Przejdź do treści
Poznaj Compass

Obliczenia w trójkątach — jak obliczyć kąty trójkąta

Kąty trójkąta obliczamy z sumy α+β+γ=180°\alpha + \beta + \gamma = 180°. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, więc każdy ma 180°−α2\dfrac{180° - \alpha}{2}, gdzie α\alpha to kąt między ramionami.

Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie · egzamin ósmoklasisty Klasa 5 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Suma kątów trójkąta α\alpha, β\beta, γ\gamma — miary kątów przy wierzchołkach AA, BB, CC
α+β+γ=180°\alpha + \beta + \gamma = 180°
Kąt przy podstawie (trójkąt równoramienny) α\alpha — kąt przy wierzchołku, między ramionami
180°−α2\dfrac{180° - \alpha}{2}
Kąt między ramionami (trójkąt równoramienny) β\beta — kąt przy podstawie
180°−2β180° - 2\beta

Suma kątów w trójkącie — wzór

Suma kątów wewnętrznych trójkąta to zawsze 180°. Dla dowolnego trójkąta ABCABC:

α+β+γ=180°\alpha + \beta + \gamma = 180°

gdzie α\alpha, β\beta, γ\gamma to miary kątów przy wierzchołkach AA, BB, CC. Ta równość jest niezależna od kształtu trójkąta — działa dla ostrokątnego, prostokątnego i rozwartokątnego.

Kąty w trójkącie równoramiennym

Trójkąt równoramienny ma dwa boki tej samej długości (ramiona). Trzeci bok to podstawa. Z równości ramion wynika ważna własność kątowa:

Kąty przy podstawie są równe.

Jak obliczyć kąty przy podstawie i kąt między ramionami

Jeśli kąt przy wierzchołku (między ramionami) ma miarę α\alpha, to każdy z kątów przy podstawie ma miarę:

180°−α2\dfrac{180° - \alpha}{2}

Działa to też w drugą stronę — jeśli znasz kąt przy podstawie β\beta, to kąt przy wierzchołku ma miarę 180°−2β180° - 2\beta.

Kąty w trójkącie równobocznym

Trójkąt równoboczny to szczególny przypadek równoramiennego — wszystkie boki są równe, więc wszystkie kąty są równe. Każdy z nich ma miarę 60°60°.

Jak rozwiązywać zadania z kątami w trójkącie

Strategia obliczeń. W zadaniach o kątach w trójkątach niemal zawsze korzystamy z dwóch faktów: (1) suma trzech kątów = 180°, (2) jeśli trójkąt jest równoramienny — kąty przy podstawie są równe. Warto też pamiętać o kątach przyległych (suma 180°) i wierzchołkowych (równe), bo często pojawiają się obok rysunku trójkąta.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Trzeci kąt trójkąta z sumy 180°

65°78°37°ABC
180° − 65° − 78° = 37°

Technika: suma miar trzech kątów wewnętrznych trójkąta zawsze wynosi 180°. Gdy znamy dwa kąty, trzeci wyznaczamy jako 180° minus suma znanych. Działa dla dowolnego trójkąta (ostrokątnego, prostokątnego, rozwartokątnego). Krok po kroku: (1) zapisz równanie α + β + γ = 180°, (2) podstaw znane miary, (3) wylicz brakującą wartość.

Zadanie W trójkącie ABC kąty przy wierzchołkach A i B mają miary odpowiednio 65° i 78°. Oblicz miarę kąta przy wierzchołku C.

  1. Zapisuję twierdzenie o sumie kątów trójkąta: ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
  2. Podstawiam dane: 65° + 78° + ∡C = 180°.
  3. Sumuję znane kąty: 65° + 78° = 143°.
  4. Wyznaczam szukany kąt: ∡C = 180° − 143° = 37°.
  5. Odpowiedź: kąt przy wierzchołku C ma miarę 37°.

Odpowiedź: Kąt przy C ma miarę 37°.

Przykład 2 Kąty przy podstawie z kąta między ramionami

70°70°40°ABC
(180° − 40°) : 2 = 70° przy podstawie

Technika: w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Jeśli kąt między ramionami (kąt wierzchołkowy) ma miarę α, to każdy z kątów przy podstawie ma miarę (180° − α) : 2. Krok po kroku: (1) odejmij kąt wierzchołkowy od 180°, (2) wynik podziel na 2 — to miara jednego kąta przy podstawie.

Zadanie W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 40°. Oblicz miary kątów przy podstawie.

  1. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe — oznaczę każdy z nich literą β.
  2. Z sumy kątów trójkąta: 40° + β + β = 180°, czyli 40° + 2β = 180°.
  3. Przenoszę 40° na drugą stronę: 2β = 180° − 40° = 140°.
  4. Dzielę przez 2: β = 140° : 2 = 70°.
  5. Odpowiedź: każdy z kątów przy podstawie ma miarę 70°.

Odpowiedź: Każdy z kątów przy podstawie ma miarę 70°.

Przykład 3 Kąt między ramionami z kąta przy podstawie

72°72°36°ABC
180° − 2 · 72° = 36° między ramionami

Technika: w trójkącie równoramiennym oba kąty przy podstawie mają tę samą miarę β. Kąt między ramionami (wierzchołkowy) wyznaczamy ze wzoru α = 180° − 2β. Krok po kroku: (1) podwój kąt przy podstawie, (2) odejmij od 180° — to miara kąta między ramionami.

Zadanie W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę 72°. Oblicz miarę kąta między ramionami.

  1. W trójkącie równoramiennym oba kąty przy podstawie są równe — każdy ma 72°.
  2. Z sumy kątów trójkąta: 72° + 72° + α = 180°, gdzie α to kąt między ramionami.
  3. Sumuję kąty przy podstawie: 72° + 72° = 144°.
  4. Wyznaczam α: α = 180° − 144° = 36°.
  5. Odpowiedź: kąt między ramionami ma miarę 36°.

Odpowiedź: Kąt między ramionami ma miarę 36°.

Przykład 4 Kąt zewnętrzny i kąty trójkąta równoramiennego

Technika: w zadaniach z rysunkiem często jeden z kątów trójkąta jest podany pośrednio — przez kąt przyległy (suma 180°) lub wierzchołkowy (równy). Strategia: (1) wyznacz kąt wewnętrzny trójkąta korzystając z relacji (przyległy → odejmij od 180°; wierzchołkowy → przepisz tę samą miarę), (2) zastosuj sumę kątów trójkąta, (3) ewentualnie wykorzystaj równość kątów przy podstawie (jeśli trójkąt jest równoramienny).

Zadanie Na rysunku przedłużono bok BC trójkąta równoramiennego ABC (AC = BC) poza wierzchołek C. Kąt zewnętrzny przy wierzchołku C (między ramieniem CA a przedłużeniem boku BC) ma miarę 110°. Oblicz miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC.

  1. Kąt zewnętrzny przy wierzchołku C i kąt wewnętrzny ∡ACB są przyległe — ich miary sumują się do 180°.
  2. Wyznaczam kąt wewnętrzny: ∡ACB = 180° − 110° = 70°.
  3. Trójkąt jest równoramienny z AC = BC, więc kątem między ramionami jest ∡ACB = 70°, a kąty przy podstawie AB są równe.
  4. Z sumy kątów trójkąta: ∡A + ∡B + 70° = 180°, czyli ∡A + ∡B = 110°.
  5. Skoro ∡A = ∡B, to ∡A = ∡B = 110° : 2 = 55°.
  6. Odpowiedź: ∡A = ∡B = 55°, ∡C = 70°.

Odpowiedź: Kąt przy C ma miarę 70°, a kąty przy podstawie A i B — po 55°.

Najczęstsze błędy

  • Brak dzielenia przez 2 w trójkącie równoramiennym. 180°−α180° - \alpha to suma obu kątów przy podstawie, a jeden kąt to połowa tej sumy.
  • Wstawienie do sumy kątów kąta zewnętrznego zamiast wewnętrznego. Kąt zewnętrzny jest przyległy do wewnętrznego, więc najpierw liczymy 180° minus kąt zewnętrzny.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W trójkącie dwa kąty mają miary 48° i 57°. Jaką miarę ma trzeci kąt?

Zadanie 2

W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma miarę 80°. Jaką miarę ma każdy z kątów przy podstawie?

Zadanie 3

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę 65°. Jaką miarę ma kąt między ramionami?

Zadanie 4

Dwa kąty trójkąta mają miary 50° i 50°. Co można powiedzieć o tym trójkącie?

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta Pi-stacja
DLACZEGO w trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180° A po co MI ta MATMA?
Obliczanie miar kątów w trójkątach równoramiennych Edyta Landowska

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć kąty w trójkącie?

Korzystamy z sumy kątów α+β+γ=180°\alpha + \beta + \gamma = 180°: trzeci kąt to 180° minus suma dwóch znanych. W trójkącie równoramiennym dodatkowo kąty przy podstawie są równe.

Jak obliczyć kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego?

Od 180° odejmujemy kąt między ramionami i dzielimy wynik przez 2: przy kącie 30° każdy kąt przy podstawie ma (180°−30°):2=75°(180° - 30°) : 2 = 75°.

Jak obliczyć kąt między ramionami trójkąta równoramiennego?

Ze wzoru 180°−2β180° - 2\beta, gdzie β\beta to kąt przy podstawie: przy β=50°\beta = 50° kąt między ramionami ma 180°−100°=80°180° - 100° = 80°.

Ile wynoszą kąty w trójkącie równobocznym?

Każdy po 60° — wszystkie boki są równe, więc wszystkie kąty też, a razem dają 180°.

Jak wykorzystać kąt zewnętrzny trójkąta?

Kąt zewnętrzny i kąt wewnętrzny przy tym samym wierzchołku są przyległe, więc kąt wewnętrzny to 180° minus kąt zewnętrzny, np. 180°−130°=50°180° - 130° = 50°.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Kąty wierzchołkowe Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Nierówność trójkąta Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Położenie prostych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Cechy przystawania trójkątów Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Dowody geometryczne Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty przy prostych równoległych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Twierdzenie Pitagorasa Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Jednostki masy Obliczenia praktyczne

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę