Twierdzenie Talesa — wytłumaczenie, wzór i zadania

Proste równoległe przecinające ramiona kąta odcinają na nich odcinki proporcjonalne — to twierdzenie Talesa. Gdy proste $AC \parallel BD$ przecinają ramiona kąta o wierzchołku $O$ ($A$ i $C$ leżą bliżej wierzchołka), to $\dfrac{|OA|}{|AB|}=\dfrac{|OC|}{|CD|}$ oraz $\dfrac{|OA|}{|OB|}=\dfrac{|OC|}{|OD|}$ — porównujesz odcinki liczone „od tego samego miejsca” na obu ramionach.

• Kawałki: $|OA|=4$, $|AB|=6$, $|OC|=10$ $\Rightarrow$ $|CD|=\dfrac{6\cdot 10}{4}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{15}}$.
• Całe odcinki: $|OA|=3$, $|OB|=9$, $|OC|=5$ $\Rightarrow$ $|OD|=\dfrac{9\cdot 5}{3}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{15}}$.
• „Motyl” (proste równoległe po obu stronach punktu $O$): $|OA|=2$, $|OB|=8$, $|OC|=3$ $\Rightarrow$ $|OD|=\dfrac{8\cdot 3}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$.
• Z niewiadomą: $\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{2}{5}$ $\Rightarrow$ $5x=2x+6$ $\Rightarrow$ $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$.

Na maturze: zadanie ma rysunek z kątem i dwiema prostymi równoległymi (albo trójkąt z odcinkiem równoległym do boku) i pyta o jeden odcinek za 1 pkt. Najczęstsza pułapka: dane mieszają kawałek ($|AB|$) z całym odcinkiem ($|OB|$) — zanim ułożysz proporcję, dopisz na rysunku brakujące długości. Twierdzenia Talesa nie ma na karcie wzorów CKE; wystarczy sprawdzić, że w proporcji po obu stronach stoją odcinki „tego samego rodzaju” (oba kawałki albo oba całe).