Mnożenie i dzielenie pierwiastków — wzory, przykłady i zadania

Q: Jak dzielić pierwiastki?

Dzielimy liczby pod pierwiastkami: √a: √b = √(a/b). Np. √200: √2 = √100 = 10.

Q: Jak mnożyć pierwiastki z liczbą przed pierwiastkiem?

Współczynniki mnożymy osobno, pierwiastki osobno: m√a · n√b = (m · n)√(a · b). Np. 3√2 · 2√8 = 6√16 = 6 · 4 = 24.

Pierwiastki kwadratowe mnożymy i dzielimy, łącząc je w jeden: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ oraz $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ . Współczynniki stojące przed pierwiastkami mnożymy osobno.

Pierwiastki · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Mnożenie pierwiastków $a$ , $b$ — liczby nieujemne: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
Dzielenie pierwiastków $a \geq 0$ , $b > 0$: $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
Pierwiastki ze współczynnikami $m$ , $n$ — liczby stojące przed pierwiastkami: $m\sqrt{a} \cdot n\sqrt{b} = (m \cdot n)\sqrt{a \cdot b}$

Wzory na mnożenie i dzielenie pierwiastków

Mnożenie i dzielenie pierwiastków kwadratowych polega na łączeniu dwóch oddzielnych pierwiastków w jeden — na podstawie tych samych własności, które znasz z wyłączania czynnika:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \qquad \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$

Mnożenie pierwiastków ze współczynnikami

Gdy przed pierwiastkami stoją współczynniki, mnożymy je osobno:

$m\sqrt{a} \cdot n\sqrt{b} = (m \cdot n)\sqrt{a \cdot b}$

Wynik zawsze upraszczamy — obliczamy jego wartość, jeśli wyrażenie pod pierwiastkiem jest pełnym kwadratem, albo wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Mnożenie pierwiastków kwadratowych

Dwa pierwiastki kwadratowe mnoży się, łącząc wyrażenia pod pierwiastkami: √a · √b = $\sqrt{a \cdot b}$ . Wynik obliczamy lub upraszczamy.

Zadanie Oblicz $\sqrt{3}$ · $\sqrt{75}$ .

Korzystam z własności: √a · √b = $\sqrt{a \cdot b}$ .
$\sqrt{3}$ · $\sqrt{75}$ = $\sqrt{3 \cdot 75}$ .
3 · 75 = 225.
$\sqrt{225}$ = 15, bo 15^{do potęgi 2} = 225.
Odpowiedź: $\sqrt{3}$ · $\sqrt{75}$ = 15.

Odpowiedź: $\sqrt{3}$ · $\sqrt{75}$ = 15.

Przykład 2 Dzielenie pierwiastków kwadratowych

Dwa pierwiastki kwadratowe dzieli się, dzieląc wyrażenia pod pierwiastkami: √a : √b = $\sqrt{a : b}$ . Wynik obliczamy lub upraszczamy.

Zadanie Oblicz $\sqrt{200}$ : $\sqrt{2}$ .

Korzystam z własności: √a : √b = $\sqrt{a : b}$ .
$\sqrt{200}$ : $\sqrt{2}$ = $\sqrt{200 : 2}$ .
200 : 2 = 100.
$\sqrt{100}$ = 10.
Odpowiedź: $\sqrt{200}$ : $\sqrt{2}$ = 10.

Odpowiedź: $\sqrt{200}$ : $\sqrt{2}$ = 10.

Przykład 3 Mnożenie pierwiastków ze współczynnikami

Gdy przed pierwiastkami stoją współczynniki, mnożymy je osobno: m√a · n√b = (m · n) · $\sqrt{a \cdot b}$ . Przy dzieleniu: m√a : (n√b) = (m : n) · $\sqrt{a : b}$ .

Zadanie Oblicz $3\sqrt{2}$ · $2\sqrt{8}$ .

Mnożę współczynniki i pierwiastki osobno.
(3 · 2) · ( $\sqrt{2}$ · $\sqrt{8}$ ) = 6 · $\sqrt{2 \cdot 8}$ .
2 · 8 = 16.
$\sqrt{16}$ = 4.
6 · 4 = 24. Odpowiedź: 24.

Odpowiedź: $3\sqrt{2}$ · $2\sqrt{8}$ = 24.

Najczęstsze błędy

Wynik zostawiony jako $\sqrt{225}$ czy $\sqrt{100}$ . Wynik zawsze upraszczamy: obliczamy pierwiastek, gdy pod nim jest pełny kwadrat, albo wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka.
Wpisanie współczynników pod pierwiastek. Współczynniki mnożymy osobno i liczby pod pierwiastkami osobno: $3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{8} = 6\sqrt{16} = 24$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Oblicz $\sqrt{2}$ · $\sqrt{50}$ .

Zadanie 2

Oblicz $\sqrt{72}$ : $\sqrt{2}$ .

Zadanie 3

Oblicz $2\sqrt{3}$ · $3\sqrt{3}$ .

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków kwadratowych — przykłady #8 [ Pierwiastek kwadratowy ] Pi-stacja

Mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia przez liczbę — Pierwiastki Matfiz24.pl

Najczęstsze pytania

Jak mnożyć pierwiastki?

Liczby pod pierwiastkami mnożymy i zapisujemy pod jednym pierwiastkiem: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ . Np. $\sqrt{3} \cdot \sqrt{75} = \sqrt{225} = 15$ .

Jak dzielić pierwiastki?

Dzielimy liczby pod pierwiastkami: $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ . Np. $\sqrt{200} : \sqrt{2} = \sqrt{100} = 10$ .

Jak mnożyć pierwiastki z liczbą przed pierwiastkiem?

Współczynniki mnożymy osobno, pierwiastki osobno: $m\sqrt{a} \cdot n\sqrt{b} = (m \cdot n)\sqrt{a \cdot b}$ . Np. $3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{8} = 6\sqrt{16} = 6 \cdot 4 = 24$ .

Jak dzielić pierwiastki ze współczynnikami?

Tak samo jak przy mnożeniu, osobno współczynniki i osobno liczby pod pierwiastkami: $m\sqrt{a} : (n\sqrt{b}) = (m : n) \cdot \sqrt{a : b}$ . Wynik na końcu upraszczamy.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Pierwiastki z kwadratów i sześcianów Pierwiastki Porównywanie wyrażeń z pierwiastkami Pierwiastki Przekształcanie pierwiastków Pierwiastki Szacowanie pierwiastków Pierwiastki Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę