Nierówność trójkąta — wytłumaczenie, wzór i zadania

Nierówność trójkąta mówi o tym, jak długości boków trójkąta są ze sobą związane. Dla dowolnych trzech punktów $A$, $B$, $C$ zachodzi:

$AB + BC \geq AC$

co czytamy: „droga z $A$ do $C$ przez $B$ jest co najmniej tak długa, jak droga prosto z $A$ do $C$". Innymi słowy — najkrótsza droga między dwoma punktami to odcinek.

Kiedy zachodzi równość? Znak równości $AB + BC = AC$ pojawia się dokładnie wtedy, gdy punkt $B$ leży na odcinku $AC$ — czyli trzy punkty są współliniowe. Wtedy „trójkąt" jest zdegenerowany: jego trzy wierzchołki leżą na jednej prostej, a „trójkąt" sprowadza się do odcinka.

Kiedy mamy prawdziwy trójkąt? Gdy nierówność jest ostra: $AB + BC > AC$ (i analogicznie dla każdej innej pary boków). W praktyce, gdy mamy trzy długości $a$, $b$, $c$, wystarczy sprawdzić jedną prostą rzecz:

Suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

Jeśli ta zależność nie jest spełniona, z takich odcinków nie da się zbudować trójkąta — krótsze boki „nie dosięgną" siebie nawzajem.

Zakres długości trzeciego boku. Jeśli znamy dwa boki $a$ i $b$, to trzeci bok $c$ musi spełniać:

$|a - b| < c < a + b$

Górne ograniczenie pochodzi z nierówności trójkąta, dolne — z tej samej nierówności zapisanej dla innej pary boków.