Okrąg wpisany w trójkąt — zakres podstawowy Matma po mojemu

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć długość cięciwy okręgu?

Połącz środek okręgu ze środkiem cięciwy i z jej końcem — powstaje trójkąt prostokątny, w którym promień jest przeciwprostokątną. Przy $r=15$ i odległości cięciwy od środka $9$ połowa cięciwy to $\sqrt{15^2-9^2}=12$ , a cała cięciwa $24$ .

Jak obliczyć długość odcinka stycznej?

Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc odcinek styczny liczymy z twierdzenia Pitagorasa. Dla $|OP|=10$ i $r=6$ : $|PA|=\sqrt{10^2-6^2}=8$ .

Jaki jest promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?

Połowa przeciwprostokątnej: $R=\tfrac{c}{2}$ , bo przeciwprostokątna jest średnicą. Dla trójkąta o bokach $12$ , $16$ , $20$ : $R=10$ .

Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny?

Ze wzoru $r=\tfrac{a+b-c}{2}$ , gdzie $a$ , $b$ to przyprostokątne, a $c$ — przeciwprostokątna. Dla $12$ , $16$ , $20$ : $r=\tfrac{12+16-20}{2}=4$ . Można też użyć wzoru $P=r\cdot p$ z karty wzorów.

Jaki jest promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym?

$R=\tfrac{a\sqrt3}{3}=\tfrac23 h$ , a promień okręgu wpisanego $r=\tfrac{a\sqrt3}{6}=\tfrac13 h$ . Przy $R=2\sqrt3$ bok ma $a=R\sqrt3=6$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria Rozpoznawanie rodzajów trójkątów Planimetria Trygonometria w figurach płaskich Planimetria Twierdzenie Talesa Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę