Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie — wzory i przykłady

Q: Jak mnożyć potęgi o tej samej podstawie?

Dodajemy wykładniki, a podstawę zostawiamy: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Na przykład 7² · 7⁶ = 7⁸.

Q: Jak dzielić potęgi o tej samej podstawie?

Odejmujemy wykładniki: aᵐ: aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (dla a ≠ 0). Na przykład 4⁹: 4⁵ = 4⁴.

Q: Dlaczego przy mnożeniu potęg dodaje się wykładniki?

Bo liczymy wszystkie jednakowe czynniki razem: 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 2⁷.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , a przy dzieleniu odejmujemy: $a^m : a^n = a^{m-n}$ . Podstawa zostaje bez zmian, np. $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ .

Potęgi o podstawach wymiernych · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Mnożenie potęg $a$ — wspólna podstawa, $m$ , $n$ — wykładniki: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Dzielenie potęg $a \neq 0$ , $m > n$: $a^m : a^n = a^{m-n}$

Potęgi o tej samej podstawie można mnożyć i dzielić za pomocą dwóch reguł dotyczących wykładników.

Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Mnożenie: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — wykładniki dodajemy.

Przykład: $2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^7$ .

Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Dzielenie: $a^m : a^n = a^{m-n}$ — wykładniki odejmujemy ( $a \neq 0$ , $m > n$ ).

Przykład: $2^5 : 2^3 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^2$ .

Obie reguły działają tylko wtedy, gdy podstawa jest taka sama.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Gdy mnożymy dwie potęgi o tej samej podstawie, wykładniki dodajemy, a podstawę pozostawiamy bez zmian: a^{do potęgi m} · a^{do potęgi n} = a^{do potęgi m+n}. Podstawy muszą być identyczne — reguła nie działa dla różnych podstaw. Przykład: 3^{do potęgi 2} · 3^{do potęgi 5} = 3^{do potęgi 7}.

Zadanie Uprość wyrażenie 5^{do potęgi 3} · 5^{do potęgi 4}.

Sprawdzamy, czy podstawy są takie same: obie potęgi mają podstawę 5.
Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: 3 + 4 = 7.
Podstawa pozostaje bez zmian.
Wynik: 5^{do potęgi 3} · 5^{do potęgi 4} = 5^{do potęgi 7}.

Odpowiedź: 5^{do potęgi 7}

Przykład 2 Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Gdy dzielimy dwie potęgi o tej samej podstawie (a ≠ 0), wykładniki odejmujemy, a podstawę pozostawiamy bez zmian: a^{do potęgi m} : a^{do potęgi n} = a^{do potęgi m−n}. Warunki: podstawy identyczne, m > n (wynik ma być potęgą o wykładniku całkowitym dodatnim), podstawa różna od zera. Przykład: 6^{do potęgi 7} : 6^{do potęgi 3} = 6^{do potęgi 4}.

Zadanie Uprość wyrażenie 6^{do potęgi 7} : 6^{do potęgi 3}.

Sprawdzamy, czy podstawy są takie same: obie potęgi mają podstawę 6.
Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki: 7 − 3 = 4.
Podstawa pozostaje bez zmian.
Wynik: 6^{do potęgi 7} : 6^{do potęgi 3} = 6^{do potęgi 4}.

Odpowiedź: 6^{do potęgi 4}

Przykład 3 Mnożenie i dzielenie potęg w jednym wyrażeniu

W jednym wyrażeniu można zastosować obie reguły. Działamy od lewej do prawej: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki, przy dzieleniu — odejmujemy. Przykład: 2^{do potęgi 6} · 2^{do potęgi 3} : 2^{do potęgi 4} = 2^{do potęgi 9} : 2^{do potęgi 4} = 2^{do potęgi 5}.

Zadanie Uprość wyrażenie 3^{do potęgi 7} · 3^{do potęgi 2} : 3^{do potęgi 3}.

Działamy od lewej do prawej.
Najpierw mnożenie: 3^{do potęgi 7} · 3^{do potęgi 2} = 3^{do potęgi 7+2} = 3^{do potęgi 9}.
Następnie dzielenie: 3^{do potęgi 9} : 3^{do potęgi 3} = 3^{do potęgi 9−3} = 3^{do potęgi 6}.
Wynik: 3^{do potęgi 6}.

Odpowiedź: 3^{do potęgi 6}

Najczęstsze błędy

Stosowanie reguł do potęg o różnych podstawach. Dodawać i odejmować wykładniki wolno tylko wtedy, gdy podstawa jest taka sama.
Mnożenie wykładników zamiast dodawania: $5^3 \cdot 5^4 = 5^7$ , a nie $5^{12}$ .
Dzielenie wykładników zamiast odejmowania: $6^8 : 6^2 = 6^6$ , a nie $6^4$ .
Zmiana podstawy, np. $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$ . Podstawa zostaje bez zmian, zmienia się tylko wykładnik.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Które wyrażenie jest równe 3^{do potęgi 2} · 3^{do potęgi 5}?

Zadanie 2

Które wyrażenie jest równe 5^{do potęgi 8} : 5^{do potęgi 3}?

Zadanie 3

Ile wynosi 2^{do potęgi 5} · 2^{do potęgi 3} : 2^{do potęgi 4}?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $8^{6} : 4^{3}$ zapisana w postaci potęgi liczby $2$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Mnożenie i dzielenie funkcji potęgowych o wykładnikach całkowitych Khan Academy Po Polsku

Jak mnożyć i dzielić potęgi? Proste wyjaśnienie E8 i Matura z matmy

Najczęstsze pytania

Jak mnożyć potęgi o tej samej podstawie?

Dodajemy wykładniki, a podstawę zostawiamy: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Na przykład $7^2 \cdot 7^6 = 7^8$ .

Jak dzielić potęgi o tej samej podstawie?

Odejmujemy wykładniki: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (dla $a \neq 0$ ). Na przykład $4^9 : 4^5 = 4^4$ .

Dlaczego przy mnożeniu potęg dodaje się wykładniki?

Bo liczymy wszystkie jednakowe czynniki razem: $2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^7$ .

Czy reguły działają dla potęg o różnych podstawach?

Nie. Dodawanie i odejmowanie wykładników działa tylko dla potęg o tej samej podstawie.

Jak uprościć wyrażenie z mnożeniem i dzieleniem potęg?

Działamy od lewej do prawej: przy mnożeniu dodajemy wykładniki, przy dzieleniu odejmujemy. Na przykład $5^4 \cdot 5^3 : 5^2 = 5^7 : 5^2 = 5^5$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Mnożenie potęg różnych podstaw Potęgi o podstawach wymiernych Notacja wykładnicza Potęgi o podstawach wymiernych Potęga potęgi Potęgi o podstawach wymiernych Potęga z iloczynu czynników Potęgi o podstawach wymiernych Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę