Zbiory liczb na osi liczbowej — kropka pełna czy pusta i strzałka

Q: Jak zaznaczyć zbiór liczb na osi liczbowej?

Postaw kropkę w liczbie z warunku i poprowadź z niej strzałkę. Przy ≥ i ≤ kropka jest pełna, przy > i < pusta; strzałka idzie w prawo dla „większe”, w lewo dla „mniejsze”.

Q: Kiedy kropka jest pełna, a kiedy pusta?

Pełna, gdy granica należy do zbioru — przy znakach ≥ i ≤ (równość dozwolona). Pusta, czyli kółko, gdy granica nie należy — przy znakach > i <.

Q: W którą stronę rysować strzałkę?

W stronę liczb, które spełniają warunek: przy x > a i x ≥ a w prawo (większe liczby), przy x < a i x ≤ a w lewo (mniejsze liczby).

Q: Jak zaznaczyć na osi liczbę, która nie jest całkowita?

Znajdź dwie sąsiednie liczby całkowite, między którymi leży, i podziel odcinek między nimi na równe części. Np. 1,5 leży w połowie między 1 a 2, a -4/7 — między -1 a 0, cztery siódme drogi od zera w stronę -1.

Zbiór liczb spełniających warunek typu $x \ge a$ zaznaczamy na osi kropką w punkcie $a$ i strzałką. Kropka jest pełna przy $\ge$ i $\le$ , pusta przy $>$ i $<$ ; strzałka idzie w prawo przy „większe”, w lewo przy „mniejsze”.

Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie · egzamin ósmoklasisty Klasa 8 → Zobacz na planecie →

Co to jest zbiór liczb na osi

Warunek typu $x \ge 1{,}5$ albo $x < -\tfrac{4}{7}$ opisuje cały zbiór liczb, nie jedną liczbę. Liczb pasujących do takiego warunku jest nieskończenie wiele — dlatego nie zapisujemy ich po przecinku, tylko zaznaczamy je na osi liczbowej.

Jak zaznaczyć zbiór na osi liczbowej

Rysunek takiego zbioru ma zawsze dwa elementy:

Kropkę w punkcie granicznym — tam, gdzie stoi liczba z warunku.
Strzałkę (promień) wychodzącą z tej kropki — w stronę liczb, które warunek spełniają.

Kropka pełna czy pusta

Symbol	Czy granica należy do zbioru?	Kropka
$\ge$ , $\le$	TAK — granica spełnia warunek (równość dozwolona)	wypełniona (pełna)
$>$ , $<$	NIE — granica NIE spełnia warunku	pusta (otwarta, „kółko”)

W którą stronę rysować strzałkę

Symbol	Kierunek strzałki
$>$ , $\ge$ — „większe od”	w prawo (w stronę większych liczb)
$<$ , $\le$ — „mniejsze od”	w lewo (w stronę mniejszych liczb)

Granica w postaci ułamka lub liczby dziesiętnej

Liczba graniczna nie musi być całkowita. Jeśli to ułamek lub liczba dziesiętna (np. $1{,}5$ , $-\tfrac{4}{7}$ ), najpierw znajdź dwie sąsiednie kreski osi, między którymi leży, a potem podziel ten odcinek na równe części, żeby trafić w punkt. Na przykład $1{,}5$ leży dokładnie w połowie między $1$ a $2$ ; $-\tfrac{4}{7}$ leży między $-1$ a $0$ — bliżej $-1$ (cztery siódme drogi od zera do $-1$ ).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Kropka pełna czy pusta — odczyt ze znaku

Technika: czytasz znak nierówności i decydujesz, czy granica należy do zbioru. Jeśli pod kreską jest pozioma kreseczka (≥ albo ≤), granica należy — rysujemy kropkę WYPEŁNIONĄ. Jeśli pod znakiem kreski nie ma (> albo <), granica NIE należy — rysujemy kropkę PUSTĄ (kółko). Innymi słowy: kreseczka pod znakiem = „równe też pasuje” = pełna kropka.

Zadanie Jaką kropkę narysujesz w punkcie 3, zaznaczając zbiór x ≤ 3?

Znak ≤ ma kreseczkę — równość dopuszczona: 3 też należy do zbioru.
Granica należy do zbioru → kropka PEŁNA.
Przy znaku < (bez kreseczki) kropka byłaby pusta, bo 3 nie należałoby do zbioru.

Odpowiedź: Kropkę pełną — znak ≤ dopuszcza równość, 3 należy do zbioru.

Przykład 2 Kierunek strzałki ze znaku nierówności

Technika: czytasz, czy w warunku jest „większe” czy „mniejsze”. x > a i x ≥ a oznaczają „x jest większe (lub równe) niż a” — bierzemy liczby NA PRAWO od a, więc strzałka idzie w prawo (w stronę większych liczb). x < a i x ≤ a oznaczają „x jest mniejsze (lub równe) niż a” — bierzemy liczby NA LEWO od a, więc strzałka idzie w lewo. Pamiętaj: strzałkę rysujemy zawsze w stronę liczb, które spełniają warunek.

Zadanie W którą stronę poprowadzisz strzałkę, zaznaczając zbiór x > -2?

Znak > : x jest WIĘKSZE od −2.
Liczby większe od −2 (−1, 0, 1, …) leżą na osi na PRAWO od −2.
Strzałka w prawo od −2 (kropka pusta, bo > nie dopuszcza równości).

Odpowiedź: W prawo — w stronę liczb większych od −2.

Przykład 3 Zbiór na osi, gdy granica jest liczbą całkowitą

Technika: składasz kropkę i strzałkę w całe zaznaczenie. Krok 1: znajdź na osi liczbę graniczną a (kreskę z podpisem a). Krok 2: postaw na niej kropkę — wypełnioną dla ≥/≤, pustą dla >/<. Krok 3: narysuj strzałkę z tej kropki — w prawo dla >/≥, w lewo dla </≤. Jeden rysunek pokazuje cały (nieskończony) zbiór liczb spełniających warunek.

Zadanie Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek x ≥ -1.

Granica: −1. Znak ≥ ma kreseczkę → kropka PEŁNA.
≥ to „większe lub równe” → strzałka w PRAWO.
Rysuję: pełna kropka w −1 i promień w prawo.

Odpowiedź: Kropka wypełniona w punkcie -1, strzałka w prawo.

Przykład 4 Zbiór na osi, gdy granica jest ułamkiem

Technika: gdy granica a nie wypada na kresce osi, najpierw znajdź dwie sąsiednie liczby całkowite, między którymi a leży, a dopiero potem podziel odcinek między nimi na równe części, żeby trafić w punkt. Dla liczb dziesiętnych: 1,5 to połowa drogi między 1 a 2; 2,25 to jedna czwarta drogi od 2 do 3. Dla ułamków zwykłych a/b: między dwiema sąsiednimi liczbami całkowitymi podziel odcinek na b równych części; ujemny ułamek (np. -4/7) leży po lewej stronie zera — między -1 a 0, w odległości 4 z 7 części od zera w stronę -1. Po zlokalizowaniu punktu reszta procedury jest identyczna jak przy granicy całkowitej (KP3).

Zadanie Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek x < -4/7.

−4/7 leży między −1 a 0: dzielę odcinek od 0 do −1 na 7 części, to 4. kreska od 0 w lewo.
Znak < bez kreseczki → kropka PUSTA.
< → strzałka w LEWO. Rysuję: pusta kropka w −4/7 i promień w lewo.

Odpowiedź: Kropka pusta w punkcie -4/7 (między -1 a 0, cztery siódme drogi od 0 do -1), strzałka w lewo.

Najczęstsze błędy

Pełna kropka przy znaku $>$ lub $<$ . Granica należy do zbioru tylko przy $\ge$ i $\le$ — przy $>$ i $<$ rysujemy kropkę pustą (kółko).
Strzałka w lewo przy $x > a$ albo w prawo przy $x < a$ . Strzałkę rysujemy w stronę liczb spełniających warunek: przy $x > a$ i $x \ge a$ w prawo (większe liczby), przy $x < a$ i $x \le a$ w lewo (mniejsze liczby).

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Jaką kropkę narysujesz w punkcie -4, zaznaczając zbiór x > -4?

Zadanie 2

W którą stronę poprowadzisz strzałkę, zaznaczając zbiór x ≤ 5?

Zadanie 3

Jak wygląda zaznaczenie zbioru x < 2 na osi liczbowej?

Zadanie 4

Gdzie na osi liczbowej leży punkt 1,5, w którym należy postawić kropkę zaznaczając zbiór x ≥ 1,5?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Zbiory liczbowe na osi liczbowej, przedziały Pi-stacja

EGZAMIN ÓSMOKLASISTY 2019: Zaznaczanie nierówności na osi liczbowej MatFiz24.pl

Nierówności na osi liczbowej matBelferka

Najczęstsze pytania

Jak zaznaczyć zbiór liczb na osi liczbowej?

Postaw kropkę w liczbie z warunku i poprowadź z niej strzałkę. Przy $\ge$ i $\le$ kropka jest pełna, przy $>$ i $<$ pusta; strzałka idzie w prawo dla „większe”, w lewo dla „mniejsze”.

Kiedy kropka jest pełna, a kiedy pusta?

Pełna, gdy granica należy do zbioru — przy znakach $\ge$ i $\le$ (równość dozwolona). Pusta, czyli kółko, gdy granica nie należy — przy znakach $>$ i $<$ .

W którą stronę rysować strzałkę?

W stronę liczb, które spełniają warunek: przy $x > a$ i $x \ge a$ w prawo (większe liczby), przy $x < a$ i $x \le a$ w lewo (mniejsze liczby).

Jak zaznaczyć na osi liczbę, która nie jest całkowita?

Znajdź dwie sąsiednie liczby całkowite, między którymi leży, i podziel odcinek między nimi na równe części. Np. $1{,}5$ leży w połowie między $1$ a $2$ , a $-\tfrac{4}{7}$ — między $-1$ a $0$ , cztery siódme drogi od zera w stronę $-1$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Punkty kratowe na prostej Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Rysowanie punktów kratowych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Środek odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Współrzędne punktów kratowych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Cechy przystawania trójkątów Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Długość okręgu Długość okręgu i pole koła Dowody geometryczne Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę