Symetrie w układzie współrzędnych — względem osi Ox, Oy i początku układu

Q: Jak wyznaczyć punkt symetryczny względem osi Ox?

Zmieniamy znak drugiej współrzędnej: (x,y)→(x,-y). Obraz punktu (-2,7) względem osi Ox to (-2,-7).

Q: Jak wyznaczyć punkt symetryczny względem osi Oy?

Zmieniamy znak pierwszej współrzędnej: (x,y)→(-x,y). Obraz punktu (-2,7) względem osi Oy to (2,7).

Q: Co to jest symetria względem początku układu współrzędnych?

To symetria środkowa względem punktu (0,0): zmieniają się znaki obu współrzędnych, (x,y)→(-x,-y), np. (-2,7)→(2,-7). Ten sam wynik daje odbicie względem osi Ox, a potem względem osi Oy.

W symetrii względem osi $Ox$ zmienia się znak drugiej współrzędnej: $(x,y)\to(x,-y)$ , względem osi $Oy$ — pierwszej: $(x,y)\to(-x,y)$ , a w symetrii względem początku układu $(0,0)$ — obu: $(x,y)\to(-x,-y)$ .

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej · matura podstawowa 3 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Symetria względem osi Ox zmienia się znak drugiej współrzędnej: $(x,y)\to(x,-y)$
Symetria względem osi Oy zmienia się znak pierwszej współrzędnej: $(x,y)\to(-x,y)$
Symetria względem początku układu (0,0) zmieniają się znaki obu współrzędnych: $(x,y)\to(-x,-y)$

Symetria względem osi Ox, Oy i początku układu — wzory

W symetrii względem osi $Ox$ zmieniasz znak drugiej współrzędnej: $(x,y)\to(x,\textcolor{#d97706}{-y})$ ; względem osi $Oy$ — pierwszej: $(x,y)\to(\textcolor{#0284c7}{-x},y)$ ; w symetrii środkowej względem początku układu $(0,0)$ — obie: $(x,y)\to(-x,-y)$ . Figurę odbijasz przez jej punkty charakterystyczne: wielokąt — przez wierzchołki, okrąg — przez środek. Długości, pola i promień się nie zmieniają.

Przykłady: obraz punktu, okręgu i trójkąta

obraz punktu $(\mathbf{-2},\mathbf{7})$ : względem $Ox$ $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-2,-7)}}$ , względem $Oy$ $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(2,7)}}$ , względem $(0,0)$ $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(2,-7)}}$
okrąg $(x-3)^2+(y+1)^2=4$ ma środek $(3,-1)$ i promień $2$ ; jego obraz względem $Oy$ ma środek $(-3,-1)$ i ten sam promień: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(x+3)^2+(y+1)^2=4}}$
trójkąt o wierzchołkach $(1,2)$ , $(4,2)$ , $(1,6)$ w symetrii środkowej względem $(0,0)$ ma wierzchołki $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-1,-2),\ (-4,-2),\ (-1,-6)}}$ , a pole nadal $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$

Obraz okręgu w symetrii — zadanie maturalne

Na maturze: zadanie brzmi zwykle „okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii … — okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem”. Odczytaj środek z równania (znaki odwrotne niż w nawiasach!), odbij go, $r^2$ przepisz bez zmian i wróć do postaci $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ . Pułapka: $(x+1)^2$ to środek o $x=-1$ , jego obraz względem $Oy$ ma $x=1$ , czyli w równaniu obrazu pojawia się $(x-1)^2$ . Punkt leżący na osi symetrii (lub w środku symetrii) jest swoim własnym obrazem.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Obraz punktu w symetrii względem osi Ox i Oy

Odbijasz punkt względem osi Ox (zmiana znaku y) albo osi Oy (zmiana znaku x) i wracasz do punktu wyjściowego, gdy dany jest jego obraz.

Zadanie Dany jest punkt $A=(-6, 8)$ . Punkt $B$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem osi $Oy$ , a punkt $C$ — obrazem punktu $A$ w symetrii względem osi $Ox$ . Wyznacz współrzędne punktów $B$ i $C$ oraz długość odcinka $BC$ .

Oś $Oy$ jest pionowa, więc odbicie względem niej przestawia punkt w lewo–prawo: zmienia się znak pierwszej współrzędnej, druga zostaje. $B=(6, 8)$ .
Oś $Ox$ jest pozioma — odbicie zmienia znak drugiej współrzędnej: $C=(-6, -8)$ .
Długość odcinka liczę ze wzoru na odległość punktów: $|BC|=\sqrt{(6-(-6))^2+(8-(-8))^2}=\sqrt{12^2+16^2}$ .
$\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ , więc $|BC|=20$ .

Odpowiedź: $B=(6,8)$ , $C=(-6,-8)$ , $|BC|=20$

Przykład 2 Obraz punktu w symetrii względem początku układu

Zmieniasz znaki obu współrzędnych punktu i rozpoznajesz, że odbicie względem osi Ox, a potem Oy, daje symetrię środkową względem początku układu.

Zadanie Punkt $A=(-5, 2)$ odbito względem osi $Ox$ , otrzymując punkt $A_1$ , a następnie punkt $A_1$ odbito względem osi $Oy$ , otrzymując punkt $A_2$ . Wyznacz współrzędne punktu $A_2$ i wskaż, w jakiej jednej symetrii punkt $A_2$ jest obrazem punktu $A$ .

Odbicie względem $Ox$ zmienia znak drugiej współrzędnej: $A_1=(-5, -2)$ .
Odbicie względem $Oy$ zmienia znak pierwszej współrzędnej: $A_2=(5, -2)$ .
Porównuję $A=(-5,2)$ z $A_2=(5,-2)$ : obie współrzędne zmieniły znak, czyli $A_2=(-x_A,\,-y_A)$ .
Taką regułę ma symetria środkowa względem początku układu (obrót o $180^\circ$ wokół $(0,0)$ ) — $A_2$ jest obrazem $A$ w symetrii względem punktu $(0,0)$ .

Odpowiedź: $A_2=(5,-2)$ ; symetria środkowa względem $(0,0)$

Przykład 3 Obraz trójkąta — odbicie wierzchołków

Odbijasz każdy wierzchołek trójkąta lub czworokąta według reguły symetrii i korzystasz z tego, że długości boków i pole figury się nie zmieniają.

Zadanie Trójkąt $ABC$ ma wierzchołki $A=(-4, 1)$ , $B=(2, 1)$ , $C=(-1, 5)$ . Trójkąt $A'B'C'$ jest obrazem trójkąta $ABC$ w symetrii względem osi $Ox$ . Wyznacz wierzchołki trójkąta $A'B'C'$ i oblicz jego pole.

Obraz wielokąta wyznaczają obrazy jego wierzchołków — odbijam każdy osobno. Względem $Ox$ zmienia się znak drugiej współrzędnej: $A'=(-4,-1)$ , $B'=(2,-1)$ , $C'=(-1,-5)$ .
Symetria zachowuje długości i pola, więc $P_{A'B'C'}=P_{ABC}$ — wystarczy policzyć pole trójkąta wyjściowego.
Bok $AB$ leży na prostej $y=1$ , więc $|AB|=2-(-4)=6$ ; wysokość opuszczona z $C$ to odległość $C$ od tej prostej: $5-1=4$ .
$P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$ , zatem pole trójkąta $A'B'C'$ wynosi $12$ .

Odpowiedź: $A'=(-4,-1)$ , $B'=(2,-1)$ , $C'=(-1,-5)$ ; pole $12$

Przykład 4 Obraz okręgu: odbity środek, ten sam promień

Odczytujesz środek i promień okręgu (także z równania), odbijasz środek według reguły symetrii, a promień przepisujesz bez zmian.

Zadanie Okrąg $\mathcal{O}$ ma równanie $(x+3)^2+(y-4)^2=25$ . Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii względem osi $Ox$ . Podaj środek i promień okręgu $\mathcal{K}$ i sprawdź, czy początek układu współrzędnych leży na okręgu $\mathcal{K}$ .

Odczytuję środek i promień z postaci $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ : $x+3=x-(-3)$ , więc $S=(-3, 4)$ , a $r=\sqrt{25}=5$ .
Odbijam tylko środek — symetria względem $Ox$ zmienia znak drugiej współrzędnej: $S'=(-3, -4)$ .
Symetria zachowuje odległości, więc promień obrazu jest ten sam: $r'=5$ .
Punkt $(0,0)$ leży na $\mathcal{K}$ , gdy jego odległość od $S'$ równa się $r'$ : $|S'O|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$ — tak, początek układu leży na okręgu $\mathcal{K}$ .

Odpowiedź: $S'=(-3,-4)$ , $r'=5$ ; $(0,0)$ leży na okręgu $\mathcal{K}$

Przykład 5 Równanie obrazu okręgu w symetrii

Zapisujesz równanie obrazu okręgu: ze znaków w nawiasach odczytujesz środek, odbijasz go i wracasz do postaci (x−a)^{do potęgi 2}+(y−b)^{do potęgi 2}=r^{do potęgi 2} z tym samym r^{do potęgi 2}.

Zadanie W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $(x+4)^2+(y-1)^2=7$ . Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii względem osi $Ox$ . Wyznacz równanie okręgu $\mathcal{K}$ .

Środek odczytuję z odwróconymi znakami: $(x+4)^2=(x-(-4))^2$ i $(y-1)^2$ , więc $S=(-4, 1)$ . Promienia nie muszę pierwiastkować — do równania obrazu wpiszę to samo $r^2=7$ .
Symetria względem $Ox$ zmienia znak drugiej współrzędnej środka: $S'=(-4, -1)$ . Promień zostaje, więc $r^2=7$ .
Wracam do postaci $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ z $a=-4$ , $b=-1$ : $(x-(-4))^2+(y-(-1))^2=7$ .
Po uproszczeniu znaków: $\mathcal{K}\colon (x+4)^2+(y+1)^2=7$ — w porównaniu z $\mathcal{O}$ zmienił się tylko znak w nawiasie z $y$ .

Odpowiedź: $(x+4)^2+(y+1)^2=7$

Najczęstsze błędy

Odczytanie środka okręgu bez odwrócenia znaków: $(x+1)^2$ to środek o pierwszej współrzędnej $-1$ ; jego obraz względem $Oy$ ma pierwszą współrzędną $1$ , więc w równaniu obrazu jest $(x-1)^2$ .
Zmiana promienia przy odbiciu okręgu. Odbijamy tylko środek, a $r^2$ przepisujemy bez zmian.
Zmiana znaku nie tej współrzędnej: symetria względem osi $Ox$ zmienia znak $y$ , a względem osi $Oy$ — znak $x$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Punkt $A'=(3, -8)$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem osi $Oy$ . Punkt $A$ ma współrzędne:

Zadanie 2

Punkt $B=(-6, 9)$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Punkt $A$ ma współrzędne:

Zadanie 3

Trójkąt $ABC$ ma wierzchołki $A=(-3,-2)$ , $B=(4,-2)$ , $C=(0,6)$ . Trójkąt $A'B'C'$ jest obrazem trójkąta $ABC$ w symetrii względem osi $Ox$ . Wierzchołki trójkąta $A'B'C'$ to:

Zadanie 4

Okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $(x-4)^2+(y+3)^2=16$ odbito względem osi $Ox$ . Środek $S$ i promień $r$ otrzymanego okręgu to:

Zadanie 5

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $(x-3)^2+(y+4)^2=11$ . Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 27

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$

Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o równaniu Matura 2024 — matematyka, poziom podstawowy, termin dodatkowy (czerwiec) · zadanie 23.2

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Symetria osiowa w układzie współrzędnych Pi-stacja Matematyka

Symetria środkowa i osiowa w układzie współrzędnych Pizza Math

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć punkt symetryczny względem osi Ox?

Zmieniamy znak drugiej współrzędnej: $(x,y)\to(x,-y)$ . Obraz punktu $(-2,7)$ względem osi $Ox$ to $(-2,-7)$ .

Jak wyznaczyć punkt symetryczny względem osi Oy?

Zmieniamy znak pierwszej współrzędnej: $(x,y)\to(-x,y)$ . Obraz punktu $(-2,7)$ względem osi $Oy$ to $(2,7)$ .

Co to jest symetria względem początku układu współrzędnych?

To symetria środkowa względem punktu $(0,0)$ : zmieniają się znaki obu współrzędnych, $(x,y)\to(-x,-y)$ , np. $(-2,7)\to(2,-7)$ . Ten sam wynik daje odbicie względem osi $Ox$ , a potem względem osi $Oy$ .

Jak wyznaczyć równanie obrazu okręgu w symetrii?

Odczytujemy środek z równania (znaki odwrotne niż w nawiasach), odbijamy go, a $r^2$ przepisujemy bez zmian. Obraz okręgu $(x-3)^2+(y+1)^2=4$ względem osi $Oy$ to $(x+3)^2+(y+1)^2=4$ .

Czy symetria zmienia długości i pola figur?

Nie — długości, pola i promień się nie zmieniają. Trójkąt o wierzchołkach $(1,2)$ , $(4,2)$ , $(1,6)$ ma pole $6$ i jego obraz w symetrii względem $(0,0)$ też ma pole $6$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Równanie okręgu Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Odległość punktów w układzie współrzędnych Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Równania prostych na płaszczyźnie Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Ciąg arytmetyczny Ciągi Ciąg geometryczny Ciągi Ciągi określone rekurencyjnie Ciągi Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę