Przejdź do treści
Poznaj Compass

Potęga potęgi — wzór i przykłady

Gdy potęgę podnosimy do kolejnej potęgi, wykładniki mnożymy: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}. Na przykład (23)4=23⋅4=212(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}, a podstawa zostaje bez zmian.

Potęgi o podstawach wymiernych · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Potęga potęgi aa — podstawa, mm, nn — wykładniki
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Gdy potęga sama staje się podstawą nowego potęgowania, wykładniki mnożymy.

Wzór na potęgę potęgi

Reguła: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Dlaczego wykładniki się mnoży

Przykład: (23)4=23⋅23⋅23⋅23=23+3+3+3=212(2^3)^4 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3+3+3} = 2^{12}. Zamiast liczyć krok po kroku, wystarczy pomnożyć wykładniki: 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.

Reguła działa dla każdej podstawy wymiernej — naturalnej, ujemnej i ułamkowej.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Zapis potęgi potęgi jako jednej potęgi

Podnoszenie potęgi do innej potęgi sprowadza się do pomnożenia wykładników: (a do potęgi m) do potęgi n = a do potęgi m· do potęgi n. Uzasadnienie: (2 do potęgi 3) do potęgi 4 = 2 do potęgi 3 · 2 do potęgi 3 · 2 do potęgi 3 · 2 do potęgi 3 = 2^(3+3+3+3) = 2 do potęgi 12. Cztery razy wykładnik 3 daje 4 · 3 = 12.

Zadanie Zapisz wyrażenie (3 do potęgi 2) do potęgi 5 jako jedną potęgę.

  1. Rozpoznajemy schemat: (a do potęgi m) do potęgi n — potęga do potęgi.
  2. Stosujemy regułę: (a do potęgi m) do potęgi n = a do potęgi m· do potęgi n.
  3. Mnożymy wykładniki: 2 · 5 = 10.
  4. Wynik: (3 do potęgi 2) do potęgi 5 = 3 do potęgi 10.

Odpowiedź: 3 do potęgi 10

Przykład 2 Potęga potęgi o podstawie ujemnej

Reguła (a do potęgi m) do potęgi n = a do potęgi m· do potęgi n działa dla każdej podstawy wymiernej: naturalnej, ujemnej i ułamkowej. Podstawa zachowuje swój kształt — zmieniamy tylko wykładnik. Przykład: ((-3) do potęgi 2) do potęgi 5 = (-3) do potęgi 2· do potęgi 5 = (-3) do potęgi 10.

Zadanie Zapisz wyrażenie ((-2) do potęgi 3) do potęgi 4 jako jedną potęgę.

  1. Podstawa to −2, wykładnik wewnętrzny 3, wykładnik zewnętrzny 4.
  2. Stosujemy regułę: (a do potęgi m) do potęgi n = a do potęgi m· do potęgi n — niezależnie od tego, jaka jest podstawa.
  3. Mnożymy wykładniki: 3 · 4 = 12.
  4. Wynik: ((-2) do potęgi 3) do potęgi 4 = (-2) do potęgi 12.

Odpowiedź: (-2) do potęgi 12

Przykład 3 Obliczanie wartości potęgi potęgi

Po uproszczeniu wyrażenia z potęgą do potęgi można obliczyć jego wartość. Przykład: (10 do potęgi 2) do potęgi 3 = 10 do potęgi 6 = 1 000 000. Jeśli łańcuch jest dłuższy — np. ((2 do potęgi 2) do potęgi 3) do potęgi 2 — mnożymy wszystkie wykładniki: 2^(2·3·2) = 2 do potęgi 12 = 4 096.

Zadanie Ile wynosi (10 do potęgi 2) do potęgi 3?

  1. Stosujemy regułę: (10 do potęgi 2) do potęgi 3 = 10^(2·3).
  2. Mnożymy wykładniki: 2 · 3 = 6.
  3. Potęga to 10 do potęgi 6.
  4. Obliczamy: 10 do potęgi 6 = 1 000 000.

Odpowiedź: 1 000 000

Najczęstsze błędy

  • Dodawanie wykładników zamiast mnożenia: (23)4=212(2^3)^4 = 2^{12}, a nie 272^7.
  • Zmiana podstawy ujemnej. Podstawa zachowuje swój kształt, zmienia się tylko wykładnik: ((−3)2)5=(−3)10((-3)^2)^5 = (-3)^{10}.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Które wyrażenie jest równe (5 do potęgi 2) do potęgi 3?

Zadanie 2

Które wyrażenie jest równe ((-3) do potęgi 2) do potęgi 5?

Zadanie 3

Ile wynosi (2 do potęgi 3) do potęgi 2?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia 86:438^{6} : 4^{3} zapisana w postaci potęgi liczby 22 jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Potęga potęgi #6 [ Potęgi o wykładniku naturalnym ] Pi-stacja
Potęgowanie potęg, iloczynu i ilorazu — wzory i zadania E8 i Matura z matmy
Potęgowanie potęgi — przykłady i rozwiązania Matfiz24.pl

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na potęgę potęgi?

(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n} — wykładniki mnożymy, a podstawa zostaje bez zmian. Na przykład (52)3=56(5^2)^3 = 5^6.

Dlaczego w potędze potęgi mnoży się wykładniki?

Bo (23)4(2^3)^4 to cztery jednakowe czynniki 232^3: 23⋅23⋅23⋅23=23+3+3+3=2122^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3+3+3} = 2^{12}. Dodanie czterech trójek daje to samo co 3⋅43 \cdot 4.

Czy reguła działa dla liczb ujemnych i ułamków?

Tak, dla każdej podstawy wymiernej — naturalnej, ujemnej i ułamkowej. Na przykład ((−3)2)5=(−3)10((-3)^2)^5 = (-3)^{10}.

Jak obliczyć potęgę potęgi z kilkoma wykładnikami?

Mnożymy wszystkie wykładniki: ((22)3)2=22⋅3⋅2=212=4096((2^2)^3)^2 = 2^{2 \cdot 3 \cdot 2} = 2^{12} = 4096.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych Mnożenie potęg różnych podstaw Potęgi o podstawach wymiernych Notacja wykładnicza Potęgi o podstawach wymiernych Potęga z iloczynu czynników Potęgi o podstawach wymiernych Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę