Planimetria · matura podstawowa 2 LO →

Okręgi: promienie, cięciwy, styczne — wytłumaczenie, wzór i zadania

Cięciwa AB odległa od środka S o 5; r = 13, |AB| = 24

Prawie każde zadanie o okręgu sprowadzasz do trójkąta prostokątnego z promieniem: odcinek ze środka do środka cięciwy jest do niej prostopadły (i ją połowi), promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Potem liczysz twierdzeniem Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym $R=\tfrac{c}{2}$ i $r=\tfrac{a+b-c}{2}$ ; w równobocznym $R=\tfrac{a\sqrt3}{3}=\tfrac23 h$ , $r=\tfrac{a\sqrt3}{6}=\tfrac13 h$ .

Cięciwa w okręgu o $r=15$ odległa od środka o $9$ : połowa cięciwy $=\sqrt{15^2-9^2}=12$ , cięciwa $=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{24}}$ .
Odcinek styczny z punktu $P$ , $|OP|=10$ , $r=6$ : $|PA|=\sqrt{10^2-6^2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$ .
Trójkąt prostokątny $12,\ 16,\ 20$ : $R=\tfrac{20}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{10}}$ , $r=\tfrac{12+16-20}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ .
Równoboczny wpisany w okrąg o $R=2\sqrt3$ : $a=R\sqrt3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ .

Na maturze: karta wzorów CKE daje wysokość trójkąta równobocznego $h=\tfrac{a\sqrt3}{2}$ i wzór $P=r\cdot p$ ( $p$ — połowa obwodu); wzorów $R=\tfrac{c}{2}$ i $r=\tfrac{a+b-c}{2}$ na karcie nie ma — odtwarzasz je z rysunku (przeciwprostokątna = średnica; równe odcinki styczne). Zadanie za 1 pkt to zwykle trójkąt prostokątny z trójki pitagorejskiej (np. $10,\ 24,\ 26$ ) i pytanie o $R$ albo $r$ ; pułapka: podać średnicę zamiast promienia albo policzyć $\tfrac{a+b}{2}$ . Przy stycznej i średnicy szukaj dwóch kątów prostych — w punkcie styczności i w kącie wpisanym opartym na średnicy — i pisz Pitagorasa dwa razy.

Przykład krok po kroku

W okręgu o środku $S$ i promieniu $13$ poprowadzono cięciwę $AB$ , której odległość od punktu $S$ jest równa $5$ . Oblicz długość cięciwy $AB$ .

1 Odległość punktu od prostej to odcinek prostopadły, więc rysuję $SM\perp AB$ , gdzie $M$ leży na cięciwie; $|SM|=5$ . Odcinek ze środka prostopadły do cięciwy dzieli ją na połowy, więc $M$ jest środkiem $AB$ .
2 Dorysowuję promień $SA$ : trójkąt $SMA$ jest prostokątny z kątem prostym przy $M$ , a jego przeciwprostokątną jest promień $|SA|=13$ — to najdłuższy bok, więc kwadraty odejmuję.
3 Z twierdzenia Pitagorasa: $|AM|^2=13^2-5^2=169-25=144$ , czyli $|AM|=12$ .
4 Cięciwa to dwa takie odcinki: $|AB|=2\cdot12=24$ .

Odpowiedź: $|AB|=24$

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Trójkąt prostokątny — okrąg wpisany i opisany Matemaks

Okrąg wpisany w trójkąt — zakres podstawowy Matma po mojemu

Sprawdź się na zadaniach

Próbka — pełny zestaw z informacją zwrotną jest w aplikacji.

Zadanie

Cięciwa $AB$ okręgu o promieniu $10$ jest odległa od środka tego okręgu o $6$ . Długość cięciwy $AB$ jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 23

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $S$ . Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ . Prosta $l$ przecina ten okrąg w punktach $B$ i $C$ . Proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie $D$ , przy czym $|BC| = 4$ i $|CD| = 3$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu $A$ od prostej $l$ jest równa

app.compass-matematyka.pl

Lekcja „Okręgi: promienie, cięciwy, styczne" w aplikacji Compass

Opanuj „Okręgi: promienie, cięciwy, styczne" do końca — w Compass

Rozumiesz temat. Na egzaminie liczy się powtarzalność — że rozwiążesz każdy wariant pewnie. W aplikacji Compass masz prowadzoną ścieżkę zadań, interaktywne rysunki i zadania w formacie CKE — tyle, ile trzeba, aż temat będzie naprawdę opanowany.

Wypróbuj 7 dni za darmo Zobacz cennik

Sprawdź, czy naprawdę to umiesz

Jeden przykład to nie to samo co opanowany temat. Darmowy test diagnostyczny Compass w kilkanaście minut pokaże, czy ten i pozostałe tematy egzaminu są u Ciebie pewne — i od czego zacząć.

Zrób darmową diagnozę

Najczęstsze pytania

W okręgu o środku S i promieniu 13 poprowadzono cięciwę AB, której odległość od punktu S jest równa 5. Oblicz długość cięciwy AB. +

Odpowiedź: |AB|=24. Odległość punktu od prostej to odcinek prostopadły, więc rysuję SM AB, gdzie M leży na cięciwie; |SM|=5. Odcinek ze środka prostopadły do cięciwy dzieli ją na połowy, więc M jest środkiem AB. Dorysowuję promień SA: trójkąt SMA jest prostokątny z kątem prostym przy M, a jego przeciwprostokątną jest promień |SA|=13 — to najdłuższy bok, więc kwadraty odejmuję. Z twierdzenia Pitagorasa: |AM|²=13²-5²=169-25=144, czyli |AM|=12. Cięciwa to dwa takie odcinki: |AB|=2·12=24.

Inne tematy z matematyki

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria Rozpoznawanie rodzajów trójkątów Planimetria Trygonometria w figurach płaskich Planimetria Twierdzenie Talesa Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Szykujesz się do egzaminu? Zobacz cały kurs do matury podstawowej →