Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180° — wytłumaczenie, wzór i zadania

Dla kąta $\alpha$ od $0^\circ$ do $180^\circ$ umieszczasz wierzchołek w $O=(0,0)$, jedno ramię na dodatniej półosi $OX$, a na drugim ramieniu bierzesz dowolny punkt $P=(x,y)$ odległy od $O$ o $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Wtedy $\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$, $\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{y}{x}$ (dla $x\neq 0$). Dla kąta ostrego to te same ilorazy co w trójkącie prostokątnym (naprzeciw, przyległa, przeciwprostokątna); dla kąta rozwartego $x<0$, więc cosinus i tangens są ujemne, a sinus zostaje dodatni.

Wartości kątów charakterystycznych:

Dodatkowo $\sin 90^\circ = 1$, $\cos 90^\circ = 0$, $\sin 180^\circ = 0$, $\cos 180^\circ = -1$.

Przykłady:

• $P=(8,6)$: $r=10$, więc $\sin\alpha=\dfrac{6}{10}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\dfrac{3}{5}}}$, $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}$, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{3}{4}$.
• $P=(-3,4)$ (kąt rozwarty): $r=5$, więc $\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$, $\cos\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\dfrac{3}{5}}}$, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{4}{-3}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\dfrac{4}{3}}}$.
• $P=(-1,\sqrt{3})$: $r=2$, ramię tworzy z ujemną półosią $OX$ kąt $60^\circ$, więc $\alpha=120^\circ$ i $\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 120^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\dfrac{1}{2}}}$.
• $\sin 30^\circ\cdot\operatorname{tg}60^\circ+\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}}$.

Na maturze: karta wzorów CKE podaje definicje $\sin\alpha=\frac{y}{r}$, $\cos\alpha=\frac{x}{r}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}$, tabelę wartości dla $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ oraz wzór $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ — nie musisz ich pamiętać, musisz umieć je podstawić. Typowe zadanie za 1 pkt: rysunek z punktem $P$ w drugiej ćwiartce i pytanie o $\operatorname{tg}\alpha$ — licz $\frac{y}{x}$ ze znakiem, nie mieszaj z odległością $r$. Zadanie za 2 pkt: dane $\operatorname{tg}\alpha=-k$ i $90^\circ<\alpha<180^\circ$, a Ty wybierasz prawdziwe zależności: $\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0$ oraz $\sin\alpha=-k\cos\alpha$. Pułapka: dla kąta rozwartego ujemny jest cosinus, nigdy sinus.