Długość odcinka we współrzędnych — wzór i przykłady

Q: Jaki jest wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych?

|AB| = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²). To twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych |x_B - x_A| i |y_B - y_A|.

Q: Co zrobić, gdy długość odcinka nie jest liczbą całkowitą?

Zostawiamy pierwiastek i upraszczamy go, jeśli się da. Dla A = (-1, 2) i B = (3, 4): √(4² + 2²) = √20 = 2√5.

Długość odcinka $AB$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ . Gdy odcinek jest równoległy do osi, wystarczy różnica zmieniających się współrzędnych, np. $|x_B - x_A|$ .

Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Długość odcinka AB $A = (x_A, y_A)$ , $B = (x_B, y_B)$ — końce odcinka: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
Odcinek równoległy do osi x gdy $y_A = y_B$ ; dla odcinka równoległego do osi y: $|AB| = |y_B - y_A|$: $|AB| = |x_B - x_A|$

Długość odcinka, którego końce są punktami kratowymi, obliczamy ze współrzędnych jego końców.

Długość odcinka równoległego do osi

Jeśli odcinek $AB$ leży równolegle do osi, jego długość to różnica tych współrzędnych, które się zmieniają (drugie są równe):

$|AB| = |x_B - x_A|$ (gdy $y_A = y_B$ ) lub $|AB| = |y_B - y_A|$ (gdy $x_A = x_B$ ).

Odcinek ukośny — trójkąt prostokątny

Jeśli odcinek leży ukośnie, dorysowujemy do niego trójkąt prostokątny o bokach równoległych do osi. Wtedy:

jedna przyprostokątna ma długość $|x_B - x_A|$ ,
druga przyprostokątna ma długość $|y_B - y_A|$ ,
a sam odcinek $AB$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta.

Wzór na długość odcinka

Z twierdzenia Pitagorasa:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

Wynik całkowity czy z pierwiastkiem

W zadaniach często wychodzą trójki pitagorejskie (np. $3,\ 4,\ 5$ lub $6,\ 8,\ 10$ ) i wynik jest liczbą całkowitą. Czasem trzeba zostawić pierwiastek niewymierny (np. $\sqrt{13}$ , $2\sqrt{5}$ ).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Długość odcinka równoległego do osi

Gdy odcinek $AB$ leży równolegle do osi $x$ (czyli $y_A = y_B$ ), jego długość to $|AB| = |x_B - x_A|$ . Gdy leży równolegle do osi $y$ ( $x_A = x_B$ ), długość to $|AB| = |y_B - y_A|$ . Sprawdzamy więc, która współrzędna się powtarza, a różnicę drugiej bierzemy co do wartości bezwzględnej.

Zadanie Końce odcinka mają współrzędne A = (−3, 2) i B = (5, 2). Oblicz długość odcinka AB.

Sprawdzam współrzędne: y_A = y_B = 2, więc odcinek leży równolegle do osi x.
Liczę różnicę współrzędnych x: |x_B − x_A| = |5 − (−3)| = |8| = 8.
Długość odcinka: |AB| = 8.

Odpowiedź: |AB| = 8

Przykład 2 Długość odcinka ukośnego — wynik całkowity

Dla odcinka ukośnego dorysowujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równoległych do osi: $a = |x_B - x_A|$ , $b = |y_B - y_A|$ . Z twierdzenia Pitagorasa: $|AB| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Gdy $a$ i $b$ tworzą trójkę pitagorejską (np. $3,4,5$ ; $6,8,10$ ; $5,12,13$ ), długość odcinka jest liczbą całkowitą.

Zadanie Końce odcinka mają współrzędne A = (1, 1) i B = (4, 5). Oblicz długość odcinka AB.

Liczę długości przyprostokątnych: a = |x_B − x_A| = |4 − 1| = 3, b = |y_B − y_A| = |5 − 1| = 4.
Stosuję twierdzenie Pitagorasa: |AB|^{do potęgi 2} = a^{do potęgi 2} + b^{do potęgi 2} = 3^{do potęgi 2} + 4^{do potęgi 2} = 9 + 16 = 25.
Pierwiastkuję: |AB| = $\sqrt{25}$ = 5.

Odpowiedź: |AB| = 5

Przykład 3 Długość odcinka ukośnego — wynik z pierwiastkiem

Ta sama procedura, co poprzednio: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ . Gdy $a^2 + b^2$ nie jest kwadratem liczby całkowitej, wynik zostawiamy z pierwiastkiem. Jeśli pod pierwiastkiem siedzi czynnik kwadratowy (np. $20 = 4 \cdot 5$ ), wyciągamy go: $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .

Zadanie Końce odcinka mają współrzędne A = (−1, 2) i B = (3, 4). Oblicz długość odcinka AB.

Liczę długości przyprostokątnych: a = |3 − (−1)| = 4, b = |4 − 2| = 2.
Twierdzenie Pitagorasa: |AB|^{do potęgi 2} = 4^{do potęgi 2} + 2^{do potęgi 2} = 16 + 4 = 20.
Pierwiastkuję i upraszczam: |AB| = $\sqrt{20}$ = $\sqrt{4\cdot 5}$ = $2\sqrt{5}$ .

Odpowiedź: $|AB| = 2\sqrt{5}$

Najczęstsze błędy

Zgubiony minus przy odejmowaniu liczby ujemnej: $|5 - (-3)| = 8$ , nie 2.
Pierwiastek bez uproszczenia. Wyciągamy czynnik przed znak pierwiastka: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Końce odcinka mają współrzędne A = (2, −3) i B = (2, 4). Jaką długość ma odcinek AB?

Zadanie 2

Końce odcinka mają współrzędne A = (−1, 1) i B = (5, 9). Oblicz długość odcinka AB.

Zadanie 3

Końce odcinka mają współrzędne A = (1, 2) i B = (4, 4). Oblicz długość odcinka AB.

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

W prostokątnym układzie współrzędnych (x, y) dane są odcinki AB oraz CD. Końcami tych odcinków są –… Egzamin ósmoklasisty 2026 — matematyka, termin dodatkowy (czerwiec) · zadanie 11

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wyznaczanie długości odcinka w układzie współrzędnych Matematyka Po Prostu

Odcinki w układzie współrzędnych i Pitagoras — długość i środek odcinka Matematyka z plusem (GWO)

Odcinki w układzie współrzędnych — E8 matwujek

Odległość między punktami, długość odcinka MatFiz24.PL

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych?

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ . To twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $|x_B - x_A|$ i $|y_B - y_A|$ .

Jak obliczyć długość odcinka równoległego do osi?

Odejmujemy te współrzędne, które się zmieniają, i bierzemy wartość bezwzględną. Dla $A = (-3, 2)$ i $B = (5, 2)$ : $|AB| = |5 - (-3)| = 8$ .

Jak obliczyć długość odcinka ukośnego?

Dorysowujemy trójkąt prostokątny o bokach równoległych do osi i stosujemy twierdzenie Pitagorasa. Dla $A = (1, 1)$ i $B = (4, 5)$ : $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Co zrobić, gdy długość odcinka nie jest liczbą całkowitą?

Zostawiamy pierwiastek i upraszczamy go, jeśli się da. Dla $A = (-1, 2)$ i $B = (3, 4)$ : $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Punkty kratowe na prostej Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Rysowanie punktów kratowych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Środek odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Współrzędne punktów kratowych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Zbiory liczb na osi Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę