Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta z sinusem — wytłumaczenie, wzór i zadania

Dla dowolnego trójkąta o bokach $a$, $b$ i kącie $\gamma$ między nimi działają dwa wzory z karty CKE: pole $P=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ oraz twierdzenie cosinusów $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$, gdzie $c$ to bok leżący naprzeciw kąta $\gamma$.

• Pole: $a=6$, $b=4$, $\gamma=150^\circ$: $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}$, więc $P=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\tfrac{1}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$.
• Dany cosinus zamiast kąta: $\cos\gamma=\tfrac{3}{5}$, boki $5$ i $5$ — z jedynki trygonometrycznej $\sin\gamma=\tfrac{4}{5}$ i dopiero teraz $P=\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot\tfrac{4}{5}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{10}}$.
• Bok: $a=2$, $b=3$, $\gamma=120^\circ$: $c^2=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=13+6=19$, więc $c=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt{19}}}$ — minus razy minus daje plus.
• Kąt z trzech boków $4$, $5$, $6$ (największy, naprzeciw $6$): $\cos\gamma=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{1}{8}}}$; cosinus dodatni, więc trójkąt jest ostrokątny.

Na maturze: oba wzory są na karcie wzorów, ale bez podpisu, który kąt to $\gamma$ — zawsze kąt między bokami $a$ i $b$ (pole) albo naprzeciw boku $c$ (twierdzenie cosinusów). Zadanie za 1 pkt brzmi „w trójkącie $ABC$ dane są $|AB|$, $|AC|$ i kąt $BAC$ (albo jego cosinus); pole / długość $BC$ jest równa”, a odpowiedzi to zwykle pierwiastki — nie zaokrąglaj, zostaw $\sqrt{40}$ lub $2\sqrt{10}$. Pułapka nr 1: kąt rozwarty — sinus zostaje dodatni, cosinus zmienia znak. Pułapka nr 2: dany cosinus, a we wzorze na pole potrzebny sinus — najpierw jedynka trygonometryczna $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$.