Planimetria · matura podstawowa 2 LO →

Trygonometria w figurach płaskich — wytłumaczenie, wzór i zadania

Trójkąt prostokątny ABC: kąt prosty przy C, przeciwprostokątna |AB| = 16, sin A = 3/4

Funkcje trygonometryczne w figurach płaskich to zawsze ten sam ruch: znajdujesz (albo tworzysz wysokością) trójkąt prostokątny z danym kątem i liczysz brakujący bok z definicji: bok naprzeciw kąta $=c\sin\alpha$ , bok przy kącie $=c\cos\alpha$ , bok naprzeciw $=$ bok przy kącie $\cdot\operatorname{tg}\alpha$ ( $c$ — przeciwprostokątna). Pola liczysz ze wzorów z sinusem: trójkąt $P=\tfrac12 ab\sin\gamma$ , równoległobok $P=ab\sin\alpha$ , romb $P=a^2\sin\alpha=\tfrac12 d_1d_2$ — kąt między bokami może być rozwarty, bo $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ .

Przeciwprostokątna $12$ , kąt $30^\circ$ : bok naprzeciw $=12\cdot\tfrac12=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ , bok przy kącie $=12\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6\sqrt3}}$ .
Trójkąt o bokach $5$ i $8$ z kątem $150^\circ$ między nimi: $P=\tfrac12\cdot5\cdot8\cdot\sin150^\circ=20\cdot\tfrac12=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{10}}$ .
Równoległobok o bokach $4$ i $7$ z kątem $135^\circ$ : $P=4\cdot7\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{14\sqrt2}}$ .
Romb o boku $5$ i kącie $30^\circ$ : $P=25\cdot\tfrac12=12{,}5$ , więc $d_1\cdot d_2=2P=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{25}}$ .
Ramię trapezu $8$ , kąt przy podstawie $60^\circ$ : $h=8\sin60^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4\sqrt3}}$ , rzut ramienia $=8\cos60^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ .

Na maturze: karta wzorów CKE podaje $P=\tfrac12 ab\sin\gamma$ , wartości $\sin$ , $\cos$ , $\operatorname{tg}$ dla $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ oraz $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ — kąty $120^\circ$ , $135^\circ$ , $150^\circ$ zamieniasz na $60^\circ$ , $45^\circ$ , $30^\circ$ . Za 1 pkt pytają o pole równoległoboku lub rombu z kątem rozwartym albo odwrotnie: dane pole i jeden bok, szukany drugi bok — wtedy dzielisz pole przez $b\sin\alpha$ . Za 2 pkt (zadanie otwarte) dostajesz trapez albo kwadrat z odcinkiem prostopadłym: opuść wysokość, nazwij kąt, odczytaj $\sin$ i $\cos$ z jednego trójkąta i użyj ich w drugim. Pułapka: mylenie $\sin$ z $\cos$ — sinus to bok naprzeciw kąta.

Przykład krok po kroku

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $|AB|=16$ oraz $\sin\angle BAC=\frac34$ . Oblicz długości przyprostokątnych $BC$ i $AC$ .

1 Naprzeciw kąta $A$ leży bok $BC$ , a $AB$ to przeciwprostokątna — znam więc dokładnie te boki, które występują w definicji sinusa: $\sin A=\frac{|BC|}{|AB|}$ .
2 Stąd $|BC|=|AB|\cdot\sin A=16\cdot\frac34=12$ .
3 Drugą przyprostokątną najszybciej daje twierdzenie Pitagorasa: $|AC|^2=16^2-12^2=256-144=112$ , więc $|AC|=\sqrt{112}=4\sqrt7$ .
4 Kontrola: $\cos A=\frac{4\sqrt7}{16}=\frac{\sqrt7}{4}$ i $\left(\frac34\right)^2+\left(\frac{\sqrt7}{4}\right)^2=\frac{9}{16}+\frac{7}{16}=1$ — zgadza się.

Odpowiedź: $|BC|=12$ , $|AC|=4\sqrt7$

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Pole trójkąta ze wzoru z sinusem — zadanie Matemaks

Wzór na pole trójkąta P = ½·a·b·sin α mat kwadrat

Sprawdź się na zadaniach

Próbka — pełny zestaw z informacją zwrotną jest w aplikacji.

Zadanie

Trójkąt prostokątny ABC: kąt prosty przy C, |BC| = 6, tg A = 2/3

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt prosty jest przy wierzchołku $C$ , $|BC|=6$ oraz $\operatorname{tg}\angle BAC=\frac{2}{3}$ . Długość przyprostokątnej $AC$ jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 22

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150^{\circ}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

app.compass-matematyka.pl

Lekcja „Trygonometria w figurach płaskich" w aplikacji Compass

Opanuj „Trygonometria w figurach płaskich" do końca — w Compass

Rozumiesz temat. Na egzaminie liczy się powtarzalność — że rozwiążesz każdy wariant pewnie. W aplikacji Compass masz prowadzoną ścieżkę zadań, interaktywne rysunki i zadania w formacie CKE — tyle, ile trzeba, aż temat będzie naprawdę opanowany.

Wypróbuj 7 dni za darmo Zobacz cennik

Sprawdź, czy naprawdę to umiesz

Jeden przykład to nie to samo co opanowany temat. Darmowy test diagnostyczny Compass w kilkanaście minut pokaże, czy ten i pozostałe tematy egzaminu są u Ciebie pewne — i od czego zacząć.

Zrób darmową diagnozę

Najczęstsze pytania

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty, |AB|=16 oraz BAC= 34. Oblicz długości przyprostokątnych BC i AC. +

Odpowiedź: |BC|=12, |AC|=4 7. Naprzeciw kąta A leży bok BC, a AB to przeciwprostokątna — znam więc dokładnie te boki, które występują w definicji sinusa: A=|BC|/|AB|. Stąd |BC|=|AB|· A=16· 34=12. Drugą przyprostokątną najszybciej daje twierdzenie Pitagorasa: |AC|²=16²-12²=256-144=112, więc |AC|= $\sqrt{112}$ =4 7. Kontrola: A=4 7/16= 7/4 i ≤ft( 34 )²+≤ft( 7/4 )²=9/16+7/16=1 — zgadza się.

Inne tematy z matematyki

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria Rozpoznawanie rodzajów trójkątów Planimetria Twierdzenie Talesa Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Szykujesz się do egzaminu? Zobacz cały kurs do matury podstawowej →