Symetrie w układzie współrzędnych — wytłumaczenie, wzór i zadania

W symetrii względem osi $Ox$ zmieniasz znak drugiej współrzędnej: $(x,y)\to(x,\textcolor{#d97706}{-y})$; względem osi $Oy$ — pierwszej: $(x,y)\to(\textcolor{#0284c7}{-x},y)$; w symetrii środkowej względem początku układu $(0,0)$ — obie: $(x,y)\to(-x,-y)$. Figurę odbijasz przez jej punkty charakterystyczne: wielokąt — przez wierzchołki, okrąg — przez środek. Długości, pola i promień się nie zmieniają.

• obraz punktu $(\mathbf{-2},\mathbf{7})$: względem $Ox$ $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-2,-7)}}$, względem $Oy$ $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(2,7)}}$, względem $(0,0)$ $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(2,-7)}}$
• okrąg $(x-3)^2+(y+1)^2=4$ ma środek $(3,-1)$ i promień $2$; jego obraz względem $Oy$ ma środek $(-3,-1)$ i ten sam promień: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(x+3)^2+(y+1)^2=4}}$
• trójkąt o wierzchołkach $(1,2)$, $(4,2)$, $(1,6)$ w symetrii środkowej względem $(0,0)$ ma wierzchołki $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-1,-2),\ (-4,-2),\ (-1,-6)}}$, a pole nadal $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$

Na maturze: zadanie brzmi zwykle „okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii … — okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem”. Odczytaj środek z równania (znaki odwrotne niż w nawiasach!), odbij go, $r^2$ przepisz bez zmian i wróć do postaci $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Pułapka: $(x+1)^2$ to środek o $x=-1$, jego obraz względem $Oy$ ma $x=1$, czyli w równaniu obrazu pojawia się $(x-1)^2$. Punkt leżący na osi symetrii (lub w środku symetrii) jest swoim własnym obrazem.