Twierdzenie Pitagorasa — wzór, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór twierdzenia Pitagorasa?

a² + b² = c², gdzie a i b to przyprostokątne (boki tworzące kąt prosty), a c to przeciwprostokątna. Wzór dotyczy trójkąta prostokątnego.

Q: Jakie są trójki pitagorejskie?

Liczby, które od razu spełniają a² + b² = c², np. (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (9, 12, 15).

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$ . Stąd przeciwprostokątna $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , a przyprostokątna $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ .

Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Twierdzenie Pitagorasa $a$ , $b$ — przyprostokątne (boki przy kącie prostym), $c$ — przeciwprostokątna: $a^2 + b^2 = c^2$
Przeciwprostokątna $c$ — najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Przyprostokątna $b$ — znana przyprostokątna, $c$ — przeciwprostokątna: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Co mówi twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa opisuje zależność między długościami boków trójkąta prostokątnego. W takim trójkącie dwa boki tworzące kąt prosty nazywamy przyprostokątnymi (oznaczmy je $a$ i $b$ ), a najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego, to przeciwprostokątna $c$ . Twierdzenie mówi:

$a^2 + b^2 = c^2$

czyli suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Jak obliczyć przeciwprostokątną i przyprostokątną

Z tej jednej równości wyprowadzamy dwa wzory robocze:

Przeciwprostokątna z przyprostokątnych: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Przyprostokątna z drugiej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Jak rozpoznać przeciwprostokątną

Uwaga na to, co jest czym. Najczęstszy błąd to potraktowanie dowolnego boku jako przeciwprostokątnej. Zasada: przeciwprostokątna zawsze leży naprzeciw kąta prostego i zawsze jest najdłuższym bokiem trójkąta. Jeśli na rysunku widzisz znaczek kąta prostego — przeciwprostokątna to bok, który tego znaczka nie dotyka.

Jak rozwiązywać zadania z twierdzeniem Pitagorasa

Strategia w zadaniach praktycznych. Twierdzenie Pitagorasa stosujemy wszędzie tam, gdzie pojawia się trójkąt prostokątny — często ukryty w innej figurze albo w sytuacji z życia. Schemat:

Zidentyfikuj trójkąt prostokątny w sytuacji (drabina o ścianę, przekątna prostokąta, droga „na skos").
Nazwij boki: które są przyprostokątnymi (tworzą kąt prosty), a który jest przeciwprostokątną (naprzeciw kąta prostego).
Zapisz $a^2 + b^2 = c^2$ , podstaw dane, wyznacz szukaną długość.

Trójki pitagorejskie i trójkąt egipski

Pitagorejskie trójki. Warto rozpoznawać liczby, które „od razu pasują" do twierdzenia: $(3,\ 4,\ 5)$ , $(5,\ 12,\ 13)$ , $(6,\ 8,\ 10)$ , $(8,\ 15,\ 17)$ , $(9,\ 12,\ 15)$ . Jeśli w zadaniu pojawiają się te wartości — odpowiedź da się odczytać bez pierwiastkowania.

Zobacz, jak to działa

Pobaw się — zmieniaj wartości i obserwuj, co się dzieje.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Przeciwprostokątna z dwóch przyprostokątnych

Wyznaczenie długości przeciwprostokątnej z dwóch danych przyprostokątnych (c = $\sqrt{a²+b²}$ ). Kierunek 'forward' twierdzenia Pitagorasa.

Zadanie W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $6$ cm i $8$ cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Zaznaczamy dane: przyprostokątne $a = 6$ i $b = 8$ , szukamy przeciwprostokątnej $c$ .
Z twierdzenia Pitagorasa: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ .
Wyciągamy pierwiastek: $c = \sqrt{100} = 10$ .

Odpowiedź: $10$ cm

Przykład 2 Przyprostokątna z przeciwprostokątnej i drugiej przyprostokątnej

Wyznaczenie brakującej przyprostokątnej z przeciwprostokątnej i drugiej przyprostokątnej (a = $\sqrt{c²−b²}$ ). Kierunek 'backward' twierdzenia Pitagorasa – odwrotny do liczenia przeciwprostokątnej.

Zadanie W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość $13$ cm, a jedna z przyprostokątnych $5$ cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.

Przeciwprostokątna $c = 13$ , znana przyprostokątna $a = 5$ , szukamy $b$ .
Odejmujemy kwadraty: $b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ .
Wyciągamy pierwiastek: $b = \sqrt{144} = 12$ .

Odpowiedź: $12$ cm

Przykład 3 Trójkąt egipski 3, 4, 5 i jego wielokrotności

Rozpoznawanie trójkąta egipskiego (3, 4, 5) i jego wielokrotności (6-8-10, 9-12-15, 12-16-20, 15-20-25, 30-40-50) jako trójkątów prostokątnych — żeby podać trzeci bok z pamięci, bez liczenia pierwiastka.

Zadanie Trójkąt egipski ma boki $3, 4, 5$ i jest prostokątny. Jakie boki ma taki sam trójkąt powiększony $2$ razy?

Trójkąt o bokach $3, 4, 5$ to trójkąt egipski — najłatwiejszy do zapamiętania trójkąt prostokątny.
Gdy pomnożymy każdy bok przez tę samą liczbę, trójkąt dalej jest prostokątny — to wciąż trójka pitagorejska.
Mnożymy przez $2$ : $3 \cdot 2 = 6$ , $4 \cdot 2 = 8$ , $5 \cdot 2 = 10$ .

Odpowiedź: Boki to $6, 8, 10$ — wielokrotność trójkąta egipskiego, więc też trójkąt prostokątny.

Najczęstsze błędy

Potraktowanie dowolnego boku jako przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna zawsze leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem — nie dotyka znaczka kąta prostego.
Dodawanie kwadratów przy liczeniu przyprostokątnej. Gdy znamy przeciwprostokątną, odejmujemy: $b^2 = 13^2 - 5^2 = 144$ , więc $b = 12$ .
Brak pierwiastka na końcu: $c^2 = 100$ to jeszcze nie wynik — $c = \sqrt{100} = 10$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $18$ cm i $24$ cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna?

Zadanie 2

Przeciwprostokątna ma $25$ cm, a jedna przyprostokątna $7$ cm. Jaką długość ma druga przyprostokątna?

Zadanie 3

Która trójka boków to powiększony trójkąt egipski (wielokrotność $3, 4, 5$ )?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 12

W prostokącie $ABCD$ punkty $E$ i $F$ są środkami boków $BC$ i $CD$ (zobacz rysunek). Długość odcinka $EC$ jest równa 6 cm, a długość odcinka $EF$ jest równa 10 cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Twierdzenie Pitagorasa — wprowadzenie Pi-stacja

Twierdzenie Pitagorasa MATMAG

Twierdzenie Pitagorasa — zadania i przykłady MatFiz24

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór twierdzenia Pitagorasa?

$a^2 + b^2 = c^2$ , gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne (boki tworzące kąt prosty), a $c$ to przeciwprostokątna. Wzór dotyczy trójkąta prostokątnego.

Jak obliczyć przeciwprostokątną?

Dodajemy kwadraty przyprostokątnych i wyciągamy pierwiastek: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dla przyprostokątnych 6 cm i 8 cm: $c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Jak obliczyć przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa?

Od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujemy kwadrat znanej przyprostokątnej: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Np. $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ .

Co to jest trójkąt egipski?

Trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5. Jego wielokrotności, np. 6, 8, 10 czy 9, 12, 15, też są trójkątami prostokątnymi, więc trzeci bok można podać bez pierwiastkowania.

Jakie są trójki pitagorejskie?

Liczby, które od razu spełniają $a^2 + b^2 = c^2$ , np. $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(6, 8, 10)$ , $(8, 15, 17)$ , $(9, 12, 15)$ .

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę