Środek odcinka we współrzędnych — wzór i przykłady

Q: Jaki jest wzór na środek odcinka?

S = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2) — współrzędne środka to średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych końców A i B.

Q: Jak obliczyć współrzędne środka odcinka?

Dodajemy współrzędne x końców i dzielimy przez 2, potem tak samo ze współrzędnymi y. Dla A = (2, 1) i B = (8, 5): S = (5, 3).

Q: Jak obliczyć drugi koniec odcinka, gdy znam środek?

Ze wzorów x_B = 2 · x_S - x_A oraz y_B = 2 · y_S - y_A. Dla A = (2, 1) i S = (5, 4) wychodzi B = (8, 7).

Środek odcinka $AB$ ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi współrzędnych końców: $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ . Np. dla $A = (2, 1)$ i $B = (8, 5)$ środek to $S = (5, 3)$ .

Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Środek odcinka AB $A = (x_A, y_A)$ , $B = (x_B, y_B)$ — końce odcinka, $S$ — jego środek: $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Środek odcinka to punkt, który dzieli odcinek na dwie równe części.

Wzór na środek odcinka

Jeśli końce odcinka mają współrzędne $A = (x_A, y_A)$ oraz $B = (x_B, y_B)$ , to środek tego odcinka $S$ ma współrzędne będące średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych końców:

$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Dlaczego środek to średnia współrzędnych

Intuicja: środek leży w połowie drogi między $A$ i $B$ — osobno na osi $x$ i osobno na osi $y$ . Dlatego współrzędna $x$ punktu $S$ to średnia z $x_A$ i $x_B$ , a współrzędna $y$ punktu $S$ — średnia z $y_A$ i $y_B$ .

Jak obliczyć drugi koniec odcinka

Z tego samego wzoru — przekształconego — korzystamy też w drugą stronę: gdy znamy jeden koniec $A$ i środek $S$ , wyliczamy drugi koniec $B$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Środek odcinka — współrzędne całkowite

Aby znaleźć środek $S$ odcinka $AB$ , obliczamy średnią arytmetyczną współrzędnych końców osobno na każdej osi: $x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$ oraz $y_S = \frac{y_A + y_B}{2}$ . Gdy suma współrzędnych jest parzysta, wynik jest liczbą całkowitą.

Zadanie Końce odcinka mają współrzędne A = (2, 1) i B = (8, 5). Znajdź współrzędne środka S tego odcinka.

Współrzędna x środka: (x_A + x_B) ÷ 2 = (2 + 8) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5.
Współrzędna y środka: (y_A + y_B) ÷ 2 = (1 + 5) ÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3.
Środek odcinka AB to punkt S = (5, 3).

Odpowiedź: S = (5, 3)

Przykład 2 Środek odcinka — współrzędne z połówkami

Ten sam wzór $x_S = \frac{x_A + x_B}{2}$ , $y_S = \frac{y_A + y_B}{2}$ działa, gdy suma którejś pary współrzędnych jest nieparzysta — wtedy odpowiednia współrzędna środka jest połówką (np. $3{,}5$ albo $\frac{7}{2}$ ). Tak samo, gdy końce mają same współrzędne wymierne — dodajemy je i dzielimy przez $2$ .

Zadanie Końce odcinka mają współrzędne A = (1, 2) i B = (6, 5). Znajdź współrzędne środka S tego odcinka.

Współrzędna x środka: (x_A + x_B) ÷ 2 = (1 + 6) ÷ 2 = 7 ÷ 2 = 3,5.
Współrzędna y środka: (y_A + y_B) ÷ 2 = (2 + 5) ÷ 2 = 7 ÷ 2 = 3,5.
Środek odcinka to S = (3,5; 3,5) — leży dokładnie między liniami siatki.

Odpowiedź: S = (3,5; 3,5)

Przykład 3 Drugi koniec odcinka ze środka i jednego końca

Skoro $S$ jest środkiem $AB$ , to z definicji $\frac{x_A + x_B}{2} = x_S$ i analogicznie dla $y$ . Przekształcając, otrzymujemy wzór na drugi koniec: $x_B = 2 \cdot x_S - x_A$ oraz $y_B = 2 \cdot y_S - y_A$ . Intuicyjnie: od $A$ do $S$ idziemy o pewien wektor, a do $B$ — o ten sam wektor jeszcze raz.

Zadanie Punkt S = (5, 4) jest środkiem odcinka AB. Wiemy, że A = (2, 1). Znajdź współrzędne punktu B.

Korzystam ze wzoru x_B = 2·x_S − x_A. Wstawiam liczby: x_B = 2·5 − 2 = 10 − 2 = 8.
Tak samo dla y: y_B = 2·y_S − y_A = 2·4 − 1 = 8 − 1 = 7.
Drugi koniec odcinka to B = (8, 7).

Odpowiedź: B = (8, 7)

Najczęstsze błędy

Mieszanie osi. Współrzędną $x$ środka liczymy tylko z $x_A$ i $x_B$ , a współrzędną $y$ — tylko z $y_A$ i $y_B$ .
Liczenie średniej z $A$ i $S$ , gdy szukamy drugiego końca. Drugi koniec to $x_B = 2 \cdot x_S - x_A$ i $y_B = 2 \cdot y_S - y_A$ : dla $A = (2, 1)$ i $S = (5, 4)$ wychodzi $B = (8, 7)$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Końce odcinka mają współrzędne A = (−2, 1) oraz B = (4, 7). Jakie współrzędne ma środek S tego odcinka?

Zadanie 2

Końce odcinka mają współrzędne A = (2, 1) oraz B = (5, 6). Znajdź współrzędne środka S.

Zadanie 3

Punkt S = (3, 2) jest środkiem odcinka AB. Wiemy, że A = (−1, 0). Znajdź współrzędne drugiego końca B.

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dane są punkty: K = (-2, 8) i M = (4, 6). Informator CKE 2025 — egzamin ósmoklasisty, matematyka · zadanie 25

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Długość i środek odcinka w układzie współrzędnych Pi-stacja

Jak obliczyć środek odcinka? MatFiz24.PL

Jak znaleźć współrzędne środka odcinka? Matematyka Po Prostu

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na środek odcinka?

$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ — współrzędne środka to średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych końców $A$ i $B$ .

Jak obliczyć współrzędne środka odcinka?

Dodajemy współrzędne $x$ końców i dzielimy przez 2, potem tak samo ze współrzędnymi $y$ . Dla $A = (2, 1)$ i $B = (8, 5)$ : $S = (5, 3)$ .

Jak obliczyć drugi koniec odcinka, gdy znam środek?

Ze wzorów $x_B = 2 \cdot x_S - x_A$ oraz $y_B = 2 \cdot y_S - y_A$ . Dla $A = (2, 1)$ i $S = (5, 4)$ wychodzi $B = (8, 7)$ .

Czy środek odcinka może mieć współrzędne niecałkowite?

Tak — gdy suma współrzędnych końców jest nieparzysta, wychodzi połówka. Dla $A = (1, 2)$ i $B = (6, 5)$ środek to $S = (3{,}5;\ 3{,}5)$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Punkty kratowe na prostej Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Rysowanie punktów kratowych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Współrzędne punktów kratowych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Zbiory liczb na osi Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę