Przejdź do treści
Poznaj Compass

Nierówność trójkąta — kiedy z trzech odcinków powstanie trójkąt

Z trzech odcinków powstanie trójkąt, gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego. Dla dowolnych punktów AA, BB, CC zachodzi AB+BC≥ACAB + BC \geq AC, a przy znanych bokach aa i bb trzeci bok cc spełnia ∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b.

Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie · egzamin ósmoklasisty Klasa 5 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Nierówność trójkąta AA, BB, CC — dowolne trzy punkty
AB+BC≥ACAB + BC \geq AC
Zakres trzeciego boku aa, bb — dwa znane boki, cc — trzeci bok
∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

Co to jest nierówność trójkąta

Nierówność trójkąta mówi o tym, jak długości boków trójkąta są ze sobą związane. Dla dowolnych trzech punktów AA, BB, CC zachodzi:

AB+BC≥ACAB + BC \geq AC

co czytamy: „droga z AA do CC przez BB jest co najmniej tak długa, jak droga prosto z AA do CC". Innymi słowy — najkrótsza droga między dwoma punktami to odcinek.

Kiedy zachodzi równość — punkty na jednej prostej

Kiedy zachodzi równość? Znak równości AB+BC=ACAB + BC = AC pojawia się dokładnie wtedy, gdy punkt BB leży na odcinku ACAC — czyli trzy punkty są współliniowe. Wtedy „trójkąt" jest zdegenerowany: jego trzy wierzchołki leżą na jednej prostej, a „trójkąt" sprowadza się do odcinka.

Kiedy z trzech odcinków można zbudować trójkąt

Kiedy mamy prawdziwy trójkąt? Gdy nierówność jest ostra: AB+BC>ACAB + BC > AC (i analogicznie dla każdej innej pary boków). W praktyce, gdy mamy trzy długości aa, bb, cc, wystarczy sprawdzić jedną prostą rzecz:

Suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

Jeśli ta zależność nie jest spełniona, z takich odcinków nie da się zbudować trójkąta — krótsze boki „nie dosięgną" siebie nawzajem.

Jaką długość może mieć trzeci bok

Zakres długości trzeciego boku. Jeśli znamy dwa boki aa i bb, to trzeci bok cc musi spełniać:

∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b

Górne ograniczenie pochodzi z nierówności trójkąta, dolne — z tej samej nierówności zapisanej dla innej pary boków.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Czy z trzech odcinków da się zbudować trójkąt

Technika: porównaj sumę dwóch krótszych boków z najdłuższym bokiem. Trójkąt można zbudować wtedy i tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych boków jest WIĘKSZA od najdłuższego boku (nierówność ostra). Jeżeli suma jest równa najdłuższemu — punkty leżą na jednej prostej (trójkąt zdegenerowany), a jeśli mniejsza — odcinki w ogóle się „nie spotkają". Krok po kroku: (1) uporządkuj długości od najmniejszej do największej, (2) dodaj dwa krótsze, (3) porównaj z najdłuższym.

Zadanie Czy z odcinków o długościach 4 cm, 6 cm i 11 cm da się zbudować trójkąt?

  1. Najdłuższy odcinek: 11 cm. Dwa krótsze: 4 cm i 6 cm.
  2. Suma krótszych: 4 + 6 = 10.
  3. 10 < 11 — krótsze boki nie sięgną do siebie nad najdłuższym. Trójkąta nie ma.

Odpowiedź: Nie — 4 + 6 = 10 < 11.

Przykład 2 Suma równa najdłuższemu bokowi — trójkąt zdegenerowany

Technika: rozpoznać, że w nierówności trójkąta AB + BC ≥ AC równość AB + BC = AC zachodzi dokładnie wtedy, gdy punkt B leży na odcinku AC (czyli A, B, C są współliniowe). Trójkąt jest wtedy zdegenerowany — jego „wierzchołki" leżą na jednej prostej i nie tworzą prawdziwego trójkąta. W praktyce: gdy dla trzech długości zachodzi „suma dwóch krótszych = najdłuższy", to nie powstaje trójkąt, tylko odcinek.

Zadanie Odcinki mają długości 3 cm, 5 cm i 8 cm. Co powstanie, gdy spróbujesz zbudować z nich trójkąt?

  1. 3 + 5 = 8 — suma krótszych jest RÓWNA najdłuższemu.
  2. Łuki cyrkla tylko stykają się w jednym punkcie leżącym na odcinku 8 cm.
  3. Trzy punkty leżą na jednej prostej — trójkąt się „spłaszcza”, nie powstaje.

Odpowiedź: Punkty współliniowe — trójkąta nie ma (równość w nierówności trójkąta).

Przykład 3 Zakres długości trzeciego boku

Technika: gdy znamy długości dwóch boków trójkąta a i b, długość trzeciego boku c jest ograniczona z obu stron: |a − b| < c < a + b. Górne ograniczenie wynika wprost z nierówności trójkąta (c < a + b). Dolne — z tej samej nierówności zapisanej dla innej pary boków: a < b + c, więc c > a − b; analogicznie c > b − a; razem c > |a − b|. Nierówności są ostre — w przeciwnym razie trójkąt jest zdegenerowany.

Zadanie Dwa boki trójkąta mają 4 cm i 9 cm. W jakim przedziale mieści się długość x trzeciego boku?

  1. x musi być mniejsze od sumy: x < 4 + 9 = 13.
  2. x musi być większe od różnicy: x > 9 − 4 = 5.
  3. 5 < x < 13. Pasują np. 6, 8, 12; nie pasują 5 ani 13 (trójkąt się spłaszcza).

Odpowiedź: 5 cm < x < 13 cm.

Przykład 4 Najkrótsza droga między punktami — zadanie tekstowe

?30 km18 kmABC
BC ≥ 30 − 18 = 12 km; równość tylko, gdy A, B, C leżą na jednej prostej

Technika: nierówność trójkąta interpretujemy geometrycznie — droga między dwoma punktami przez trzeci punkt nigdy nie jest krótsza niż prosto. W zadaniach tekstowych z trzema punktami (miastami, słupkami, wierzchołkami) zapisujemy nierówność dla odpowiednich odcinków i wyciągamy wniosek o możliwych odległościach lub o tym, że trzy punkty muszą leżeć na jednej prostej.

Zadanie Z miasta A do miasta C można dojechać bezpośrednio drogą długości 30 km. Alternatywnie można jechać przez miasto B: najpierw 18 km z A do B, potem z B do C. Ile co najmniej kilometrów ma odcinek BC? Czy może wynosić dokładnie 12 km?

  1. Dane: AB = 18 km, AC = 30 km. Szukam ograniczeń na BC.
  2. Z nierówności trójkąta dla wierzchołka A: AB + BC ≥ AC, więc 18 + BC ≥ 30, czyli BC ≥ 12.
  3. Sprawdzam, kiedy zachodzi równość BC = 12. Wtedy AB + BC = AC = 30, czyli punkty A, B, C są współliniowe — B leży na odcinku AC.
  4. W realnej sytuacji „trzech różnych miast” zakładamy, że nie leżą one na jednej prostej (inaczej droga przez B byłaby tą samą drogą, co prosto z A do C). Stąd nierówność musi być ostra: BC > 12.
  5. Odpowiedź: BC > 12 km. Wartość dokładnie 12 km oznaczałaby, że A, B i C leżą na jednej prostej — droga „przez B” pokrywa się wtedy z drogą bezpośrednią.

Odpowiedź: BC > 12 km. Wartość BC = 12 km jest niemożliwa dla prawdziwego trójkąta — wtedy A, B, C leżałyby na jednej prostej (droga przez B pokrywałaby się z drogą bezpośrednią).

Najczęstsze błędy

  • Uznanie, że trójkąt powstanie, gdy suma dwóch krótszych boków równa się najdłuższemu. Przy 2+4=62 + 4 = 6 punkty leżą na jednej prostej — potrzebna jest suma większa.
  • Sprawdzenie dowolnej pary boków zamiast dwóch krótszych. Dla 3, 4 i 9 cm 3+9>43 + 9 > 4, ale 3+4=7<93 + 4 = 7 < 9, więc trójkąta nie ma.
  • Wliczanie granic do zakresu trzeciego boku. Nierówności są ostre: dla boków 3 cm i 8 cm trzeci bok spełnia 5<c<115 < c < 11, więc nie może mieć ani 5, ani 11 cm.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Z których odcinków NIE da się zbudować trójkąta?

Zadanie 2

Dla jakiego układu punktów A, B, C w nierówności trójkąta AB + BC ≥ AC zachodzi RÓWNOŚĆ?

Zadanie 3

Dwa boki trójkąta mają długości 4 cm i 9 cm. W jakim przedziale mieści się długość x trzeciego boku?

Zadanie 4

Z miasta A do miasta C jest 25 km w linii prostej. Z A do miasta B (leżącego poza prostą AC) jest 10 km. Jaką wartość może mieć odległość BC?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Nierówność trójkąta — wprowadzenie Pi-stacja
Nierówność trójkąta PPEInterklasa
Podział trójkątów, nierówność trójkąta cz. 1 Lernado

Najczęstsze pytania

Co to jest nierówność trójkąta?

To zależność między odległościami: dla dowolnych punktów AA, BB, CC zachodzi AB+BC≥ACAB + BC \geq AC. Droga z A do C przez B nie jest krótsza niż prosto z A do C — najkrótsza droga między dwoma punktami to odcinek.

Jak sprawdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt?

Dodajemy dwa krótsze odcinki i porównujemy z najdłuższym. Trójkąt powstanie tylko wtedy, gdy suma jest większa, np. dla 5, 7 i 10 cm: 5+7=12>105 + 7 = 12 > 10.

Jaką długość może mieć trzeci bok trójkąta?

Większą od różnicy i mniejszą od sumy dwóch znanych boków: ∣a−b∣<c<a+b|a - b| < c < a + b. Dla boków 6 cm i 10 cm trzeci bok ma więcej niż 4 cm i mniej niż 16 cm.

Kiedy w nierówności trójkąta zachodzi równość?

Gdy punkt B leży na odcinku AC, czyli trzy punkty są współliniowe. Wtedy trójkąt jest zdegenerowany — sprowadza się do odcinka.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Kąty wierzchołkowe Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Obliczenia w trójkątach Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Położenie prostych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Cechy przystawania trójkątów Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Dowody geometryczne Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty przy prostych równoległych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Twierdzenie Pitagorasa Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Jednostki masy Obliczenia praktyczne

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę