Punkty kratowe na prostej — wektor kierunkowy i przykłady

Gdy prosta $AB$ jest równoległa do osi $x$ ($y_A = y_B$), każdy punkt postaci $(x,\ y_A)$ z całkowitym $x$ jest kratowy i leży na prostej $AB$. Analogicznie dla prostej równoległej do osi $y$ ($x_A = x_B$) — kratowe są punkty $(x_A,\ y)$ z całkowitym $y$. Wystarczy więc ustalić, która współrzędna się powtarza, i wybrać dowolną liczbę całkowitą jako drugą.

Dla ukośnej prostej $AB$ liczymy wektor kierunkowy $(\Delta x,\ \Delta y) = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)$. Punkty kratowe na zewnątrz odcinka $AB$ otrzymujemy przez dodanie tego wektora do $B$ (idziemy dalej od $A$) lub odjęcie go od $A$ (idziemy w przeciwną stronę). Dla każdego całkowitego $k$ punkt $A + k\cdot(\Delta x,\ \Delta y)$ jest kratowy i leży na prostej $AB$.

Czasem między $A$ i $B$ też leżą punkty kratowe. Dzieje się tak, gdy współrzędne wektora $(\Delta x,\ \Delta y)$ mają wspólny dzielnik $d > 1$. Wtedy krok pośredni $\bigl(\tfrac{\Delta x}{d},\ \tfrac{\Delta y}{d}\bigr)$ jest też całkowity, a punkt $A + \bigl(\tfrac{\Delta x}{d},\ \tfrac{\Delta y}{d}\bigr)$ jest kratowy i leży na odcinku $AB$. Najczęściej w zadaniach $d = 2$ — wystarczy znaleźć środek odcinka $AB$ i sprawdzić, czy jego współrzędne są całkowite.