Odległość punktów w układzie współrzędnych — wytłumaczenie, wzór i zadania

Odległość punktów $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ to $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ — twierdzenie Pitagorasa dla różnic współrzędnych; środek odcinka to średnia współrzędnych końców: $S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$. Z tych dwóch wzorów wyznaczasz boki i przekątne figur, brakujące wierzchołki, pola i punkty równoodległe.

• $A=(-4,1)$, $B=(2,4)$: $|AB|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3\sqrt{5}}}$
• środek $A=(-3,4)$, $B=(5,-1)$: $S=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\left(1,\ \tfrac{3}{2}\right)}}$
• przekątne równoległoboku przecinają się w $S$, więc $C=2S-A$ oraz $|AC|=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2|AS|}}$
• kwadrat o przekątnej $AC$: $P=\frac{|AC|^2}{2}$ — dla $|AC|^2=72$ pole to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{36}}$, bez wyciągania pierwiastka

Na maturze: wzory na odległość i środek odcinka masz w karcie wzorów CKE (geometria analityczna). Zadania zamknięte za 1 pkt podają zwykle dwa wierzchołki kwadratu albo wierzchołek i punkt przecięcia przekątnych — liczysz jedną odległość, a potem podwajasz ją lub podnosisz do kwadratu; pierwiastek upraszczaj ($\sqrt{80}=4\sqrt{5}$). Znak różnicy nie ma znaczenia, bo ją podnosisz do kwadratu — pułapką jest $-(-4)$. W zadaniu otwartym „punkt $P$ na osi $Ox$ równoodległy od $A$ i $B$” zapisz $P=(x,0)$ i równanie $|PA|^2=|PB|^2$: kwadraty $x$ się skrócą.