Przekształcanie pierwiastków — wyłączanie i włączanie czynnika

Q: Jaki jest wzór na pierwiastek z iloczynu i z ilorazu?

√(a · b) = √a · √b oraz √(a/b) = √a/√b (dla b > 0). Np. √(4 · 49) = 2 · 7 = 14, a √(36: 4) = 6: 2 = 3.

Q: Czym różni się wyłączanie czynnika od włączania?

To operacje odwrotne. Wyłączając, zamieniamy √12 na 2√3; włączając, wracamy od 2√3 do √(2² · 3) = √12.

Przekształcając pierwiastki, korzystamy z własności $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka, wyciągamy pierwiastek z największego pełnego kwadratu: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ .

Pierwiastki · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Pierwiastek z iloczynu $a$ , $b$ — liczby nieujemne: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
Pierwiastek z ilorazu $a \geq 0$ , $b > 0$: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka (przykład) $4 = 2^2$ — największy pełny kwadrat, przez który dzieli się $12$: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Pierwiastek z iloczynu i z ilorazu — wzory

Pierwiastki można mnożyć i dzielić, korzystając z dwóch własności:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka

Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka — rozkładasz liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn największego pełnego kwadratu i reszty, a następnie wyciągasz pierwiastek z tego kwadratu:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Jak włączyć czynnik pod znak pierwiastka

Włączanie liczby pod znak pierwiastka to operacja odwrotna — liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnosisz do kwadratu i piszesz pod nim:

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Pierwiastek z iloczynu

Pierwiastek z iloczynu dwóch liczb nieujemnych można zapisać jako iloczyn pierwiastków: $\sqrt{a \cdot b}$ = √a · √b. Reguła ułatwia obliczanie, gdy iloczyn pod pierwiastkiem nie jest „ładnym" kwadratem, ale rozkłada się na kwadraty.

Zadanie Oblicz $\sqrt{4 \cdot 49}$ .

$\sqrt{4 \cdot 49}$ = $\sqrt{4}$ · $\sqrt{49}$ .
$\sqrt{4}$ = 2; $\sqrt{49}$ = 7.
Iloczyn: 2 · 7 = 14.
Wynik: 14.

Odpowiedź: $\sqrt{4 \cdot 49}$ = 14.

Przykład 2 Pierwiastek z ilorazu

Pierwiastek z ilorazu dwóch liczb (dzielnik > 0) można zapisać jako iloraz pierwiastków: $\sqrt{a/b}$ = √a / √b. Reguła ułatwia obliczanie, gdy iloraz nie jest „ładnym" kwadratem, ale licznik i mianownik są kwadratami osobno.

Zadanie Oblicz $\sqrt{36 : 4}$ .

$\sqrt{36 : 4}$ = $\sqrt{36}$ : $\sqrt{4}$ .
$\sqrt{36}$ = 6; $\sqrt{4}$ = 2.
Iloraz: 6 : 2 = 3.
Wynik: 3.

Odpowiedź: $\sqrt{36 : 4}$ = 3.

Przykład 3 Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Rozkładam liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn największego pełnego kwadratu i reszty. Następnie korzystam z własności $\sqrt{a \cdot b}$ = √a · √b i wyciągam pierwiastek z kwadratu przed znak pierwiastka.

Zadanie Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: $\sqrt{48}$ .

Szukam największego pełnego kwadratu dzielącego 48.
48 = 16 · 3, bo 16 = 4^{do potęgi 2} jest pełnym kwadratem.
$\sqrt{48}$ = $\sqrt{16 \cdot 3}$ = $\sqrt{16}$ · $\sqrt{3}$ .
$\sqrt{16}$ = 4.
$\sqrt{48}$ = $4\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $\sqrt{48}$ = $4\sqrt{3}$ .

Przykład 4 Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnoszę do kwadratu i piszę jako czynnik pod pierwiastkiem. Wzór: a · √b = $\sqrt{a² \cdot b}$ . To operacja odwrotna do wyłączania.

Zadanie Włącz czynnik pod znak pierwiastka: $3\sqrt{7}$ .

Wzór: a · √b = $\sqrt{a² \cdot b}$ .
a = 3, b = 7.
Obliczam a^{do potęgi 2}: 3^{do potęgi 2} = 9.
$3\sqrt{7}$ = $\sqrt{9 \cdot 7}$ = $\sqrt{63}$ .
Sprawdzenie: $\sqrt{63}$ = $\sqrt{9 \cdot 7}$ = $3\sqrt{7}$ . ✓

Odpowiedź: $3\sqrt{7}$ = $\sqrt{63}$ .

Najczęstsze błędy

Rozkład z kwadratem, który nie jest największy: $\sqrt{48} = \sqrt{4 \cdot 12} = 2\sqrt{12}$ to jeszcze nie koniec. Bierzemy największy pełny kwadrat: $48 = 16 \cdot 3$ , więc $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ .
Wpisanie liczby pod pierwiastek bez podnoszenia do kwadratu: $3\sqrt{7}$ to nie $\sqrt{21}$ . Liczbę sprzed pierwiastka najpierw podnosimy do kwadratu: $3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Oblicz $\sqrt{9 \cdot 25}$ .

Zadanie 2

Oblicz $\sqrt{196 : 4}$ .

Zadanie 3

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: $\sqrt{20}$ .

Zadanie 4

Włącz czynnik pod znak pierwiastka: $3\sqrt{5}$ .

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 16

Dane są cztery liczby: $\sqrt{2}$ , $\sqrt{8}$ , $-\sqrt{10}$ , $-\sqrt{18}$ . Suma trzech spośród nich jest równa 0.

Którą liczbę należy odrzucić, aby suma pozostałych trzech liczb była równa 0?

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka #6 [ Pierwiastek kwadratowy ] Pi-stacja

Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka — Pierwiastki Matfiz24.pl

Najczęstsze pytania

Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?

Rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn największego pełnego kwadratu i reszty, a potem wyciągamy pierwiastek z kwadratu: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ .

Jak włączyć czynnik pod znak pierwiastka?

Liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ , np. $3\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{63}$ .

Jaki jest wzór na pierwiastek z iloczynu i z ilorazu?

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ oraz $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (dla $b > 0$ ). Np. $\sqrt{4 \cdot 49} = 2 \cdot 7 = 14$ , a $\sqrt{36 : 4} = 6 : 2 = 3$ .

Czym różni się wyłączanie czynnika od włączania?

To operacje odwrotne. Wyłączając, zamieniamy $\sqrt{12}$ na $2\sqrt{3}$ ; włączając, wracamy od $2\sqrt{3}$ do $\sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki Pierwiastki z kwadratów i sześcianów Pierwiastki Porównywanie wyrażeń z pierwiastkami Pierwiastki Szacowanie pierwiastków Pierwiastki Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę