Mnożenie dwumianów — jak pomnożyć nawias przez nawias

Q: Ile iloczynów powstaje przy mnożeniu dwumianów?

Cztery: (a + b)(c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d. Wyrazy podobne wśród nich łączymy w jeden.

Q: Co się dzieje przy mnożeniu (a + b)(a − b)?

Dwa środkowe iloczyny są przeciwne i się znoszą. Np. (x + 5)(x - 5) = x² - 5x + 5x - 25 = x² - 25.

Dwumian mnożymy przez dwumian, mnożąc każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego: $(a + b)(c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$ . Potem redukujemy wyrazy podobne.

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich · egzamin ósmoklasisty Klasa 8 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Mnożenie dwumianów $a$ , $b$ — wyrazy pierwszego nawiasu, $c$ , $d$ — wyrazy drugiego nawiasu: $(a + b)(c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

Jak pomnożyć dwumian przez dwumian

Żeby pomnożyć dwumian przez dwumian, stosujemy własność rozdzielności dwa razy — każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego:

$(a + b)(c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$

Redukcja wyrazów podobnych po mnożeniu

Otrzymujemy cztery iloczyny. Wyrazy podobne (zawierające tę samą potęgę zmiennej) redukujemy, tak jak przy dodawaniu sum algebraicznych.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Mnożenie dwóch nawiasów z dodawaniem

Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego. Otrzymujemy cztery iloczyny, które następnie łączymy i redukujemy wyrazy podobne.

Zadanie Wykonaj mnożenie: (x + 3)(x + 2)

Mnożę pierwszy wyraz lewego nawiasu przez oba wyrazy prawego: x · x = x^{do potęgi 2}, x · 2 = 2x.
Mnożę drugi wyraz lewego nawiasu przez oba wyrazy prawego: 3 · x = 3x, 3 · 2 = 6.
Wypisuję wszystkie iloczyny: x^{do potęgi 2} + 2x + 3x + 6.
Redukuję wyrazy podobne: x^{do potęgi 2} + 5x + 6.

Odpowiedź: x^{do potęgi 2} + 5x + 6

Przykład 2 Mnożenie dwumianów z wyrazem ujemnym

Gdy któryś wyraz nawiasu ma ujemny współczynnik, pamiętamy o znakach: minus · plus = minus, minus · minus = plus.

Zadanie Wykonaj mnożenie: (2x − 3)(x + 4)

Mnożę 2x przez oba wyrazy prawego nawiasu: 2x · x = 2x^{do potęgi 2}, 2x · 4 = 8x.
Mnożę −3 przez oba wyrazy prawego nawiasu: (−3) · x = −3x, (−3) · 4 = −12.
Wypisuję wszystkie iloczyny: 2x^{do potęgi 2} + 8x − 3x − 12.
Redukuję wyrazy podobne: 2x^{do potęgi 2} + 5x − 12.

Odpowiedź: 2x^{do potęgi 2} + 5x − 12

Przykład 3 Mnożenie (a + b)(a − b) — wyrazy środkowe się znoszą

Zdarza się, że dwa z czterech iloczynów są sobie przeciwne i przy redukcji znoszą się. Taka sytuacja pojawia się m.in. przy mnożeniu (a + b)(a − b).

Zadanie Wykonaj mnożenie: (x + 5)(x − 5)

Mnożę x przez oba wyrazy prawego nawiasu: x · x = x^{do potęgi 2}, x · (−5) = −5x.
Mnożę 5 przez oba wyrazy prawego nawiasu: 5 · x = 5x, 5 · (−5) = −25.
Wypisuję wszystkie iloczyny: x^{do potęgi 2} − 5x + 5x − 25.
Wyrazy −5x i +5x znoszą się: x^{do potęgi 2} − 25.

Odpowiedź: x^{do potęgi 2} − 25

Najczęstsze błędy

Pomnożenie tylko pierwszych i ostatnich wyrazów: $(x + 3)(x + 2)$ to nie $x^2 + 6$ . Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego — wychodzą cztery iloczyny.
Błąd znaku przy wyrazie ujemnym: $(-3) \cdot 4 = -12$ , bo minus razy plus daje minus.
Brak redukcji na końcu: $x^2 + 2x + 3x + 6$ trzeba uprościć do $x^2 + 5x + 6$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Wykonaj mnożenie: (x + 1)(x + 4)

Zadanie 2

Wykonaj mnożenie: (x − 2)(x + 7)

Zadanie 3

Wykonaj mnożenie: (x + 6)(x − 6)

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Mnożenie dwumianów Pi-stacja

Mnożenie dwumianów KAWAŁ WIEDZY

Najczęstsze pytania

Jak pomnożyć nawias przez nawias?

Każdy wyraz pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, a potem redukujemy wyrazy podobne: $(x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$ .

Ile iloczynów powstaje przy mnożeniu dwumianów?

Cztery: $(a + b)(c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$ . Wyrazy podobne wśród nich łączymy w jeden.

Jak mnożyć nawiasy z minusem?

Pilnujemy znaków: minus razy plus daje minus, minus razy minus daje plus. Np. $(2x - 3)(x + 4) = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12$ .

Co się dzieje przy mnożeniu (a + b)(a − b)?

Dwa środkowe iloczyny są przeciwne i się znoszą. Np. $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5x + 5x - 25 = x^2 - 25$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Mnożenie sumy przez jednomian Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Porządkowanie jednomianów Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Cechy przystawania trójkątów Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Długość okręgu Długość okręgu i pole koła Dowody geometryczne Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty przy prostych równoległych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Objętość i pole ostrosłupa Geometria przestrzenna

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę