Twierdzenie Pitagorasa — wytłumaczenie, wzór i zadania

Twierdzenie Pitagorasa opisuje zależność między długościami boków trójkąta prostokątnego. W takim trójkącie dwa boki tworzące kąt prosty nazywamy przyprostokątnymi (oznaczmy je $a$ i $b$), a najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego, to przeciwprostokątna $c$. Twierdzenie mówi:

$a^2 + b^2 = c^2$

czyli suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Z tej jednej równości wyprowadzamy dwa wzory roboczze:

Przeciwprostokątna z przyprostokątnych: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Przyprostokątna z drugiej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Uwaga na to, co jest czym. Najczęstszy błąd to potraktowanie dowolnego boku jako przeciwprostokątnej. Zasada: przeciwprostokątna zawsze leży naprzeciw kąta prostego i zawsze jest najdłuższym bokiem trójkąta. Jeśli na rysunku widzisz znaczek kąta prostego — przeciwprostokątna to bok, który tego znaczka nie dotyka.

Strategia w zadaniach praktycznych. Twierdzenie Pitagorasa stosujemy wszędzie tam, gdzie pojawia się trójkąt prostokątny — często ukryty w innej figurze albo w sytuacji z życia. Schemat:

1. Zidentyfikuj trójkąt prostokątny w sytuacji (drabina o ścianę, przekątna prostokąta, droga „na skos").
2. Nazwij boki: które są przyprostokątnymi (tworzą kąt prosty), a który jest przeciwprostokątną (naprzeciw kąta prostego).
3. Zapisz $a^2 + b^2 = c^2$, podstaw dane, wyznacz szukaną długość.

Pitagorejskie trójki. Warto rozpoznawać liczby, które „od razu pasują" do twierdzenia: $(3,\ 4,\ 5)$, $(5,\ 12,\ 13)$, $(6,\ 8,\ 10)$, $(8,\ 15,\ 17)$, $(9,\ 12,\ 15)$. Jeśli w zadaniu pojawiają się te wartości — odpowiedź da się odczytać bez pierwiastkowania.