Pierwiastki z kwadratów i sześcianów — jak je obliczyć

Q: Co to jest pierwiastek kwadratowy?

Pierwiastek kwadratowy z liczby a ≥ 0 to taka liczba b ≥ 0, że b² = a. Na przykład √81 = 9, bo 9² = 81.

Q: Co to jest pierwiastek sześcienny?

To taka liczba b, że b³ = a; zapisujemy ∛a = b. Na przykład ∛64 = 4, bo 4³ = 64.

Q: Jakie kwadraty liczb warto znać?

Kwadraty liczb od 1 do 15, np. 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225 — z nich od razu odczytujemy pierwiastki.

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a \geq 0$ to liczba $b \geq 0$ , dla której $b^2 = a$ , np. $\sqrt{49} = 7$ . Pierwiastek sześcienny z $a$ to liczba $b$ , dla której $b^3 = a$ , np. $\sqrt[3]{27} = 3$ .

Pierwiastki · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Pierwiastek kwadratowy gdy $b^2 = a$ , przy czym $a \geq 0$ i $b \geq 0$: $\sqrt{a} = b$
Pierwiastek sześcienny gdy $b^3 = a$: $\sqrt[3]{a} = b$

Co to jest pierwiastek kwadratowy i sześcienny

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a \geq 0$ to taka liczba $b \geq 0$ , że $b^2 = a$ . Zapisujemy: $\sqrt{a} = b$ . Pierwiastek sześcienny z liczby $a$ to taka liczba $b$ , że $b^3 = a$ . Zapisujemy: $\sqrt[3]{a} = b$ . Pierwiastek dokładny obliczamy z liczby, która jest kwadratem lub sześcianem liczby wymiernej. Wynik jest wtedy zawsze liczbą wymierną.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej

Pierwiastek kwadratowy z liczby a (gdzie a ≥ 0) to liczba b ≥ 0 taka, że b^{do potęgi 2} = a. Pytasz: „Jaką liczbę nieujemną trzeba podnieść do kwadratu, żeby dostać a?" Warto znać kwadraty: 1^{do potęgi 2}=1, 2^{do potęgi 2}=4, 3^{do potęgi 2}=9, 4^{do potęgi 2}=16, 5^{do potęgi 2}=25, 6^{do potęgi 2}=36, 7^{do potęgi 2}=49, 8^{do potęgi 2}=64, 9^{do potęgi 2}=81, 10^{do potęgi 2}=100, 11^{do potęgi 2}=121, 12^{do potęgi 2}=144, 13^{do potęgi 2}=169, 14^{do potęgi 2}=196, 15^{do potęgi 2}=225.

Zadanie Oblicz $\sqrt{225}$ .

Pytamy: jaka liczba nieujemna, podniesiona do kwadratu, daje 225?
15^{do potęgi 2} = 225, więc $\sqrt{225}$ = 15.

Odpowiedź: $\sqrt{225}$ = 15

Przykład 2 Pierwiastek kwadratowy z ułamka

Gdy pod znakiem pierwiastka jest ułamek zwykły, wyciągamy pierwiastek osobno z licznika i z mianownika: $\sqrt{a/b}$ = √a / √b (dla a, b > 0). Gdy pod pierwiastkiem jest ułamek dziesiętny, zamieniamy go na zwykły albo rozpoznajemy, jaką liczbę trzeba podnieść do kwadratu. Przykład: $\sqrt{0.09}$ = $\sqrt{\frac{9}{100}}$ = 3/10 = 0,3.

Zadanie Oblicz $\sqrt{\frac{9}{49}}$ .

Wyciągamy pierwiastek osobno z licznika i mianownika: $\sqrt{\frac{9}{49}}$ = $\sqrt{9}$ / $\sqrt{49}$ .
$\sqrt{9}$ = 3, $\sqrt{49}$ = 7.
Wynik: 3/7.

Odpowiedź: $\sqrt{\frac{9}{49}}$ = 3/7

Przykład 3 Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej

Pierwiastek sześcienny z liczby a to liczba b taka, że b^{do potęgi 3} = a. Zapisujemy: ^{do potęgi 3}√a = b. W odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego, pierwiastek sześcienny można wyciągać z liczb ujemnych: $\sqrt[3]{−a}$ = −(^{do potęgi 3}√a). Warto znać sześciany: 1^{do potęgi 3}=1, 2^{do potęgi 3}=8, 3^{do potęgi 3}=27, 4^{do potęgi 3}=64, 5^{do potęgi 3}=125.

Zadanie Oblicz $\sqrt[3]{−125}$ .

Szukamy liczby b takiej, że b^{do potęgi 3} = −125.
(−5)^{do potęgi 3} = −125.
Wynik: $\sqrt[3]{−125}$ = −5.

Odpowiedź: $\sqrt[3]{−125}$ = −5

Najczęstsze błędy

Ujemny wynik pierwiastka kwadratowego. $\sqrt{a}$ to zawsze liczba $b \geq 0$ , więc $\sqrt{25} = 5$ , a nie $-5$ .
Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Liczymy go tylko dla $a \geq 0$ ; z liczby ujemnej można wyciągnąć pierwiastek sześcienny: $\sqrt[3]{-8} = -2$ .
Pierwiastek z ułamka wyciągnięty tylko z licznika. Pierwiastkujemy osobno licznik i mianownik: $\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Oblicz $\sqrt{144}$ .

Zadanie 2

Oblicz $\sqrt{\frac{16}{49}}$ .

Zadanie 3

$\sqrt[3]{64}$ = ?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 6

Dane są cztery liczby:

$a = (-2)^2 \qquad b = \sqrt{9 + 16} \qquad c = \frac{1}{2}(3 - 5)^2 \qquad d = \sqrt{\frac{25}{4}}$

Które zdanie jest fałszywe? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Pierwiastek kwadratowy, sześcienny, n-tego stopnia #1 Pi-stacja

Obliczanie pierwiastka sześciennego Matemaks

Najczęstsze pytania

Co to jest pierwiastek kwadratowy?

Pierwiastek kwadratowy z liczby $a \geq 0$ to taka liczba $b \geq 0$ , że $b^2 = a$ . Na przykład $\sqrt{81} = 9$ , bo $9^2 = 81$ .

Co to jest pierwiastek sześcienny?

To taka liczba $b$ , że $b^3 = a$ ; zapisujemy $\sqrt[3]{a} = b$ . Na przykład $\sqrt[3]{64} = 4$ , bo $4^3 = 64$ .

Jak obliczyć pierwiastek z ułamka?

Z ułamka zwykłego wyciągamy pierwiastek osobno z licznika i z mianownika: $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ . Ułamek dziesiętny zamieniamy na zwykły: $\sqrt{0{,}09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = 0{,}3$ .

Czy można obliczyć pierwiastek z liczby ujemnej?

Pierwiastek kwadratowy liczymy tylko z liczb nieujemnych. Pierwiastek sześcienny — także z ujemnych, np. $\sqrt[3]{-27} = -3$ , bo $(-3)^3 = -27$ .

Jakie kwadraty liczb warto znać?

Kwadraty liczb od 1 do 15, np. $11^2 = 121$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $14^2 = 196$ , $15^2 = 225$ — z nich od razu odczytujemy pierwiastki.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki Porównywanie wyrażeń z pierwiastkami Pierwiastki Przekształcanie pierwiastków Pierwiastki Szacowanie pierwiastków Pierwiastki Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę