Równania prostych na płaszczyźnie — wytłumaczenie, wzór i zadania

Prostą zapisujesz w postaci kierunkowej $y=ax+b$ ($a$ — współczynnik kierunkowy, $b$ — wyraz wolny, czyli punkt $(0,b)$ na osi $Oy$) albo ogólnej $Ax+By+C=0$; z ogólnej na kierunkową przechodzisz, wyznaczając $y$. Równanie prostej „o zadanych własnościach” układasz zawsze tak samo: najpierw $a$ (z równoległości, prostopadłości, kąta nachylenia albo z dwóch punktów), potem $b$ z podstawienia punktu.

• $2x-4y+8=0 \Rightarrow 4y=2x+8 \Rightarrow y=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac12 x+2}}$.
• Równoległa do $y=-3x+4$ przez $(2,-1)$: $a=-3$, $-1=-6+b \Rightarrow b=5$, czyli $y=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-3x+5}}$.
• Prostopadła do $y=\tfrac12 x-4$ przez $(1,3)$: $a=-\tfrac{1}{1/2}=-2$, $3=-2+b$, więc $y=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2x+5}}$.
• Przez $A=(1,1)$ i $B=(3,7)$: $a=\frac{7-1}{3-1}=3$, $1=3+b$, więc $y=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3x-2}}$.
• Kąt nachylenia $45^\circ$, punkt $(0,2)$: $a=\operatorname{tg}45^\circ=1$, $y=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x+2}}$.

Na maturze: karta wzorów podaje warunki $a_1=a_2$ (równoległość), $a_1\cdot a_2=-1$ (prostopadłość) oraz wzór na prostą przez dwa punkty — szybciej jednak policzyć $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ i podstawić punkt. Zadanie za 1 pkt zwykle daje prostą z ułamkowym $a$ (np. $-\tfrac13$) i punkt; pułapka to przepisanie wyrazu wolnego danej prostej — $b$ szukanej prostej zawsze liczysz od nowa. Gdy pytają o punkt przecięcia z osią $Oy$, odpowiedź to $(0,b)$; z osią $Ox$ — rozwiąż $ax+b=0$.