Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180° — definicje, tabela i zadania

Q: Jak obliczyć sinus kąta rozwartego?

Weź punkt P=(x,y) na ramieniu kąta, oblicz r=√(x²+y²) i podstaw sin α=y/r. Dla P=(-3,4): r=5, więc sin α=4/5 — sinus kąta rozwartego jest dodatni.

Q: Jakie znaki mają funkcje trygonometryczne kąta rozwartego?

Dla 90° 0, więc sin α>0, cos α<0 i tg α<0.

Q: Ile wynosi sinus, cosinus i tangens 30°, 45° i 60°?

sin 30°=cos 60°=1/2, sin 45°=cos 45°=√2/2, sin 60°=cos 30°=√3/2, a tangensy tych kątów to kolejno √3/3, 1 i √3.

Q: Ile wynosi sin 120° i cos 120°?

sin 120°=√3/2, cos 120°=-1/2. Wynika to z punktu P=(-1,√3) na ramieniu kąta: r=2, więc sin α=√3/2, cos α=(-1)/2.

Q: Ile wynosi sin 90°, cos 90°, sin 180° i cos 180°?

sin 90°=1, cos 90°=0, sin 180°=0, cos 180°=-1.

Dla kąta $\alpha$ od $0^\circ$ do $180^\circ$ i punktu $P=(x,y)$ na jego ramieniu: $\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$ , $\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$ , $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{y}{x}$ , gdzie $r=\sqrt{x^2+y^2}$ . Dla kąta rozwartego cosinus i tangens są ujemne.

Trygonometria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Sinus $y$ — druga współrzędna punktu $P$ na ramieniu kąta, $r$ — odległość $P$ od $O=(0,0)$: $\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$
Cosinus $x$ — pierwsza współrzędna punktu $P$: $\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$
Tangens tylko dla $x\neq 0$: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{y}{x}$
Odległość punktu od początku układu $P=(x,y)$ — dowolny punkt na drugim ramieniu kąta: $r=\sqrt{x^2+y^2}$

Sinus, cosinus i tangens w układzie współrzędnych

Dla kąta $\alpha$ od $0^\circ$ do $180^\circ$ umieszczasz wierzchołek w $O=(0,0)$ , jedno ramię na dodatniej półosi $OX$ , a na drugim ramieniu bierzesz dowolny punkt $P=(x,y)$ odległy od $O$ o $r=\sqrt{x^2+y^2}$ . Wtedy $\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$ , $\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$ , $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{y}{x}$ (dla $x\neq 0$ ). Dla kąta ostrego to te same ilorazy co w trójkącie prostokątnym (naprzeciw, przyległa, przeciwprostokątna); dla kąta rozwartego $x<0$ , więc cosinus i tangens są ujemne, a sinus zostaje dodatni.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla 30°, 45°, 60°

Wartości kątów charakterystycznych:

$\alpha$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\alpha$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\alpha$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\operatorname{tg}\alpha$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Dodatkowo $\sin 90^\circ = 1$ , $\cos 90^\circ = 0$ , $\sin 180^\circ = 0$ , $\cos 180^\circ = -1$ .

Jak obliczyć sinus, cosinus i tangens z punktu na ramieniu

Przykłady:

$P=(8,6)$ : $r=10$ , więc $\sin\alpha=\dfrac{6}{10}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\dfrac{3}{5}}}$ , $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}$ , $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{3}{4}$ .
$P=(-3,4)$ (kąt rozwarty): $r=5$ , więc $\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$ , $\cos\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\dfrac{3}{5}}}$ , $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{4}{-3}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\dfrac{4}{3}}}$ .
$P=(-1,\sqrt{3})$ : $r=2$ , ramię tworzy z ujemną półosią $OX$ kąt $60^\circ$ , więc $\alpha=120^\circ$ i $\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 120^\circ=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\dfrac{1}{2}}}$ .
$\sin 30^\circ\cdot\operatorname{tg}60^\circ+\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}}$ .

Kąt rozwarty na maturze — znaki funkcji

Na maturze: karta wzorów CKE podaje definicje $\sin\alpha=\frac{y}{r}$ , $\cos\alpha=\frac{x}{r}$ , $\operatorname{tg}\alpha=\frac{y}{x}$ , tabelę wartości dla $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ oraz wzór $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ — nie musisz ich pamiętać, musisz umieć je podstawić. Typowe zadanie za 1 pkt: rysunek z punktem $P$ w drugiej ćwiartce i pytanie o $\operatorname{tg}\alpha$ — licz $\frac{y}{x}$ ze znakiem, nie mieszaj z odległością $r$ . Zadanie za 2 pkt: dane $\operatorname{tg}\alpha=-k$ i $90^\circ<\alpha<180^\circ$ , a Ty wybierasz prawdziwe zależności: $\sin\alpha\cdot\cos\alpha<0$ oraz $\sin\alpha=-k\cos\alpha$ . Pułapka: dla kąta rozwartego ujemny jest cosinus, nigdy sinus.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

Trójkąt prostokątny 7, 24, 25; kąt α naprzeciw boku 7

Dobierasz boki względem kąta α i zapisujesz sin, cos, tg jako ilorazy; brakujący bok liczysz z twierdzenia Pitagorasa.

Zadanie W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt prosty jest przy wierzchołku $C$ , $|AC| = 24$ i $|BC| = 7$ . Oblicz $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ , gdzie $\alpha = \angle BAC$ .

Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego, więc to $AB$ ; z twierdzenia Pitagorasa $|AB| = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ .
Kąt $\alpha$ jest przy wierzchołku $A$ , więc bok naprzeciw to $BC = 7$ , a przyprostokątna przyległa to $AC = 24$ — boki dobieram względem kąta, nie „na oko”.
$\sin\alpha = \dfrac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}} = \dfrac{7}{25}$ .
$\cos\alpha = \dfrac{\text{przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \dfrac{24}{25}$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{naprzeciw}}{\text{przyległa}} = \dfrac{7}{24}$ .

Odpowiedź: sin α = 7/25, cos α = 24/25, tg α = 7/24

Przykład 2 Wartość wyrażenia z kątami 30°, 45°, 60°

Podstawiasz wartości sin, cos, tg dla 30°, 45°, 60° z tabeli i wykonujesz działania na ułamkach z pierwiastkami.

Zadanie Oblicz wartość wyrażenia $\operatorname{tg}30^\circ \cdot \operatorname{tg}60^\circ + \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$ .

Wypisuję z tabeli potrzebne wartości, zanim zacznę liczyć: $\operatorname{tg}30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3}$ , $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
Pierwszy iloczyn: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3} = \dfrac{3}{3} = 1$ — pierwiastek razy ten sam pierwiastek daje liczbę pod pierwiastkiem.
Drugi iloczyn: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ .
Dodaję: $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ .

Odpowiedź: 3/2

Przykład 3 Tangens kąta z punktu na ramieniu i równanie prostej

Dla kąta o wierzchołku w (0, 0) i ramieniu na dodatniej półosi OX liczysz tg α = y/x ze współrzędnych punktu na drugim ramieniu; tg α to zarazem współczynnik kierunkowy prostej zawierającej ramię.

Zadanie Kąt ostry $\alpha$ ma wierzchołek w punkcie $O = (0,0)$ , jedno ramię na dodatniej półosi $OX$ , a drugie ramię przechodzi przez punkt $P = (6, 4)$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ i podaj równanie prostej zawierającej to ramię.

Rzut punktu $P$ na oś $OX$ to $P' = (6, 0)$ ; trójkąt $OP'P$ jest prostokątny, a kąt $\alpha$ jest przy $O$ — więc przyprostokątna naprzeciw $\alpha$ ma długość $y = 4$ , a przyległa $x = 6$ .
Z definicji $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ ; odległość $|OP|$ nie jest potrzebna, bo tangens nie używa przeciwprostokątnej.
Prosta przez $O$ i $P$ ma postać $y = ax$ , a jej współczynnik kierunkowy to właśnie $\operatorname{tg}\alpha$ , więc $y = \dfrac{2}{3}x$ .
Sprawdzenie: dla $x = 6$ dostaję $y = \dfrac{2}{3}\cdot 6 = 4$ , czyli punkt $P$ leży na tej prostej.

Odpowiedź: tg α = 2/3, prosta y = (2/3)x

Przykład 4 Sinus i cosinus kąta ostrego z punktu na ramieniu

Liczysz odległość r = $\sqrt{x² + y²}$ punktu od początku układu i podstawiasz sin α = y/r oraz cos α = x/r.

Zadanie Kąt ostry $\alpha$ ma wierzchołek w $O = (0,0)$ , jedno ramię na dodatniej półosi $OX$ , a drugie ramię przechodzi przez punkt $P = (8, 6)$ . Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ .

Sinus i cosinus potrzebują odległości $r = |OP|$ , bo to ona gra rolę przeciwprostokątnej: $r = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ .
Rzędna $y = 6$ to przyprostokątna naprzeciw $\alpha$ , więc $\sin\alpha = \dfrac{y}{r} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ .
Odcięta $x = 8$ to przyprostokątna przyległa, więc $\cos\alpha = \dfrac{x}{r} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$ .
Kontrola: $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{9 + 16}{25} = 1$ — zgadza się.

Odpowiedź: sin α = 3/5, cos α = 4/5

Przykład 5 Sinus, cosinus i tangens kąta rozwartego z punktu w II ćwiartce

Dla punktu P = (x, y) z x < 0 liczysz r i podstawiasz do definicji: sin α = y/r > 0, cos α = x/r < 0, tg α = y/x < 0.

Zadanie Kąt $\alpha$ ma wierzchołek w $O = (0,0)$ , jedno ramię na dodatniej półosi $OX$ , a drugie ramię przechodzi przez punkt $P = (-4, 3)$ . Oblicz $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ .

Punkt $P$ ma $x < 0$ i $y > 0$ , czyli leży w drugiej ćwiartce — kąt $\alpha$ jest rozwarty. Definicje są te same, tylko do wzorów wchodzi ujemna odcięta.
$r = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ — odległość jest zawsze dodatnia, kwadrat gubi znak.
$\sin\alpha = \dfrac{y}{r} = \dfrac{3}{5}$ — dodatni, bo $y > 0$ .
$\cos\alpha = \dfrac{x}{r} = \dfrac{-4}{5} = -\dfrac{4}{5}$ — ujemny, bo $x < 0$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{3}{-4} = -\dfrac{3}{4}$ — ujemny, bo dzielisz dodatnią rzędną przez ujemną odciętą.

Odpowiedź: sin α = 3/5, cos α = −4/5, tg α = −3/4

Przykład 6 Znaki funkcji kąta rozwartego i zależność sin α = tg α · cos α

Dla 90° < α < 180° ustalasz znaki: sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, a z tg α = sin α / cos α wiążesz sin α z cos α.

Zadanie Kąt $\alpha$ spełnia $\operatorname{tg}\alpha = -2$ oraz $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ . Oceń, które zależności są prawdziwe: (1) $\sin\alpha\cdot\cos\alpha > 0$ , (2) $\cos\alpha < 0$ , (3) $\sin\alpha = -2\cos\alpha$ , (4) $\sin\alpha = -\frac{1}{2}\cos\alpha$ .

Kąt rozwarty: punkt na ramieniu leży w drugiej ćwiartce, więc $x < 0$ i $y > 0$ . Stąd $\sin\alpha = \dfrac{y}{r} > 0$ i $\cos\alpha = \dfrac{x}{r} < 0$ — zależność (2) jest prawdziwa.
Iloczyn liczby dodatniej i ujemnej jest ujemny: $\sin\alpha\cdot\cos\alpha < 0$ — zależność (1) jest fałszywa.
Z karty wzorów $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ; mnożę obie strony przez $\cos\alpha$ : $\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha = -2\cos\alpha$ — zależność (3) jest prawdziwa.
Zależność (4) miałaby współczynnik $-\dfrac{1}{2}$ , czyli odwrotność tangensa — to błąd polegający na pomyleniu $\dfrac{\sin}{\cos}$ z $\dfrac{\cos}{\sin}$ ; jest fałszywa. Kontrola na punkcie $P = (-1, 2)$ : $\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$ , $\cos\alpha = -\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ i faktycznie $\dfrac{2}{\sqrt{5}} = -2\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)$ .

Odpowiedź: Prawdziwe: (2) cos α < 0 oraz (3) sin α = −2 cos α

Najczęstsze błędy

Ujemny sinus kąta rozwartego. Dla kąta rozwartego ujemne są cosinus i tangens, a sinus zostaje dodatni.
Liczenie tangensa z odległością $r$ . Tangens to $\frac{y}{x}$ ze znakiem — dla punktu w II ćwiartce wychodzi ujemny.
Odwrócenie ilorazu: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , więc z $\operatorname{tg}\alpha=-2$ wynika $\sin\alpha=-2\cos\alpha$ , a nie $\sin\alpha=-\frac{1}{2}\cos\alpha$ .
Dobieranie boków trójkąta prostokątnego „na oko”. Przyprostokątną leżącą naprzeciw i przyległą ustala się względem kąta $\alpha$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Boki trójkąta prostokątnego mają długości $20$ , $21$ i $29$ . Kąt $\alpha$ leży naprzeciw boku o długości $21$ . Ile wynosi $\cos\alpha$ ?

Zadanie 2

Liczba $\cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ$ jest równa:

Zadanie 3

Prosta o równaniu $y = \frac{3}{4}x + 2$ tworzy z dodatnią półosią $OX$ kąt ostry $\alpha$ . Tangens kąta $\alpha$ jest równy:

Zadanie 4

W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt ostry $\alpha$ o wierzchołku w $O = (0,0)$ . Jedno ramię pokrywa się z dodatnią półosią $OX$ , a drugie przechodzi przez punkt $P = (1, 3)$ . Sinus kąta $\alpha$ jest równy:

Zadanie 5

W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w $O = (0,0)$ . Jedno ramię pokrywa się z dodatnią półosią $OX$ , a drugie przechodzi przez punkt $P = (-2, 1)$ . Sinus kąta $\alpha$ jest równy:

Zadanie 6

Kąt $\alpha$ spełnia $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{4}{3}$ oraz $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ . Wtedy:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 20

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $O = (0, 0)$ . Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$ , a drugie przechodzi przez punkt $P = (-3, 1)$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Sinus, cosinus i tangens kąta rozwartego Pi-stacja Matematyka

Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego — omówienie Lernado

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć sinus kąta rozwartego?

Weź punkt $P=(x,y)$ na ramieniu kąta, oblicz $r=\sqrt{x^2+y^2}$ i podstaw $\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$ . Dla $P=(-3,4)$ : $r=5$ , więc $\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$ — sinus kąta rozwartego jest dodatni.

Jakie znaki mają funkcje trygonometryczne kąta rozwartego?

Dla $90^\circ<\alpha<180^\circ$ punkt na ramieniu ma $x<0$ i $y>0$ , więc $\sin\alpha>0$ , $\cos\alpha<0$ i $\operatorname{tg}\alpha<0$ .

Ile wynosi sinus, cosinus i tangens 30°, 45° i 60°?

$\sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ , $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , a tangensy tych kątów to kolejno $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $1$ i $\sqrt{3}$ .

Ile wynosi sin 120° i cos 120°?

$\sin 120^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}$ . Wynika to z punktu $P=(-1,\sqrt{3})$ na ramieniu kąta: $r=2$ , więc $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos\alpha=\dfrac{-1}{2}$ .

Ile wynosi sin 90°, cos 90°, sin 180° i cos 180°?

$\sin 90^\circ=1$ , $\cos 90^\circ=0$ , $\sin 180^\circ=0$ , $\cos 180^\circ=-1$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Jedynka trygonometryczna i tożsamości Trygonometria Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych Trygonometria Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta z sinusem Trygonometria Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę