Trygonometria w figurach płaskich — wzory, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na pole równoległoboku z sinusem?

P=ab sin α, gdzie a, b to boki, a α — kąt między nimi, ostry lub rozwarty. Dla boków 4 i 7 i kąta 135°: P=4·7·√2/2=14√2.

Q: Jaki jest wzór na pole rombu z sinusem?

P=a² sin α, gdzie a to bok rombu; to samo pole daje 1/2 d₁d₂. Romb o boku 5 i kącie 30° ma pole 25·1/2=12,5, więc d₁· d₂=25.

Q: Jak obliczyć sinus kąta rozwartego?

Ze wzoru sin(180°-α)=sin α: kąty 120°, 135°, 150° zamieniamy na 60°, 45°, 30°, np. sin 150°=sin 30°=1/2.

W figurze szukamy (albo tworzymy wysokością) trójkąta prostokątnego: bok naprzeciw kąta $=c\sin\alpha$ , bok przy kącie $=c\cos\alpha$ . Pola liczymy z sinusem: równoległobok $P=ab\sin\alpha$ , romb $P=a^2\sin\alpha$ , trójkąt $P=\tfrac12 ab\sin\gamma$ .

Planimetria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Pole trójkąta $a$ , $b$ — boki, $\gamma$ — kąt między nimi: $P=\tfrac12 ab\sin\gamma$
Pole równoległoboku $a$ , $b$ — boki, $\alpha$ — kąt między nimi (ostry lub rozwarty): $P=ab\sin\alpha$
Pole rombu $a$ — bok rombu, $d_1$ , $d_2$ — przekątne: $P=a^2\sin\alpha=\tfrac12 d_1d_2$
Sinus kąta rozwartego np. $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ$: $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$

Boki i pola figur z sinusem i cosinusem

Funkcje trygonometryczne w figurach płaskich to zawsze ten sam ruch: znajdujesz (albo tworzysz wysokością) trójkąt prostokątny z danym kątem i liczysz brakujący bok z definicji: bok naprzeciw kąta $=c\sin\alpha$ , bok przy kącie $=c\cos\alpha$ , bok naprzeciw $=$ bok przy kącie $\cdot\operatorname{tg}\alpha$ ( $c$ — przeciwprostokątna). Pola liczysz ze wzorów z sinusem: trójkąt $P=\tfrac12 ab\sin\gamma$ , równoległobok $P=ab\sin\alpha$ , romb $P=a^2\sin\alpha=\tfrac12 d_1d_2$ — kąt między bokami może być rozwarty, bo $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ .

Przeciwprostokątna $12$ , kąt $30^\circ$ : bok naprzeciw $=12\cdot\tfrac12=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ , bok przy kącie $=12\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6\sqrt3}}$ .
Trójkąt o bokach $5$ i $8$ z kątem $150^\circ$ między nimi: $P=\tfrac12\cdot5\cdot8\cdot\sin150^\circ=20\cdot\tfrac12=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{10}}$ .
Równoległobok o bokach $4$ i $7$ z kątem $135^\circ$ : $P=4\cdot7\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{14\sqrt2}}$ .
Romb o boku $5$ i kącie $30^\circ$ : $P=25\cdot\tfrac12=12{,}5$ , więc $d_1\cdot d_2=2P=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{25}}$ .
Ramię trapezu $8$ , kąt przy podstawie $60^\circ$ : $h=8\sin60^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4\sqrt3}}$ , rzut ramienia $=8\cos60^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ .

Kąty rozwarte i zadania z trapezem na maturze

Na maturze: karta wzorów CKE podaje $P=\tfrac12 ab\sin\gamma$ , wartości $\sin$ , $\cos$ , $\operatorname{tg}$ dla $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ oraz $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ — kąty $120^\circ$ , $135^\circ$ , $150^\circ$ zamieniasz na $60^\circ$ , $45^\circ$ , $30^\circ$ . Za 1 pkt pytają o pole równoległoboku lub rombu z kątem rozwartym albo odwrotnie: dane pole i jeden bok, szukany drugi bok — wtedy dzielisz pole przez $b\sin\alpha$ . Za 2 pkt (zadanie otwarte) dostajesz trapez albo kwadrat z odcinkiem prostopadłym: opuść wysokość, nazwij kąt, odczytaj $\sin$ i $\cos$ z jednego trójkąta i użyj ich w drugim. Pułapka: mylenie $\sin$ z $\cos$ — sinus to bok naprzeciw kąta.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Bok trójkąta prostokątnego z sinusa, cosinusa lub tangensa

Trójkąt prostokątny ABC: kąt prosty przy C, przeciwprostokątna |AB| = 16, sin A = 3/4

Wybierasz funkcję po tym, które boki występują (naprzeciw kąta, przy kącie, przeciwprostokątna), i liczysz brakujący bok z definicji sinusa, cosinusa lub tangensa.

Zadanie W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $|AB|=16$ oraz $\sin\angle BAC=\frac34$ . Oblicz długości przyprostokątnych $BC$ i $AC$ .

Naprzeciw kąta $A$ leży bok $BC$ , a $AB$ to przeciwprostokątna — znam więc dokładnie te boki, które występują w definicji sinusa: $\sin A=\frac{|BC|}{|AB|}$ .
Stąd $|BC|=|AB|\cdot\sin A=16\cdot\frac34=12$ .
Drugą przyprostokątną najszybciej daje twierdzenie Pitagorasa: $|AC|^2=16^2-12^2=256-144=112$ , więc $|AC|=\sqrt{112}=4\sqrt7$ .
Kontrola: $\cos A=\frac{4\sqrt7}{16}=\frac{\sqrt7}{4}$ i $\left(\frac34\right)^2+\left(\frac{\sqrt7}{4}\right)^2=\frac{9}{16}+\frac{7}{16}=1$ — zgadza się.

Odpowiedź: $|BC|=12$ , $|AC|=4\sqrt7$

Przykład 2 Pole trójkąta ze wzoru z sinusem

Trójkąt ABC: |AB| = 8, |AC| = 5, kąt między nimi (przy A) = 120°

Liczysz P = ½·a·b·sin γ z dwóch boków i kąta między nimi — także rozwartego (sin(180° − α) = sin α) — oraz odwracasz wzór, gdy dane jest pole.

Zadanie W trójkącie $ABC$ dane są $|AB|=8$ , $|AC|=5$ oraz $\angle BAC=120^\circ$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Kąt $120^\circ$ leży między bokami $AB$ i $AC$ — to dokładnie układ ze wzoru $P=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\sin A$ , więc nie potrzebuję wysokości.
Sinus kąta rozwartego sprowadzam do kąta ostrego: $\sin120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ .
Podstawiam: $P=\tfrac12\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=20\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3$ .

Odpowiedź: $P=10\sqrt3$

Przykład 3 Pole równoległoboku i rombu z sinusem

Równoległobok ABCD: |AB| = 6, |BC| = 4√2, kąt ABC = 135°

Liczysz pole równoległoboku P = a·b·sin α i rombu P = a^{do potęgi 2}·sin α z sinusa dowolnego kąta między bokami — ostrego lub rozwartego.

Zadanie Dany jest równoległobok $ABCD$ o bokach $|AB|=6$ i $|BC|=4\sqrt{2}$ oraz o kącie $\angle ABC=135^\circ$ . Oblicz pole tego równoległoboku.

Kąt $ABC$ leży między bokami $AB$ i $BC$ , więc $P=|AB|\cdot|BC|\cdot\sin\angle ABC$ — bez $\tfrac12$ , bo równoległobok to dwa takie trójkąty.
Sinus kąta rozwartego: $\sin135^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$ (mógłbym równie dobrze wziąć kąt ostry $45^\circ$ przy $A$ — sinusy kątów przyległych są równe).
Podstawiam: $P=6\cdot4\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=6\cdot4\cdot\frac{2}{2}=24$ .

Odpowiedź: $P=24$

Przykład 4 Bok równoległoboku z pola i sinusa

Równoległobok ABCD: |AB| = 6, kąt ABC = 45°, pole 18√2; szukany bok BC = x

Z danego pola i wzoru z sinusem wyznaczasz brakujący bok równoległoboku, a w rombie przechodzisz między polem z sinusa a iloczynem przekątnych.

Zadanie Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $18\sqrt{2}$ , bok $AB$ ma długość $6$ , a kąt $ABC$ ma miarę $45^\circ$ . Oblicz długość boku $BC$ .

Kąt $ABC$ leży między bokami $AB$ i $BC$ , więc $P=|AB|\cdot|BC|\cdot\sin45^\circ$ — szukany bok $BC$ jest w tym wzorze jedyną niewiadomą.
Podstawiam znane wielkości: $18\sqrt2=6\cdot|BC|\cdot\frac{\sqrt2}{2}$ , czyli $18\sqrt2=3\sqrt2\cdot|BC|$ .
Dzielę obie strony przez $3\sqrt2$ : $|BC|=\frac{18\sqrt2}{3\sqrt2}=6$ .
Kontrola: $6\cdot6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=18\sqrt2$ — zgadza się.

Odpowiedź: $|BC|=6$

Przykład 5 Wysokość i rzut ramienia trapezu z sinusa i cosinusa

Opuszczasz wysokość, dostajesz trójkąt prostokątny i liczysz h = ramię·sin α oraz rzut = ramię·cos α, a potem pole trapezu lub trójkąta równoramiennego.

Zadanie W trapezie równoramiennym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $14$ , ramię $BC$ ma długość $6$ , a kąt $ABC$ ma miarę $60^\circ$ . Oblicz pole tego trapezu.

Opuszczam wysokość z $C$ na $AB$ — powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $BC=6$ i kącie $60^\circ$ przy $B$ ; w nim leżą i wysokość, i rzut ramienia na podstawę.
Wysokość leży naprzeciw kąta $60^\circ$ : $h=6\cdot\sin60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3$ .
Rzut ramienia leży przy kącie: $x=6\cdot\cos60^\circ=6\cdot\tfrac12=3$ . Trapez jest równoramienny, więc drugi rzut też ma $3$ i $|CD|=14-2\cdot3=8$ .
Pole: $P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{14+8}{2}\cdot3\sqrt3=11\cdot3\sqrt3=33\sqrt3$ .

Odpowiedź: $P=33\sqrt3$

Przykład 6 Wysokość na przeciwprostokątną z sinusa wspólnego kąta

Trójkąt ABC wycięty z prostokąta: kąt prosty przy B, |AB| = 8, |BC| = 6; BE ⊥ AC

Odczytujesz sinus lub cosinus kąta ze stosunku boków w jednym trójkącie prostokątnym i używasz go w drugim trójkącie z tym samym kątem, żeby policzyć wysokość lub jej rzut.

Zadanie W prostokącie $ABCD$ dane są $|AB|=8$ i $|BC|=6$ . Punkt $E$ leży na przekątnej $AC$ tak, że odcinek $BE$ jest prostopadły do $AC$ . Oblicz długość odcinka $BE$ .

W trójkącie $ABC$ (kąt prosty przy $B$ ) znam obie przyprostokątne, więc z twierdzenia Pitagorasa $|AC|=\sqrt{64+36}=10$ .
Sinus kąta $BAC$ odczytuję z dużego trójkąta $ABC$ : $\sin\angle BAC=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{6}{10}=\frac35$ .
Trójkąt $ABE$ jest prostokątny (kąt prosty przy $E$ ) i ma ten sam kąt przy $A$ , a $BE$ leży naprzeciw tego kąta: $|BE|=|AB|\cdot\sin\angle BAC=8\cdot\frac35=4{,}8$ .
Kontrola przez pole trójkąta $ABC$ : $\tfrac12\cdot8\cdot6=\tfrac12\cdot10\cdot|BE|$ , stąd $|BE|=\frac{48}{10}=4{,}8$ — zgadza się.

Odpowiedź: $|BE|=4{,}8$

Najczęstsze błędy

Pomylenie sinusa z cosinusem. Sinus daje bok naprzeciw kąta, cosinus — bok przy kącie.
Kłopot z sinusem kąta rozwartego. Korzystamy z $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ : $\sin 135^\circ=\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ .
Dopisanie $\tfrac12$ do wzoru na pole równoległoboku. To wzór na trójkąt — równoległobok to dwa takie trójkąty, więc $P=ab\sin\alpha$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Trójkąt prostokątny ABC: kąt prosty przy C, |BC| = 6, tg A = 2/3

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt prosty jest przy wierzchołku $C$ , $|BC|=6$ oraz $\operatorname{tg}\angle BAC=\frac{2}{3}$ . Długość przyprostokątnej $AC$ jest równa:

Zadanie 2

W trójkącie $ABC$ dane są $|AB|=3\sqrt{2}$ , $|BC|=4$ oraz $\angle ABC=135^\circ$ . Pole tego trójkąta jest równe:

Zadanie 3

Dany jest równoległobok o bokach długości $7$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $150^\circ$ . Pole tego równoległoboku jest równe:

Zadanie 4

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $12\sqrt{3}$ , bok $BC$ ma długość $4$ , a kąt $BCD$ ma miarę $120^\circ$ . Długość boku $CD$ jest równa:

Zadanie 5

W trójkącie równoramiennym ramiona mają długość $6$ , a kąty przy podstawie mają miarę $30^\circ$ . Pole tego trójkąta jest równe:

Zadanie 6

W prostokącie $ABCD$ dane są $|AB|=8$ i $|BC|=4$ . Punkt $M$ jest środkiem boku $AB$ . Odległość wierzchołka $B$ od prostej $CM$ jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 22

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150^{\circ}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Pole trójkąta ze wzoru z sinusem — zadanie Matemaks

Wzór na pole trójkąta P = ½·a·b·sin α mat kwadrat

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na pole równoległoboku z sinusem?

$P=ab\sin\alpha$ , gdzie $a$ , $b$ to boki, a $\alpha$ — kąt między nimi, ostry lub rozwarty. Dla boków $4$ i $7$ i kąta $135^\circ$ : $P=4\cdot7\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=14\sqrt2$ .

Jaki jest wzór na pole rombu z sinusem?

$P=a^2\sin\alpha$ , gdzie $a$ to bok rombu; to samo pole daje $\tfrac12 d_1d_2$ . Romb o boku $5$ i kącie $30^\circ$ ma pole $25\cdot\tfrac12=12{,}5$ , więc $d_1\cdot d_2=25$ .

Jak obliczyć sinus kąta rozwartego?

Ze wzoru $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ : kąty $120^\circ$ , $135^\circ$ , $150^\circ$ zamieniamy na $60^\circ$ , $45^\circ$ , $30^\circ$ , np. $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\tfrac12$ .

Jak obliczyć wysokość trapezu z kąta przy podstawie?

Opuść wysokość — powstaje trójkąt prostokątny, w którym ramię jest przeciwprostokątną. Wysokość to ramię razy $\sin\alpha$ , a rzut ramienia — ramię razy $\cos\alpha$ : dla ramienia $8$ i kąta $60^\circ$ jest $h=4\sqrt3$ , a rzut $4$ .

Jak obliczyć bok równoległoboku z pola?

Podziel pole przez iloczyn drugiego boku i sinusa kąta. Przy $P=18\sqrt2$ , boku $6$ i kącie $45^\circ$ : $18\sqrt2=6\cdot|BC|\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2\cdot|BC|$ , więc $|BC|=6$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria Rozpoznawanie rodzajów trójkątów Planimetria Twierdzenie Talesa Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę