Szacowanie pierwiastków — między jakimi liczbami całkowitymi leży pierwiastek

Q: Jak oszacować pierwiastek kwadratowy?

Szukamy kolejnych liczb całkowitych n i n+1, których kwadraty otaczają liczbę pod pierwiastkiem. Na przykład 25 < 30 < 36, więc 5 < √30 < 6.

Q: Między jakimi liczbami całkowitymi leży pierwiastek z 50?

7² = 49 i 8² = 64, a 49 < 50 < 64, więc 7 < √50 < 8.

Q: Jak oszacować pierwiastek sześcienny?

Tak samo, ale z sześcianami: jeśli n³ < a < (n+1)³, to n < ∛a < n+1. Na przykład 8 < 20 < 27, więc 2 < ∛20 < 3.

Q: Jak porównać sumę pierwiastków z liczbą?

Szacujemy każdy pierwiastek osobno i dodajemy granice. Na przykład √8 < 3, bo 8 < 9, i √3 < 2, bo 3 < 4, więc √8 + √3 < 5.

Q: Jakie kwadraty i sześciany warto znać do szacowania?

Kwadraty liczb od 1 do 15 (np. 12² = 144, 15² = 225) i sześciany od 1 do 6 (np. 5³ = 125, 6³ = 216).

Żeby oszacować $\sqrt{a}$ , szukamy dwóch kolejnych liczb całkowitych, których kwadraty otaczają $a$ : jeśli $n^2 < a < (n+1)^2$ , to $n < \sqrt{a} < n+1$ . Na przykład $64 < 73 < 81$ , więc $8 < \sqrt{73} < 9$ .

Pierwiastki · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Szacowanie pierwiastka kwadratowego gdy $n^2 < a < (n+1)^2$ ; $n$ , $n+1$ — kolejne liczby całkowite: $n < \sqrt{a} < n+1$
Szacowanie pierwiastka sześciennego gdy $n^3 < a < (n+1)^3$: $n < \sqrt[3]{a} < n+1$

Szacowanie pierwiastka to znalezienie dwóch sąsiednich liczb całkowitych, między którymi leży jego wartość.

Jak oszacować pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy: jeśli $n^2 < a < (n+1)^2$ , to $n < \sqrt{a} < n+1$ .

Jak oszacować pierwiastek sześcienny

Pierwiastek sześcienny: jeśli $n^3 < a < (n+1)^3$ , to $n < \sqrt[3]{a} < n+1$ .

Szacowanie jest jedną z najczęstszych umiejętności sprawdzanych na egzaminie ósmoklasisty — pojawia się samodzielnie i przy porównywaniu wyrażeń z pierwiastkami z liczbami wymiernymi.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Szacowanie pierwiastka kwadratowego

Żeby oszacować √a, szukasz dwóch kolejnych liczb całkowitych n i n+1, których kwadraty otaczają a: n^{do potęgi 2} < a < (n+1)^{do potęgi 2}. Wtedy n < √a < n+1. Warto znać kwadraty: 1^{do potęgi 2}=1, 2^{do potęgi 2}=4, 3^{do potęgi 2}=9, 4^{do potęgi 2}=16, 5^{do potęgi 2}=25, 6^{do potęgi 2}=36, 7^{do potęgi 2}=49, 8^{do potęgi 2}=64, 9^{do potęgi 2}=81, 10^{do potęgi 2}=100, 11^{do potęgi 2}=121, 12^{do potęgi 2}=144, 13^{do potęgi 2}=169, 14^{do potęgi 2}=196, 15^{do potęgi 2}=225.

Zadanie Między jakimi dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{73}$ ?

Szukamy n i n+1 takich, że n^{do potęgi 2} < 73 < (n+1)^{do potęgi 2}.
8^{do potęgi 2} = 64 i 9^{do potęgi 2} = 81.
Ponieważ 64 < 73 < 81, mamy 8 < $\sqrt{73}$ < 9.

Odpowiedź: 8 < $\sqrt{73}$ < 9

Przykład 2 Szacowanie pierwiastka sześciennego

Żeby oszacować ^{do potęgi 3}√a, szukasz dwóch kolejnych liczb całkowitych n i n+1, których sześciany otaczają a: n^{do potęgi 3} < a < (n+1)^{do potęgi 3}. Wtedy n < ^{do potęgi 3}√a < n+1. Warto znać sześciany: 1^{do potęgi 3}=1, 2^{do potęgi 3}=8, 3^{do potęgi 3}=27, 4^{do potęgi 3}=64, 5^{do potęgi 3}=125, 6^{do potęgi 3}=216.

Zadanie Między jakimi dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt[3]{80}$ ?

Szukamy n i n+1 takich, że n^{do potęgi 3} < 80 < (n+1)^{do potęgi 3}.
4^{do potęgi 3} = 64 i 5^{do potęgi 3} = 125.
Ponieważ 64 < 80 < 125, mamy 4 < $\sqrt[3]{80}$ < 5.

Odpowiedź: 4 < $\sqrt[3]{80}$ < 5

Przykład 3 Porównywanie sumy pierwiastków z liczbą

Gdy porównujesz wyrażenie z pierwiastkami z liczbą wymierną, szacuj każdy pierwiastek osobno, a potem łącz wyniki. Żeby pokazać, że suma pierwiastków jest mniejsza niż N, wystarczy znaleźć górne granice każdego pierwiastka, których suma nie przekracza N. Żeby pokazać, że suma jest większa niż N, szukasz dolnych granic.

Zadanie Porównaj wyrażenie $\sqrt{7}$ + $\sqrt{3}$ z liczbą 5.

Szacujemy $\sqrt{7}$ : 2^{do potęgi 2} = 4 < 7 < 9 = 3^{do potęgi 2}, więc $\sqrt{7}$ < 3.
Szacujemy $\sqrt{3}$ : 1^{do potęgi 2} = 1 < 3 < 4 = 2^{do potęgi 2}, więc $\sqrt{3}$ < 2.
Dodajemy górne granice: $\sqrt{7}$ + $\sqrt{3}$ < 3 + 2 = 5.
Wniosek: $\sqrt{7}$ + $\sqrt{3}$ < 5.

Odpowiedź: $\sqrt{7}$ + $\sqrt{3}$ < 5

Najczęstsze błędy

Szacowanie pierwiastka sześciennego za pomocą kwadratów. Dla $\sqrt[3]{a}$ szukamy sześcianów: $27 < 30 < 64$ , więc $3 < \sqrt[3]{30} < 4$ .
Granice, które nie są kolejnymi liczbami całkowitymi, np. $7 < \sqrt{73} < 10$ . Szukamy dwóch kolejnych liczb $n$ i $n+1$ .
Mieszanie granic przy porównaniu sumy z liczbą. Żeby pokazać, że suma pierwiastków jest mniejsza niż liczba, bierzemy górne granice obu pierwiastków; żeby pokazać, że jest większa — dolne.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Między jakimi dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{50}$ ?

Zadanie 2

Między jakimi dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt[3]{20}$ ?

Zadanie 3

Które stwierdzenie jest prawdziwe?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\sqrt{60}$ jest

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Szacowanie wartości pierwiastków #3 [ Działania na pierwiastkach ] Pi-stacja

Szacowanie pierwiastków — Pierwiastkowanie Matfiz24.pl

Najczęstsze pytania

Jak oszacować pierwiastek kwadratowy?

Szukamy kolejnych liczb całkowitych $n$ i $n+1$ , których kwadraty otaczają liczbę pod pierwiastkiem. Na przykład $25 < 30 < 36$ , więc $5 < \sqrt{30} < 6$ .

Między jakimi liczbami całkowitymi leży pierwiastek z 50?

$7^2 = 49$ i $8^2 = 64$ , a $49 < 50 < 64$ , więc $7 < \sqrt{50} < 8$ .

Jak oszacować pierwiastek sześcienny?

Tak samo, ale z sześcianami: jeśli $n^3 < a < (n+1)^3$ , to $n < \sqrt[3]{a} < n+1$ . Na przykład $8 < 20 < 27$ , więc $2 < \sqrt[3]{20} < 3$ .

Jak porównać sumę pierwiastków z liczbą?

Szacujemy każdy pierwiastek osobno i dodajemy granice. Na przykład $\sqrt{8} < 3$ , bo $8 < 9$ , i $\sqrt{3} < 2$ , bo $3 < 4$ , więc $\sqrt{8} + \sqrt{3} < 5$ .

Jakie kwadraty i sześciany warto znać do szacowania?

Kwadraty liczb od 1 do 15 (np. $12^2 = 144$ , $15^2 = 225$ ) i sześciany od 1 do 6 (np. $5^3 = 125$ , $6^3 = 216$ ).

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki Pierwiastki z kwadratów i sześcianów Pierwiastki Porównywanie wyrażeń z pierwiastkami Pierwiastki Przekształcanie pierwiastków Pierwiastki Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę