Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian — krok po kroku

Q: Co to jest rozdzielność mnożenia względem dodawania?

Własność a · (b + c + d) = a · b + a · c + a · d: mnożenie przez sumę zastępujemy sumą iloczynów. Na niej opiera się mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną.

Q: Jak mnożyć potęgi zmiennej przy mnożeniu jednomianów?

Wykładniki potęg o tej samej podstawie dodajemy: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ. Dlatego 3x · 2x = 6x², a 2x · 3x² = 6x³.

Jednomian mnożymy przez sumę algebraiczną, mnożąc go przez każdy wyraz sumy: $a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$ . Na przykład $3x \cdot (2x - 5) = 6x^2 - 15x$ .

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Rozdzielność mnożenia względem dodawania $a$ — jednomian, $b$ , $c$ , $d$ — wyrazy sumy algebraicznej: $a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$

Jak pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną

Żeby pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną, stosujemy własność rozdzielności mnożenia względem dodawania:

$a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$

Znaki przy mnożeniu i redukcja wyrazów

Każdy wyraz sumy mnożymy przez ten jednomian. Gdy jednomian jest ujemny, pamiętamy, że minus razy minus daje plus.

Po wykonaniu mnożeń często otrzymujemy kilka wyrażeń algebraicznych — redukujemy wtedy wyrazy podobne, tak jak przy dodawaniu sum algebraicznych.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Mnożenie jednomianu przez sumę dwóch wyrazów

Każdy wyraz sumy algebraicznej mnożymy przez dany jednomian (własność rozdzielności). Pamiętamy, że x^m · x^n = x^(m+n) oraz że iloczyn potęg o tej samej podstawie to suma wykładników.

Zadanie Wykonaj mnożenie: 3x · (2x − 5)

Mnożę każdy wyraz nawiasu przez 3x.
3x · 2x = 6x^{do potęgi 2}.
3x · (−5) = −15x.
Wynik: 6x^{do potęgi 2} − 15x.

Odpowiedź: 6x^{do potęgi 2} − 15x

Przykład 2 Mnożenie sumy o wielu wyrazach przez jednomian

Zasada rozdzielności: mnożąc jednomian przez sumę kilku wyrazów, mnożę go przez KAŻDY wyraz osobno i sumuję wyniki. Im więcej wyrazów w sumie, tym więcej kroków — pilnuję, żeby żaden nie został pominięty. Mechanika ta sama jak dla sumy dwuwyrazowej, tylko więcej składników w wyniku.

Zadanie Wykonaj mnożenie: (3x^{do potęgi 2} − x + 4) · 2x.

Mnożę 2x przez każdy wyraz sumy.
2x · 3x^{do potęgi 2} = 6x^{do potęgi 3}.
2x · (−x) = −2x^{do potęgi 2}.
2x · 4 = 8x.
Sumuję: 6x^{do potęgi 3} − 2x^{do potęgi 2} + 8x.

Odpowiedź: 6x^{do potęgi 3} − 2x^{do potęgi 2} + 8x.

Przykład 3 Mnożenie sumy przez ujemny jednomian

Mnożenie sumy przez UJEMNY jednomian wymaga ostrożności ze znakami: każdy wyraz sumy mnożę przez ten jednomian (z minusem). Reguła znaków: minus razy plus = minus, minus razy minus = plus. Po przemnożeniu często wszystkie znaki w sumie się odwracają — to częsta pułapka, więc sprawdzam każdy wyraz osobno.

Zadanie Wykonaj mnożenie: (2a^{do potęgi 2} − 3a + 1) · (−4a).

Mnożę (−4a) przez każdy wyraz sumy.
(−4a) · 2a^{do potęgi 2} = −8a^{do potęgi 3} (minus × plus = minus).
(−4a) · (−3a) = 12a^{do potęgi 2} (minus × minus = plus).
(−4a) · 1 = −4a (minus × plus = minus).
Sumuję: −8a^{do potęgi 3} + 12a^{do potęgi 2} − 4a.

Odpowiedź: −8a^{do potęgi 3} + 12a^{do potęgi 2} − 4a.

Przykład 4 Suma iloczynów — mnożenie i redukcja wyrazów podobnych

Gdy mamy sumę lub różnicę kilku iloczynów, każdy nawias mnożymy oddzielnie, a następnie łączymy wyniki i redukujemy wyrazy podobne.

Zadanie Oblicz: 2x · (x + 3) + x · (4x − 1)

Mnożę pierwsze wyrażenie: 2x · (x + 3) = 2x^{do potęgi 2} + 6x.
Mnożę drugie wyrażenie: x · (4x − 1) = 4x^{do potęgi 2} − x.
Dodaję wyniki: 2x^{do potęgi 2} + 6x + 4x^{do potęgi 2} − x.
Redukuję wyrazy podobne: (2x^{do potęgi 2} + 4x^{do potęgi 2}) + (6x − x) = 6x^{do potęgi 2} + 5x.

Odpowiedź: 6x^{do potęgi 2} + 5x

Najczęstsze błędy

Pomnożenie jednomianu tylko przez pierwszy wyraz sumy. Mnożymy go przez każdy wyraz: $2x \cdot (3x^2 - x + 4) = 6x^3 - 2x^2 + 8x$ .
Błąd znaku przy ujemnym jednomianie: $(-4a) \cdot (-3a) = 12a^2$ , bo minus razy minus daje plus.
Mnożenie wykładników zamiast ich dodawania. Przy potęgach o tej samej podstawie $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ , więc $2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ .
Brak redukcji na końcu. Po wymnożeniu nawiasów łączymy wyrazy podobne: $2x^2 + 6x + 4x^2 - x = 6x^2 + 5x$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Wykonaj mnożenie: 4a · (3a − 2)

Zadanie 2

Wykonaj mnożenie: (2x^{do potęgi 2} − 3x + 1) · 3x

Zadanie 3

Wykonaj mnożenie: (3x^{do potęgi 2} − 2x + 4) · (−2x)

Zadanie 4

Oblicz: 3x · (x + 2) + x · (2x − 4)

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 9

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrażenie $x(x + 4) - 3(2x - 5)$ można przekształcić równoważnie do postaci

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Wyrażenie x(x + 4) - 3(2x - 5) można przekształcić równoważnie do postaci Egzamin ósmoklasisty 2024 — matematyka · zadanie 9

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną #1 Pi-stacja

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne matBelferka

Najczęstsze pytania

Jak pomnożyć sumę algebraiczną przez jednomian?

Mnożymy jednomian przez każdy wyraz sumy i dodajemy wyniki: $3x \cdot (2x - 5) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot (-5) = 6x^2 - 15x$ .

Jak mnożyć sumę przez ujemny jednomian?

Tak samo, wyraz po wyrazie, pilnując znaków: minus razy plus daje minus, minus razy minus daje plus. Np. $(2a^2 - 3a + 1) \cdot (-4a) = -8a^3 + 12a^2 - 4a$ .

Co to jest rozdzielność mnożenia względem dodawania?

Własność $a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$ : mnożenie przez sumę zastępujemy sumą iloczynów. Na niej opiera się mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną.

Jak mnożyć potęgi zmiennej przy mnożeniu jednomianów?

Wykładniki potęg o tej samej podstawie dodajemy: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ . Dlatego $3x \cdot 2x = 6x^2$ , a $2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Porządkowanie jednomianów Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Mnożenie dwumianów Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych Mnożenie potęg różnych podstaw Potęgi o podstawach wymiernych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę