Mnożenie potęg o różnych podstawach i tym samym wykładniku

Q: Kiedy opłaca się łączyć podstawy potęg?

Gdy iloczyn podstaw daje okrągłą liczbę. Na przykład 2⁵ · 5⁵ = (2 · 5)⁵ = 10⁵ = 100 000.

Potęgi o różnych podstawach, ale tym samym wykładniku łączymy w potęgę iloczynu: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ . Na przykład $2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000$ . Reguła działa też w drugą stronę.

Potęgi o podstawach wymiernych · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Iloczyn potęg o tym samym wykładniku $a$ , $b$ — podstawy, $n$ — wspólny wykładnik: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$
Potęga iloczynu: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Gdy dwie potęgi mają ten sam wykładnik, możesz je połączyć w jedną potęgę — albo jedną potęgę rozłożyć na iloczyn.

Wzór na mnożenie potęg o tym samym wykładniku

Reguła: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$

Przykład: $3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2 = 225$ .

Potęga iloczynu — reguła w drugą stronę

Reguła działa też w drugą stronę: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ .

Szczególnie przydatna, gdy iloczyn podstaw daje okrągłą liczbę — np. $2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10\,000$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Łączenie potęg o tym samym wykładniku w jedną potęgę

Gdy dwie potęgi mają różne podstawy, ale jednakowy wykładnik, łączymy je w potęgę iloczynu podstaw: a^{do potęgi n} · b^{do potęgi n} = (a·b)^{do potęgi n}. Warunek: wykładniki muszą być identyczne. Przykład: 3^{do potęgi 2} · 7^{do potęgi 2} = (3·7)^{do potęgi 2} = 21^{do potęgi 2} = 441.

Zadanie Zapisz iloczyn 3^{do potęgi 2} · 7^{do potęgi 2} w postaci jednej potęgi.

Sprawdzamy wykładniki: obie potęgi mają wykładnik 2 — są jednakowe.
Stosujemy regułę: a^{do potęgi n} · b^{do potęgi n} = (a·b)^{do potęgi n}.
Łączymy podstawy w iloczyn: 3 · 7 = 21.
Wynik: 3^{do potęgi 2} · 7^{do potęgi 2} = (3·7)^{do potęgi 2} = 21^{do potęgi 2}.

Odpowiedź: (3·7)^{do potęgi 2} = 21^{do potęgi 2}

Przykład 2 Rozwijanie potęgi iloczynu

Reguła a^{do potęgi n} · b^{do potęgi n} = (a·b)^{do potęgi n} działa też w drugą stronę: (a·b)^{do potęgi n} = a^{do potęgi n} · b^{do potęgi n}. Potęgę iloczynu rozkładamy na iloczyn potęg. Przydatne, gdy chcemy rozbić obliczenia na prostsze kroki. Przykład: (4·3)^{do potęgi 2} = 4^{do potęgi 2} · 3^{do potęgi 2} = 16 · 9 = 144.

Zadanie Rozwiń wyrażenie (2·5)^{do potęgi 3} na iloczyn dwóch potęg.

Korzystamy z reguły (a·b)^{do potęgi n} = a^{do potęgi n} · b^{do potęgi n}.
Każdy czynnik nawiasu podnosimy osobno do wykładnika 3.
2 → 2^{do potęgi 3}, 5 → 5^{do potęgi 3}.
Wynik: (2·5)^{do potęgi 3} = 2^{do potęgi 3} · 5^{do potęgi 3}.
Sprawdzenie: 2^{do potęgi 3} · 5^{do potęgi 3} = 8 · 125 = 1000 = 10^{do potęgi 3} = (2·5)^{do potęgi 3}.

Odpowiedź: (2·5)^{do potęgi 3} = 2^{do potęgi 3} · 5^{do potęgi 3}

Przykład 3 Obliczanie wartości przez łączenie podstaw

Gdy wykładniki są jednakowe, sprawdź czy iloczyn podstaw daje wygodną liczbę. Jeśli tak — połącz podstawy i oblicz jedną potęgę zamiast dwóch oddzielnych. Przykład: 4^{do potęgi 3} · 25^{do potęgi 3} = (4·25)^{do potęgi 3} = 100^{do potęgi 3} = 1 000 000.

Zadanie Ile wynosi 2^{do potęgi 4} · 5^{do potęgi 4}?

Wykładniki są jednakowe (oba = 4), stosujemy a^{do potęgi n} · b^{do potęgi n} = (a·b)^{do potęgi n}.
Łączymy podstawy: 2 · 5 = 10.
2^{do potęgi 4} · 5^{do potęgi 4} = (2·5)^{do potęgi 4} = 10^{do potęgi 4}.
Obliczamy: 10^{do potęgi 4} = 10 000.

Odpowiedź: 10 000

Najczęstsze błędy

Łączenie potęg o różnych wykładnikach. Reguła działa tylko wtedy, gdy wykładniki są takie same.
Dodawanie wykładników przy łączeniu podstaw: $3^2 \cdot 5^2 = 15^2$ , a nie $15^4$ .
Podniesienie do potęgi tylko jednego czynnika nawiasu. Do potęgi podnosimy każdy czynnik: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Które wyrażenie jest równe 2^{do potęgi 3} · 5^{do potęgi 3}?

Zadanie 2

Które wyrażenie jest równe (3·4)^{do potęgi 2}?

Zadanie 3

Ile wynosi 4^{do potęgi 3} · 25^{do potęgi 3}?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $8^{6} : 4^{3}$ zapisana w postaci potęgi liczby $2$ jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych… Egzamin ósmoklasisty 2021 — matematyka, termin dodatkowy (czerwiec) · zadanie 5

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Mnożenie potęg o jednakowych wykładnikach Pi-stacja

Jak mnożyć i dzielić potęgi? Proste wyjaśnienie E8 i Matura z matmy

Najczęstsze pytania

Jak mnożyć potęgi o różnych podstawach?

Gdy wykładniki są takie same, mnożymy podstawy i zostawiamy wykładnik: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ , np. $3^2 \cdot 5^2 = 15^2 = 225$ . Gdy wykładniki są różne, ta reguła nie działa.

Co to jest potęga iloczynu?

To potęga, której podstawą jest iloczyn. Rozkładamy ją na iloczyn potęg: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ , np. $(3 \cdot 4)^2 = 3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144$ .

Kiedy opłaca się łączyć podstawy potęg?

Gdy iloczyn podstaw daje okrągłą liczbę. Na przykład $2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5 = 10^5 = 100\,000$ .

Kiedy działa reguła mnożenia potęg o różnych podstawach?

Tylko wtedy, gdy obie potęgi mają ten sam wykładnik. Podstawy mogą być różne.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych Notacja wykładnicza Potęgi o podstawach wymiernych Potęga potęgi Potęgi o podstawach wymiernych Potęga z iloczynu czynników Potęgi o podstawach wymiernych Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę