Przejdź do treści
Poznaj Compass

Kąty wierzchołkowe — twierdzenie, kąty przyległe i zadania z x

Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych i mają równe miary. Kąty sąsiednie są przyległe: α+β=180°\alpha + \beta = 180°. Znając jeden z czterech kątów, znamy wszystkie: dwa mają α\alpha, dwa 180°−α180° - \alpha.

Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie · egzamin ósmoklasisty Klasa 5 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Suma kątów przyległych α\alpha, β\beta — miary kątów przyległych
α+β=180°\alpha + \beta = 180°
Kąt przyległy do danego α\alpha — znany kąt, β\beta — kąt do niego przyległy
β=180°−α\beta = 180° - \alpha

Gdy dwie półproste mają wspólny początek (wierzchołek), tworzą kąt. Jeśli ich ramiona są dopełniające — czyli razem tworzą prostą — to dwa powstałe kąty są przyległe.

Kąty przyległe — suma 180°

Kąty przyległe mają wspólny wierzchołek i wspólne ramię, a pozostałe dwa ramiona układają się w jedną prostą. Suma ich miar zawsze wynosi 180°180°: α+β=180°\alpha + \beta = 180° Stąd: jeśli znasz jeden kąt przyległy, drugi obliczasz odejmując: β=180°−α\beta = 180° - \alpha.

Co to są kąty wierzchołkowe

Kąty wierzchołkowe powstają, gdy dwie proste przecinają się w jednym punkcie. W miejscu przecięcia tworzą się cztery kąty, ułożone w dwie pary kątów wierzchołkowych (kąty „naprzeciwko siebie"). Twierdzenie: kąty wierzchołkowe mają równe miary.

Dlaczego kąty wierzchołkowe są równe

Skąd to wiadomo? Dwa sąsiednie kąty przy przecięciu są przyległe, więc każdy z nich dopełnia ten sam kąt do 180°180° — dlatego oba kąty „naprzeciwko" muszą być sobie równe.

Jak obliczyć wszystkie kąty przy przecięciu prostych

Najważniejszy wniosek dla zadań: mając miarę jednego z czterech kątów przy przecięciu dwóch prostych, znasz wszystkie pozostałe:

  • kąt naprzeciwko (wierzchołkowy) — tyle samo,
  • dwa sąsiednie (przyległe) — 180°180° minus dany kąt.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Kąt przyległy do danego — suma 180°

117°63°ABCOKąty AOC i COB są przyległe: 117° + 63° = 180°.

Dwa kąty są przyległe, gdy mają wspólny wierzchołek, jedno wspólne ramię, a pozostałe dwa ramiona tworzą jedną prostą. Suma ich miar wynosi 180°. Jeśli dany jest jeden kąt α, to drugi obliczamy ze wzoru β = 180° − α. Wzór działa zawsze, niezależnie od tego, czy α jest ostry, prosty czy rozwarty.

Zadanie Kąt α ma miarę 117°. Oblicz miarę kąta β przyległego do α.

  1. Kąty α i β są przyległe, więc ich suma wynosi 180°: α + β = 180°.
  2. Przekształcam wzór, by wyznaczyć β: β = 180° − α.
  3. Podstawiam α = 117°: β = 180° − 117° = 63°.
  4. Sprawdzam: 117° + 63° = 180° ✓.
  5. Odpowiedź: β = 63°.

Odpowiedź: 63°

Przykład 2 Kąt wierzchołkowy do danego — ta sama miara

64°116°64°116°ABCDOAOC i BOD to para kątów wierzchołkowych — oba mają 64°.

Gdy dwie proste przecinają się w jednym punkcie, w miejscu przecięcia powstają cztery kąty tworzące dwie pary kątów wierzchołkowych. Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciwko siebie (mają wspólny wierzchołek, a ich ramiona są przedłużeniem tych samych prostych) i mają RÓWNE miary. Jeśli jeden kąt wynosi α, to kąt do niego wierzchołkowy też wynosi α.

Zadanie Proste AB i CD przecinają się w punkcie O. Kąt AOC ma miarę 64°. Ile wynosi kąt BOD (wierzchołkowy do AOC)?

  1. Kąty AOC i BOD leżą naprzeciwko siebie przy przecięciu prostych AB i CD — są kątami wierzchołkowymi.
  2. Z twierdzenia o kątach wierzchołkowych: kąty wierzchołkowe mają równe miary.
  3. Skoro AOC = 64°, to BOD = 64°.
  4. Odpowiedź: BOD = 64°.

Odpowiedź: 64°

Przykład 3 Wszystkie cztery kąty przy przecięciu dwóch prostych

Mając miarę jednego z czterech kątów powstałych przy przecięciu dwóch prostych, możemy wyznaczyć wszystkie pozostałe. Postępuję tak: kąt wierzchołkowy do danego ma tę samą miarę α. Każdy z dwóch kątów sąsiednich (przyległych do danego) wynosi 180° − α. Te dwa kąty 180° − α też są wierzchołkowe — więc też są sobie równe. W sumie: dwie pary, dwie różne miary: α oraz 180° − α.

Zadanie Proste AB i CD przecinają się w punkcie O. Kąt AOC ma miarę 145°. Wyznacz miary pozostałych trzech kątów: COB, BOD, DOA.

  1. Kąt BOD jest wierzchołkowy do AOC (leżą naprzeciwko). Z twierdzenia o kątach wierzchołkowych: BOD = AOC = 145°.
  2. Kąt COB jest przyległy do AOC (tworzą prostą AB). Liczę: COB = 180° − 145° = 35°.
  3. Kąt DOA jest wierzchołkowy do COB. Stąd DOA = COB = 35°. (Można też policzyć jako przyległy do AOC po drugiej stronie: DOA = 180° − 145° = 35°.)
  4. Sprawdzam: AOC + COB = 145° + 35° = 180° ✓ oraz BOD + DOA = 145° + 35° = 180° ✓. Suma wszystkich czterech kątów: 360° ✓.
  5. Odpowiedź: COB = 35°, BOD = 145°, DOA = 35°.

Odpowiedź: COB = 35°, BOD = 145°, DOA = 35°

Przykład 4 Kąty wierzchołkowe i przyległe z niewiadomą x

Gdy miary kątów są podane wyrażeniami z niewiadomą x, układam równanie na podstawie twierdzeń: kąty wierzchołkowe są równe (wyrażenie1 = wyrażenie2), kąty przyległe sumują się do 180° (wyrażenie1 + wyrażenie2 = 180°). Rozwiązuję równanie pierwszego stopnia, a następnie podstawiam wyznaczony x do wyrażeń, by podać miary kątów (i ewentualnie sprawdzić, że suma/równość się zgadza).

Zadanie Przy przecięciu dwóch prostych powstały kąty wierzchołkowe o miarach (3x + 10)° oraz (5x − 30)°. Wyznacz x i podaj miarę tych kątów.

  1. Kąty są wierzchołkowe, więc mają równe miary. Układam równanie: 3x + 10 = 5x − 30.
  2. Przenoszę x-y na jedną stronę, a liczby na drugą: 10 + 30 = 5x − 3x, czyli 40 = 2x.
  3. Stąd x = 20.
  4. Podstawiam do pierwszego wyrażenia: 3 · 20 + 10 = 60 + 10 = 70°.
  5. Podstawiam do drugiego wyrażenia (sprawdzenie): 5 · 20 − 30 = 100 − 30 = 70° ✓.
  6. Odpowiedź: x = 20, oba kąty wierzchołkowe mają po 70°.

Odpowiedź: x = 20; oba kąty mają po 70°

Najczęstsze błędy

  • Przepisanie tej samej miary dla kąta sąsiedniego. Równe są tylko kąty naprzeciw siebie (wierzchołkowe); kąt obok jest przyległy i ma 180°−α180° - \alpha.
  • Złe równanie w zadaniu z x. Dla kątów wierzchołkowych przyrównujemy wyrażenia (miary są równe), a dla przyległych ich suma równa się 180°.
  • Podanie samego x zamiast miary kąta. Po wyznaczeniu x podstawiamy go do wyrażenia, np. 2x+152x + 15 przy x=25x = 25 daje 65°.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Kąt α ma miarę 38°. Ile stopni ma kąt β przyległy do α?

Zadanie 2

Proste AB i CD przecinają się w punkcie O. Kąt AOC ma miarę 73°. Ile stopni ma kąt BOD (wierzchołkowy do AOC)?

Zadanie 3

Proste AB i CD przecinają się w punkcie O. Kąt AOC ma miarę 112°. Jakie miary mają kolejno kąty COB, BOD i DOA?

Zadanie 4

Dwa kąty wierzchołkowe mają miary (4x − 15)° oraz (2x + 25)°. Ile wynosi x?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kąty wierzchołkowe #2 [ Kąty powstałe w wyniku przecięcia prostych ] Pi-stacja
Kąty: przyległe, wierzchołkowe, odpowiadające, naprzemianległe MATMAG
Oblicz miarę kąta α — kąty wierzchołkowe i przyległe Szalone Liczby

Najczęstsze pytania

Czy kąty wierzchołkowe są równe?

Tak, kąty wierzchołkowe zawsze mają równe miary. Każdy z nich dopełnia ten sam kąt sąsiedni do 180°, więc muszą być sobie równe.

Co to są kąty wierzchołkowe?

To kąty leżące naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych. W punkcie przecięcia powstają cztery kąty, czyli dwie pary kątów wierzchołkowych.

Jak obliczyć pozostałe kąty przy przecięciu dwóch prostych?

Kąt naprzeciw danego ma tę samą miarę, a dwa sąsiednie po 180° minus dany kąt. Na przykład przy kącie 120° pozostałe to 120°, 60° i 60°.

Czym różnią się kąty wierzchołkowe od przyległych?

Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie i są równe. Kąty przyległe leżą obok siebie, mają wspólne ramię i razem dają 180°.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Nierówność trójkąta Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Obliczenia w trójkątach Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Położenie prostych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Cechy przystawania trójkątów Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Dowody geometryczne Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty przy prostych równoległych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Twierdzenie Pitagorasa Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Jednostki masy Obliczenia praktyczne

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę