Odległość punktów w układzie współrzędnych i środek odcinka — wzory i zadania

Q: Jaki jest wzór na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych?

|AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²) — różnice współrzędnych podnosimy do kwadratu, dodajemy i wyciągamy pierwiastek. Dla A=(-4,1) i B=(2,4): |AB|=√(6²+3²)=√45=3√5.

Q: Jak obliczyć środek odcinka?

Weź średnią współrzędnych końców: S=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2). Dla A=(-3,4) i B=(5,-1): S=(1,3/2).

Q: Jak obliczyć pole kwadratu, gdy znane są dwa wierzchołki?

Gdy to kolejne wierzchołki, pole to |AB|²; gdy przeciwległe — |AC|²/2. Pierwiastka nie trzeba wyciągać: przy |AC|²=72 pole wynosi 36.

Q: Jak wyznaczyć wierzchołek równoległoboku z punktu przecięcia przekątnych?

Przekątne dzielą się na połowy, więc S jest środkiem AC i C=2S-A. Dla A=(-3,1) i S=(2,3): C=(7,5).

Q: Jak znaleźć punkt na osi Ox równoodległy od dwóch punktów?

Zapisz P=(x,0) i ułóż równanie |PA|²=|PB|² — kwadraty x się skrócą i zostanie równanie liniowe. Dla A=(2,5) i B=(6,3) wychodzi P=(2,0).

Odległość punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ to $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ — twierdzenie Pitagorasa dla różnic współrzędnych. Środek odcinka to średnia współrzędnych jego końców.

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Odległość punktów (długość odcinka) $A=(x_1,y_1)$ , $B=(x_2,y_2)$ — końce odcinka: $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Środek odcinka średnia współrzędnych końców $A$ i $B$: $S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
Pole kwadratu z przekątnej $AC$ — przekątna kwadratu: $P=\frac{|AC|^2}{2}$

Wzór na odległość punktów i środek odcinka

Odległość punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ to $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ — twierdzenie Pitagorasa dla różnic współrzędnych; środek odcinka to średnia współrzędnych końców: $S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ . Z tych dwóch wzorów wyznaczasz boki i przekątne figur, brakujące wierzchołki, pola i punkty równoodległe.

$A=(-4,1)$ , $B=(2,4)$ : $|AB|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3\sqrt{5}}}$
środek $A=(-3,4)$ , $B=(5,-1)$ : $S=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\left(1,\ \tfrac{3}{2}\right)}}$
przekątne równoległoboku przecinają się w $S$ , więc $C=2S-A$ oraz $|AC|=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2|AS|}}$
kwadrat o przekątnej $AC$ : $P=\frac{|AC|^2}{2}$ — dla $|AC|^2=72$ pole to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{36}}$ , bez wyciągania pierwiastka

Bok, przekątna i pole kwadratu w zadaniach maturalnych

Na maturze: wzory na odległość i środek odcinka masz w karcie wzorów CKE (geometria analityczna). Zadania zamknięte za 1 pkt podają zwykle dwa wierzchołki kwadratu albo wierzchołek i punkt przecięcia przekątnych — liczysz jedną odległość, a potem podwajasz ją lub podnosisz do kwadratu; pierwiastek upraszczaj ( $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ ). Znak różnicy nie ma znaczenia, bo ją podnosisz do kwadratu — pułapką jest $-(-4)$ . W zadaniu otwartym „punkt $P$ na osi $Ox$ równoodległy od $A$ i $B$ ” zapisz $P=(x,0)$ i równanie $|PA|^2=|PB|^2$ : kwadraty $x$ się skrócą.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Długość odcinka ze współrzędnych końców

Podstawiasz różnice współrzędnych do wzoru |AB| = √((x₂−x₁)^{do potęgi 2} + (y₂−y₁)^{do potęgi 2}), upraszczasz pierwiastek, a przy danej odległości wyznaczasz brakującą współrzędną.

Zadanie W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (-1, 3)$ oraz $B = (5, -1)$ . Oblicz długość odcinka $AB$ .

Wzór potrzebuje różnic współrzędnych, więc odejmuję w tej samej kolejności: $x_B - x_A = 5 - (-1) = 6$ oraz $y_B - y_A = -1 - 3 = -4$ (znak różnicy nie ma znaczenia, bo zaraz ją podniosę do kwadratu).
Podnoszę różnice do kwadratu i dodaję: $|AB|^2 = 6^2 + (-4)^2 = 36 + 16 = 52$ .
Wyciągam pierwiastek i upraszczam, szukając największego kwadratu dzielącego 52: $|AB| = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ .

Odpowiedź: $|AB| = 2\sqrt{13}$

Przykład 2 Środek odcinka ze współrzędnych końców

Współrzędne środka liczysz jako średnie współrzędnych końców S = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2), także gdy wychodzą ułamki lub gdy z położenia środka wyznaczasz parametr.

Zadanie Dane są punkty $A = (-5, 2)$ i $B = (3, -7)$ . Wyznacz współrzędne środka $S$ odcinka $AB$ .

Środek to średnia arytmetyczna współrzędnych końców, więc liczę osobno $x$ i osobno $y$ .
Współrzędna $x$ : $x_S = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ .
Współrzędna $y$ : $y_S = \frac{2 + (-7)}{2} = \frac{-5}{2} = -\frac{5}{2}$ — środek nie musi mieć całkowitych współrzędnych.
$S = \left(-1, -\frac{5}{2}\right)$ .

Odpowiedź: $S = \left(-1, -\frac{5}{2}\right)$

Przykład 3 Wierzchołek i przekątna z punktu przecięcia przekątnych

Punkt przecięcia przekątnych (środek symetrii) S jest środkiem każdej przekątnej: wyznaczasz brakujący wierzchołek C = 2S − A, a długość przekątnej jako 2·|AS|.

Zadanie W równoległoboku $ABCD$ dane są wierzchołki $A = (-3, 1)$ i $B = (5, -2)$ . Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $S = (2, 3)$ . Wyznacz współrzędne wierzchołka $C$ oraz oblicz długość przekątnej $BD$ .

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc $S$ jest środkiem $AC$ : $S = \frac{A + C}{2}$ , czyli $C = 2S - A$ .
Liczę współrzędne: $C = (2 \cdot 2 - (-3),\ 2 \cdot 3 - 1) = (7, 5)$ .
$S$ jest też środkiem $BD$ , więc $|BD| = 2|BS|$ — nie muszę wyznaczać $D$ .
$|BS| = \sqrt{(5-2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$ .
$|BD| = 2\sqrt{34}$ .

Odpowiedź: $C = (7, 5)$ , $|BD| = 2\sqrt{34}$

Przykład 4 Obwód i pole kwadratu z długości boku

Dla kolejnych wierzchołków A, B bok kwadratu to |AB|; obwód = 4·|AB|, a pole = |AB|^{do potęgi 2} liczysz bez wyciągania pierwiastka.

Zadanie W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-1, 2)$ oraz $B = (3, 4)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ . Oblicz obwód i pole tego kwadratu.

Kolejne wierzchołki wyznaczają bok, więc bok kwadratu to $a = |AB|$ .
Liczę najpierw kwadrat długości: $|AB|^2 = (3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 = 16 + 4 = 20$ .
Pole to $a^2 = |AB|^2 = 20$ — nie potrzebuję pierwiastka.
Do obwodu potrzebuję $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ , więc obwód $= 4a = 8\sqrt{5}$ .

Odpowiedź: obwód $8\sqrt{5}$ , pole $20$

Przykład 5 Pole kwadratu z przekątnej w układzie współrzędnych

Dla przeciwległych wierzchołków A i C liczysz kwadrat przekątnej |AC|^{do potęgi 2} i pole P = |AC|^{do potęgi 2}/2 bez wyciągania pierwiastka; bok i obwód wyznaczasz z d = a $\sqrt{2}$ .

Zadanie W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-2, 4)$ oraz $C = (4, -2)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ . Oblicz pole i obwód tego kwadratu.

Przeciwległe wierzchołki wyznaczają przekątną, więc $AC$ to przekątna $d$ , a pole kwadratu to $P = \frac{d^2}{2}$ — wystarczy mi $d^2$ , nie $d$ .
$d^2 = |AC|^2 = (4 - (-2))^2 + (-2 - 4)^2 = 36 + 36 = 72$ .
$P = \frac{72}{2} = 36$ .
Do obwodu potrzebuję boku: $a^2 = P = 36$ , więc $a = 6$ i obwód $= 4 \cdot 6 = 24$ .

Odpowiedź: $P = 36$ , obwód $24$

Przykład 6 Pole trójkąta w układzie współrzędnych

Za podstawę bierzesz bok równoległy do osi, a wysokość odczytujesz z różnicy współrzędnych; w trójkącie prostokątnym o skośnych bokach sprawdzasz z Pitagorasa, które boki są przyprostokątnymi, i liczysz ½·a·b.

Zadanie W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-2, 0)$ , $B = (4, 0)$ oraz $C = (1, 3)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Oblicz pole trójkąta $ABC$ .

Bok $AB$ leży na osi $Ox$ , więc biorę go za podstawę: $|AB| = 4 - (-2) = 6$ .
Wysokość opuszczona z $C$ na oś $Ox$ to odległość $C$ od tej osi, czyli współrzędna $y_C = 3$ .
$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$ .
Sprawdzenie drugą drogą: $|AC|^2 = 9 + 9 = 18$ , $|BC|^2 = 9 + 9 = 18$ , $|AB|^2 = 36 = 18 + 18$ , więc kąt prosty jest przy $C$ i $P = \frac{1}{2}\sqrt{18} \cdot \sqrt{18} = \frac{18}{2} = 9$ .

Odpowiedź: $P = 9$

Najczęstsze błędy

Błąd znaku przy odejmowaniu liczby ujemnej: $5-(-1)=6$ , a nie $4$ .
Wyciąganie pierwiastka, gdy liczymy pole. Pole kwadratu to $|AB|^2$ albo $\frac{|AC|^2}{2}$ — bez pierwiastka.
Nieuproszczony pierwiastek w odpowiedzi: $\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ , $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (-3, -2)$ oraz $B = (3, 1)$ . Długość odcinka $AB$ jest równa:

Zadanie 2

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (-3, -1)$ oraz $B = (4, 6)$ . Środek odcinka $AB$ ma współrzędne:

Zadanie 3

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest kwadrat $ABCD$ , w którym $A = (-3, 2)$ . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie $S = (3, -6)$ . Przekątna $AC$ ma długość:

Zadanie 4

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (1, -2)$ oraz $B = (4, 1)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ . Obwód kwadratu $ABCD$ jest równy:

Zadanie 5

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-3, 2)$ oraz $C = (5, -4)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ . Pole kwadratu $ABCD$ jest równe:

Zadanie 6

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-3, 0)$ , $B = (1, 4)$ oraz $C = (5, 0)$ są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Pole trójkąta $ABC$ jest równe:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 29

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-1, 5)$ oraz $C = (3, -3)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu $ABCD$ jest równe

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Długość odcinka — geometria analityczna matspot

Odległość między punktami, długość odcinka MatWujek

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych?

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ — różnice współrzędnych podnosimy do kwadratu, dodajemy i wyciągamy pierwiastek. Dla $A=(-4,1)$ i $B=(2,4)$ : $|AB|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ .

Jak obliczyć środek odcinka?

Weź średnią współrzędnych końców: $S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ . Dla $A=(-3,4)$ i $B=(5,-1)$ : $S=\left(1,\tfrac{3}{2}\right)$ .

Jak obliczyć pole kwadratu, gdy znane są dwa wierzchołki?

Gdy to kolejne wierzchołki, pole to $|AB|^2$ ; gdy przeciwległe — $\frac{|AC|^2}{2}$ . Pierwiastka nie trzeba wyciągać: przy $|AC|^2=72$ pole wynosi $36$ .

Jak wyznaczyć wierzchołek równoległoboku z punktu przecięcia przekątnych?

Przekątne dzielą się na połowy, więc $S$ jest środkiem $AC$ i $C=2S-A$ . Dla $A=(-3,1)$ i $S=(2,3)$ : $C=(7,5)$ .

Jak znaleźć punkt na osi Ox równoodległy od dwóch punktów?

Zapisz $P=(x,0)$ i ułóż równanie $|PA|^2=|PB|^2$ — kwadraty $x$ się skrócą i zostanie równanie liniowe. Dla $A=(2,5)$ i $B=(6,3)$ wychodzi $P=(2,0)$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Równania prostych na płaszczyźnie Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Równanie okręgu Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Symetrie w układzie współrzędnych Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę