Twierdzenie Talesa — proporcje odcinków, przykłady i zadania

Q: Jak obliczyć odcinek z twierdzenia Talesa?

Ułóż proporcję i pomnóż na krzyż. Przy |OA|=4, |AB|=6, |OC|=10 jest |CD|=(6· 10)/4=15.

Q: Czy w twierdzeniu Talesa można brać odcinki od wierzchołka?

Tak: |OA|/|OB|=|OC|/|OD|. Przy |OA|=3, |OB|=9, |OC|=5 wychodzi |OD|=(9· 5)/3=15. Ważne, żeby po obu stronach stały odcinki tego samego rodzaju.

Twierdzenie Talesa: proste równoległe przecinające ramiona kąta odcinają na nich odcinki proporcjonalne. Gdy $AC \parallel BD$ , to $\dfrac{|OA|}{|AB|}=\dfrac{|OC|}{|CD|}$ oraz $\dfrac{|OA|}{|OB|}=\dfrac{|OC|}{|OD|}$ .

Planimetria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Proporcja odcinków między prostymi $O$ — wierzchołek kąta; $A$ , $C$ — punkty bliżej wierzchołka, $AC \parallel BD$: $\dfrac{|OA|}{|AB|}=\dfrac{|OC|}{|CD|}$
Proporcja odcinków od wierzchołka $|OB|=|OA|+|AB|$ , $|OD|=|OC|+|CD|$: $\dfrac{|OA|}{|OB|}=\dfrac{|OC|}{|OD|}$

Co mówi twierdzenie Talesa — wzór

Proste równoległe przecinające ramiona kąta odcinają na nich odcinki proporcjonalne — to twierdzenie Talesa. Gdy proste $AC \parallel BD$ przecinają ramiona kąta o wierzchołku $O$ ( $A$ i $C$ leżą bliżej wierzchołka), to $\dfrac{|OA|}{|AB|}=\dfrac{|OC|}{|CD|}$ oraz $\dfrac{|OA|}{|OB|}=\dfrac{|OC|}{|OD|}$ — porównujesz odcinki liczone „od tego samego miejsca” na obu ramionach.

Kawałki: $|OA|=4$ , $|AB|=6$ , $|OC|=10$ $\Rightarrow$ $|CD|=\dfrac{6\cdot 10}{4}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{15}}$ .
Całe odcinki: $|OA|=3$ , $|OB|=9$ , $|OC|=5$ $\Rightarrow$ $|OD|=\dfrac{9\cdot 5}{3}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{15}}$ .
„Motyl” (proste równoległe po obu stronach punktu $O$ ): $|OA|=2$ , $|OB|=8$ , $|OC|=3$ $\Rightarrow$ $|OD|=\dfrac{8\cdot 3}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$ .
Z niewiadomą: $\dfrac{x}{x+3}=\dfrac{2}{5}$ $\Rightarrow$ $5x=2x+6$ $\Rightarrow$ $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ .

Odcinki całe czy kawałki — jak ułożyć proporcję

Na maturze: zadanie ma rysunek z kątem i dwiema prostymi równoległymi (albo trójkąt z odcinkiem równoległym do boku) i pyta o jeden odcinek za 1 pkt. Najczęstsza pułapka: dane mieszają kawałek ( $|AB|$ ) z całym odcinkiem ( $|OB|$ ) — zanim ułożysz proporcję, dopisz na rysunku brakujące długości. Twierdzenia Talesa nie ma na karcie wzorów CKE; wystarczy sprawdzić, że w proporcji po obu stronach stoją odcinki „tego samego rodzaju” (oba kawałki albo oba całe).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Podział odcinka w danym stosunku

Dzielisz długość odcinka przez sumę m + n, żeby wyznaczyć obie części, a z jednej części odtwarzasz całość.

Zadanie Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC i dzieli go w stosunku |AD| : |DB| = 3 : 5. Długość boku AB wynosi 32. Oblicz |AD| i |DB|.

Stosunek 3 : 5 oznacza, że odcinek AB składa się z 3 + 5 = 8 równych „porcji”.
Jedna porcja: 32 : 8 = 4.
|AD| to 3 porcje: 3·4 = 12, a |DB| to 5 porcji: 5·4 = 20.
Sprawdzenie: 12 + 20 = 32 oraz 12 : 20 = 3 : 5.

Odpowiedź: |AD| = 12, |DB| = 20

Przykład 2 Czwarty odcinek z proporcji Talesa

Z trzech znanych odcinków odciętych przez proste równoległe na ramionach kąta wyznaczasz czwarty z proporcji |OA| : |AB| = |OC| : |CD|.

Zadanie Dany jest kąt o wierzchołku O. Na jednym ramieniu leżą punkty A i B (A bliżej O), na drugim punkty C i D (C bliżej O), przy czym proste AC i BD są równoległe. Wiadomo, że |OA| = 6, |AB| = 9 oraz |OC| = 8. Oblicz |CD|.

Punkty A i C leżą na tej samej prostej równoległej, B i D na drugiej — odpowiadają sobie odcinki OA ↔ OC oraz AB ↔ CD.
Twierdzenie Talesa dla kawałków: |OA|/|AB| = |OC|/|CD|, czyli 6/9 = 8/|CD|.
Mnożę na krzyż: 6·|CD| = 9·8 = 72.
|CD| = 72 : 6 = 12. Sprawdzenie: 8/12 = 2/3 = 6/9.

Odpowiedź: |CD| = 12

Przykład 3 Proporcja z odcinkami całymi i kawałkami

Rozróżniasz odcinki liczone od wierzchołka (|OB| = |OA| + |AB|) od kawałków między prostymi i dobierasz proporcję do danych: |OA| : |OB| = |OC| : |OD| albo |AB| : |OB| = |CD| : |OD|.

Zadanie Proste AC i BD są równoległe i przecinają ramiona kąta o wierzchołku O: punkty A i B leżą na jednym ramieniu, C i D na drugim, A i C bliżej wierzchołka. Wiadomo, że |OB| = 20, |AB| = 8 oraz |OD| = 15. Oblicz |CD|.

Dane mieszają odcinki całe (|OB|, |OD|) z kawałkiem (|AB|). Najpierw uzupełniam brakujący kawałek: |OA| = |OB| − |AB| = 20 − 8 = 12.
Znam całe |OD|, więc wybieram proporcję z odcinkami całymi: |OA|/|OB| = |OC|/|OD|, czyli 12/20 = |OC|/15.
|OC| = 12·15/20 = 9.
Szukany kawałek: |CD| = |OD| − |OC| = 15 − 9 = 6. Sprawdzenie: |AB|/|OB| = 8/20 = 2/5 oraz |CD|/|OD| = 6/15 = 2/5 — można było też od razu użyć proporcji kawałek/cały.

Odpowiedź: |CD| = 6

Przykład 4 Twierdzenie Talesa w układzie „motyla”

Gdy proste równoległe leżą po obu stronach punktu przecięcia O, stosujesz |OA| : |OB| = |OC| : |OD| do odcinków liczonych od O, a sumę |OC| + |OD| rozdzielasz jak odcinek w stosunku.

Zadanie Odcinki AB i CD przecinają się w punkcie O, przy czym proste AC i BD są równoległe. Wiadomo, że |OA| = 6, |OB| = 9 oraz |OC| = 4. Oblicz |OD| oraz długość odcinka CD.

Punkt O leży między A i B oraz między C i D — to „motyl”: dwa trójkąty OAC i OBD o równych kątach wierzchołkowych przy O, a proste AC i BD są równoległe.
Odpowiadają sobie punkty leżące na tej samej prostej równoległej: A ↔ C (prosta AC) oraz B ↔ D (prosta BD). Twierdzenie Talesa: |OA|/|OB| = |OC|/|OD|.
6/9 = 4/|OD| ⇒ 6·|OD| = 36 ⇒ |OD| = 6.
Odcinek CD przechodzi przez O, więc |CD| = |OC| + |OD| = 4 + 6 = 10.

Odpowiedź: |OD| = 6, |CD| = 10

Przykład 5 Proporcja Talesa z niewiadomą x

Gdy długości odcinków są wyrażone przez x, zapisujesz proporcję Talesa jako równanie, mnożysz na krzyż i rozwiązujesz, a potem wracasz do pytania o odcinek.

Zadanie Proste AC i BD są równoległe i przecinają ramiona kąta o wierzchołku O (A i C leżą bliżej wierzchołka; A, B na jednym ramieniu, C, D na drugim). Wiadomo, że |OA| = x, |AB| = x + 2, |OC| = 4 oraz |CD| = 6. Oblicz x oraz długość odcinka OB.

Odcinki OA i AB leżą na jednym ramieniu, OC i CD na drugim, więc |OA|/|AB| = |OC|/|CD|: x/(x + 2) = 4/6.
Skracam prawą stronę do 2/3 i mnożę na krzyż: 3x = 2(x + 2).
3x = 2x + 4 ⇒ x = 4. Sprawdzenie: 4/6 = 2/3.
Pytanie dotyczy odcinka OB: |OB| = |OA| + |AB| = 4 + 6 = 10.

Odpowiedź: x = 4, |OB| = 10

Najczęstsze błędy

Mieszanie kawałka z całym odcinkiem w jednej proporcji. Po obu stronach muszą stać odcinki tego samego rodzaju: oba kawałki ( $|AB|$ , $|CD|$ ) albo oba liczone od wierzchołka ( $|OB|$ , $|OD|$ ).
Układanie proporcji bez uzupełnienia rysunku. Gdy dane są $|OB|$ i $|AB|$ , najpierw liczymy $|OA|=|OB|-|AB|$ .
Odpowiedź $x$ zamiast odcinka, o który pytają. Po wyznaczeniu $x$ wracamy do pytania, np. $|OB|=|OA|+|AB|$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Punkt P leży na odcinku AB o długości 21 i dzieli go tak, że |AP| : |PB| = 4 : 3. Długość odcinka PB jest równa:

Zadanie 2

Proste AC i BD są równoległe i przecinają ramiona kąta o wierzchołku O; punkty A i B leżą na jednym ramieniu, C i D na drugim, przy czym A i C leżą bliżej wierzchołka. Wiadomo, że |OA| = 3, |AB| = 4,5 oraz |CD| = 6. Długość odcinka OC jest równa:

Zadanie 3

Proste AC i BD są równoległe i przecinają ramiona kąta o wierzchołku O, przy czym A i C leżą bliżej wierzchołka (A, B na jednym ramieniu, C, D na drugim). Wiadomo, że |OA| = 6, |AB| = 4 oraz |OD| = 25. Długość odcinka OC jest równa:

Zadanie 4

Odcinki AB i CD przecinają się w punkcie O, a proste AC i BD są równoległe. Wiadomo, że |OA| = 4, |OB| = 10 oraz |CD| = 21. Długość odcinka OC jest równa:

Zadanie 5

Proste AC i BD są równoległe i przecinają ramiona kąta o wierzchołku O, przy czym A i C leżą bliżej wierzchołka (A, B na jednym ramieniu, C, D na drugim). Wiadomo, że |OA| = x, |AB| = 3, |OC| = x + 1 oraz |CD| = 5. Długość odcinka OA jest równa:

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne — matura A po co MI ta MATMA?

Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie Mateusz Kowalski

Najczęstsze pytania

Jak brzmi twierdzenie Talesa?

Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu: $\dfrac{|OA|}{|AB|}=\dfrac{|OC|}{|CD|}$ .

Jak obliczyć odcinek z twierdzenia Talesa?

Ułóż proporcję i pomnóż na krzyż. Przy $|OA|=4$ , $|AB|=6$ , $|OC|=10$ jest $|CD|=\dfrac{6\cdot 10}{4}=15$ .

Czy w twierdzeniu Talesa można brać odcinki od wierzchołka?

Tak: $\dfrac{|OA|}{|OB|}=\dfrac{|OC|}{|OD|}$ . Przy $|OA|=3$ , $|OB|=9$ , $|OC|=5$ wychodzi $|OD|=\dfrac{9\cdot 5}{3}=15$ . Ważne, żeby po obu stronach stały odcinki tego samego rodzaju.

Co to jest „motyl” w twierdzeniu Talesa?

Układ, w którym proste równoległe leżą po obu stronach punktu przecięcia $O$ . Odcinki liczymy od $O$ : przy $|OA|=2$ , $|OB|=8$ , $|OC|=3$ jest $|OD|=\dfrac{8\cdot 3}{2}=12$ .

Czy twierdzenie Talesa jest na karcie wzorów?

Nie, na karcie wzorów CKE go nie ma — proporcję trzeba ułożyć samodzielnie z rysunku.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Obwody i pola figur podobnych Planimetria Okręgi: promienie, cięciwy, styczne Planimetria Punkty szczególne trójkąta Planimetria Rozpoznawanie rodzajów trójkątów Planimetria Trygonometria w figurach płaskich Planimetria Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę