Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta z sinusem — przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na pole trójkąta z sinusem?

P=1/2 ab sin γ, gdzie γ to kąt między bokami a i b. Dla a=6, b=4, γ=150°: sin 150°=1/2, więc P=1/2· 6· 4·1/2=6.

Q: Jak brzmi twierdzenie cosinusów?

W każdym trójkącie c²=a²+b²-2ab cos γ, gdzie c to bok naprzeciw kąta γ, a a i b — pozostałe boki. Dla a=2, b=3, γ=120°: c²=4+9+6=19, czyli c=√19.

Q: Jak obliczyć kąt trójkąta z trzech boków?

Z twierdzenia cosinusów: cos γ=(a²+b²-c²)/(2ab), gdzie c leży naprzeciw szukanego kąta. Dla boków 5, 7, 8 i kąta naprzeciw 7: cos γ=(25+64-49)/80=1/2, więc γ=60°.

Q: Jak obliczyć pole trójkąta, gdy dany jest cosinus kąta?

Najpierw sinus z jedynki trygonometrycznej (w trójkącie zawsze dodatni), potem wzór na pole. Przy cos γ=3/5 i bokach 5 i 5: sin γ=4/5, więc P=1/2· 5· 5·4/5=10.

Q: Czy te wzory są na karcie wzorów CKE?

Tak, oba są na karcie, ale bez podpisu, który kąt to γ: we wzorze na pole to kąt między bokami a i b, w twierdzeniu cosinusów — kąt naprzeciw boku c.

Dla dowolnego trójkąta o bokach $a$ , $b$ i kącie $\gamma$ między nimi: pole $P=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ , a twierdzenie cosinusów to $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ , gdzie $c$ leży naprzeciw kąta $\gamma$ .

Trygonometria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Pole trójkąta z sinusem $a$ , $b$ — dwa boki, $\gamma$ — kąt między nimi: $P=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$
Twierdzenie cosinusów $c$ — bok leżący naprzeciw kąta $\gamma$: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
Jedynka trygonometryczna (sinus z cosinusa): $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$

Wzór na pole trójkąta z sinusem i twierdzenie cosinusów

Dla dowolnego trójkąta o bokach $a$ , $b$ i kącie $\gamma$ między nimi działają dwa wzory z karty CKE: pole $P=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ oraz twierdzenie cosinusów $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ , gdzie $c$ to bok leżący naprzeciw kąta $\gamma$ .

Pole: $a=6$ , $b=4$ , $\gamma=150^\circ$ : $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}$ , więc $P=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\tfrac{1}{2}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6}}$ .
Dany cosinus zamiast kąta: $\cos\gamma=\tfrac{3}{5}$ , boki $5$ i $5$ — z jedynki trygonometrycznej $\sin\gamma=\tfrac{4}{5}$ i dopiero teraz $P=\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot\tfrac{4}{5}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{10}}$ .
Bok: $a=2$ , $b=3$ , $\gamma=120^\circ$ : $c^2=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=13+6=19$ , więc $c=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt{19}}}$ — minus razy minus daje plus.
Kąt z trzech boków $4$ , $5$ , $6$ (największy, naprzeciw $6$ ): $\cos\gamma=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{5}{40}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{1}{8}}}$ ; cosinus dodatni, więc trójkąt jest ostrokątny.

Kąt rozwarty i dany cosinus — pułapki na maturze

Na maturze: oba wzory są na karcie wzorów, ale bez podpisu, który kąt to $\gamma$ — zawsze kąt między bokami $a$ i $b$ (pole) albo naprzeciw boku $c$ (twierdzenie cosinusów). Zadanie za 1 pkt brzmi „w trójkącie $ABC$ dane są $|AB|$ , $|AC|$ i kąt $BAC$ (albo jego cosinus); pole / długość $BC$ jest równa”, a odpowiedzi to zwykle pierwiastki — nie zaokrąglaj, zostaw $\sqrt{40}$ lub $2\sqrt{10}$ . Pułapka nr 1: kąt rozwarty — sinus zostaje dodatni, cosinus zmienia znak. Pułapka nr 2: dany cosinus, a we wzorze na pole potrzebny sinus — najpierw jedynka trygonometryczna $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi

|AB| = 8, |BC| = 5, kąt ABC = 120°; pole = ?

Liczysz pole z P = ½·a·b·sin γ, gdzie γ to kąt między bokami a i b; dla kąta rozwartego bierzesz sin(180° − γ).

Zadanie W trójkącie $ABC$ dane są $|AB| = 8$ , $|BC| = 5$ oraz $|\measuredangle ABC| = 120^\circ$ . Oblicz pole tego trójkąta.

Kąt $120^\circ$ leży między bokami $AB$ i $BC$ , więc pasuje wzór $P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|BC|\cdot\sin(\measuredangle ABC)$ — nie trzeba szukać wysokości.
Sinus kąta rozwartego liczę przez kąt dopełniający: $\sin 120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (sinus w trójkącie jest zawsze dodatni).
Podstawiam: $P=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $P = 10\sqrt{3}$

Przykład 2 Pole trójkąta, gdy dany jest cosinus kąta

|AB| = 5, |AC| = 8, cos α = −3/5; pole = ?

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczasz sin γ z podanego cos γ (sinus w trójkącie jest zawsze dodatni) i dopiero wtedy liczysz pole ½·a·b·sin γ; odwrotnie — z pola odczytujesz sinus i kąt.

Zadanie W trójkącie $ABC$ dane są $|AB| = 5$ , $|AC| = 8$ oraz $\cos|\measuredangle BAC| = -\frac{3}{5}$ . Oblicz pole trójkąta $ABC$ .

Wzór na pole wymaga sinusa kąta między bokami, a dany jest cosinus — potrzebuję jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ .
$\sin^2\alpha=1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ , więc $\sin\alpha=\frac{4}{5}$ — biorę pierwiastek dodatni, bo sinus kąta trójkąta jest zawsze dodatni, choć cosinus był ujemny (kąt rozwarty).
Boki $AB$ i $AC$ obejmują kąt $BAC$ : $P=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\frac{4}{5}=20\cdot\frac{4}{5}=16$ .

Odpowiedź: $P = 16$

Przykład 3 Bok trójkąta z twierdzenia cosinusów

|AB| = 5, |AC| = 3, kąt BAC = 120°; |BC| = ?

Wyznaczasz bok naprzeciw znanego kąta z c^{do potęgi 2} = a^{do potęgi 2} + b^{do potęgi 2} − 2ab·cos γ, także gdy cosinus jest podany liczbą lub kąt jest rozwarty (cosinus ujemny — poprawka się dodaje).

Zadanie Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = 5$ , $|AC| = 3$ oraz $|\measuredangle BAC| = 120^\circ$ . Oblicz długość boku $BC$ .

Szukany bok $BC$ leży naprzeciw znanego kąta $BAC$ , więc to on jest „ $c$ ” w twierdzeniu cosinusów: $|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\cos 120^\circ$ .
Kąt rozwarty ma ujemny cosinus: $\cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\frac{1}{2}$ .
$|BC|^2=25+9-2\cdot 5\cdot 3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=34+15=49$ — minus razy minus daje plus, więc bok wychodzi dłuższy niż z Pitagorasa.
$|BC|=\sqrt{49}=7$ .

Odpowiedź: $|BC| = 7$

Przykład 4 Cosinus kąta z trzech boków trójkąta

Boki 5, 7, 8; kąt γ leży naprzeciw boku 7; cos γ = ?

Z trzech boków wyznaczasz cosinus wybranego kąta: cos γ = (a^{do potęgi 2} + b^{do potęgi 2} − c^{do potęgi 2})/(2ab), gdzie c leży naprzeciw γ; ze znaku cosinusa odczytujesz, czy kąt jest ostry, czy rozwarty.

Zadanie Boki trójkąta mają długości $5$ , $7$ i $8$ . Oblicz cosinus kąta $\gamma$ leżącego naprzeciw boku długości $7$ i podaj miarę tego kąta.

Kąt $\gamma$ leży naprzeciw boku $7$ , więc w twierdzeniu cosinusów ten bok gra rolę $c$ , a pozostałe ( $5$ i $8$ ) to $a$ i $b$ : $7^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot\cos\gamma$ .
Porządkuję: $49=89-80\cos\gamma$ , czyli $80\cos\gamma=40$ . To samo daje gotowy wzór $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{25+64-49}{80}$ .
$\cos\gamma=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$ — cosinus dodatni, więc kąt jest ostry.
Kąt ostry o cosinusie $\frac{1}{2}$ to $\gamma=60^\circ$ .

Odpowiedź: $\cos\gamma = \frac{1}{2}$ , $\gamma = 60^\circ$

Przykład 5 Przekątna równoległoboku z twierdzenia cosinusów

Trójkąt odcięty dłuższą przekątną: boki 5 i 6, kąt 120° między nimi; przekątna = ?

W równoległoboku lub rombie wybierasz trójkąt z dwoma bokami i kątem między nimi (kąty sąsiednie dopełniają się do 180°, cosinus zmienia znak) i z twierdzenia cosinusów liczysz krótszą lub dłuższą przekątną.

Zadanie Boki równoległoboku mają długości $5$ i $6$ , a jego kąt ostry ma miarę $60^\circ$ . Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.

Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty o bokach $5$ i $6$ . Dłuższa przekątna leży naprzeciw większego kąta, czyli kąta rozwartego $180^\circ-60^\circ=120^\circ$ .
W trójkącie o bokach $5$ , $6$ i kącie $120^\circ$ między nimi: $d^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot\cos 120^\circ$ .
$\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}$ , więc $d^2=25+36+30=91$ i $d=\sqrt{91}$ .
Kontrola: krótsza przekątna (naprzeciw $60^\circ$ ) ma $d^2=61-30=31$ , czyli $\sqrt{31}<\sqrt{91}$ — zgadza się.

Odpowiedź: $d = \sqrt{91}$

Najczęstsze błędy

Zły znak przy kącie rozwartym. Sinus zostaje dodatni, a cosinus zmienia znak: $\cos 120^\circ=-\tfrac{1}{2}$ , więc w twierdzeniu cosinusów składnik $-2ab\cos\gamma$ się dodaje.
Wstawienie cosinusa do wzoru na pole. Wzór potrzebuje sinusa — najpierw liczymy go z jedynki $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma=1$ .
Zły kąt we wzorze. Do pola bierzemy kąt między bokami $a$ i $b$ , w twierdzeniu cosinusów — kąt naprzeciw boku $c$ .
Zaokrąglanie pierwiastka w odpowiedzi — zostawiamy np. $\sqrt{40}$ lub $2\sqrt{10}$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

|AB| = 10, |AC| = 7, kąt BAC = 60°

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = 10$ , $|AC| = 7$ oraz $|\measuredangle BAC| = 60^\circ$ . Pole trójkąta $ABC$ jest równe

Zadanie 2

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = 9$ , $|AC| = 4$ oraz $\cos|\measuredangle BAC| = \frac{1}{3}$ . Pole trójkąta $ABC$ jest równe

Zadanie 3

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = 4$ , $|AC| = 6$ oraz $\cos|\measuredangle BAC| = \frac{1}{4}$ . Długość boku $BC$ tego trójkąta jest równa

Zadanie 4

Boki trójkąta mają długości $3$ , $5$ i $7$ . Największy kąt tego trójkąta ma miarę

Zadanie 5

Boki równoległoboku mają długości $3$ i $7$ , a cosinus jego kąta ostrego jest równy $\frac{2}{7}$ . Dłuższa przekątna tego równoległoboku ma długość

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 22

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AB| = 5$ , $|AC| = 2$ oraz $\cos|\measuredangle BAC| = \frac{3}{5}$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $BC$ tego trójkąta jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Twierdzenie sinusów i cosinusów — przykłady E8 i Matura z matmy

Twierdzenie cosinusów — matura MiedzianyFsor

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na pole trójkąta z sinusem?

$P=\tfrac{1}{2}ab\sin\gamma$ , gdzie $\gamma$ to kąt między bokami $a$ i $b$ . Dla $a=6$ , $b=4$ , $\gamma=150^\circ$ : $\sin 150^\circ=\tfrac{1}{2}$ , więc $P=\tfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\tfrac{1}{2}=6$ .

Jak brzmi twierdzenie cosinusów?

W każdym trójkącie $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ , gdzie $c$ to bok naprzeciw kąta $\gamma$ , a $a$ i $b$ — pozostałe boki. Dla $a=2$ , $b=3$ , $\gamma=120^\circ$ : $c^2=4+9+6=19$ , czyli $c=\sqrt{19}$ .

Jak obliczyć kąt trójkąta z trzech boków?

Z twierdzenia cosinusów: $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ , gdzie $c$ leży naprzeciw szukanego kąta. Dla boków $5$ , $7$ , $8$ i kąta naprzeciw $7$ : $\cos\gamma=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}$ , więc $\gamma=60^\circ$ .

Jak obliczyć pole trójkąta, gdy dany jest cosinus kąta?

Najpierw sinus z jedynki trygonometrycznej (w trójkącie zawsze dodatni), potem wzór na pole. Przy $\cos\gamma=\tfrac{3}{5}$ i bokach $5$ i $5$ : $\sin\gamma=\tfrac{4}{5}$ , więc $P=\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot\tfrac{4}{5}=10$ .

Czy te wzory są na karcie wzorów CKE?

Tak, oba są na karcie, ale bez podpisu, który kąt to $\gamma$ : we wzorze na pole to kąt między bokami $a$ i $b$ , w twierdzeniu cosinusów — kąt naprzeciw boku $c$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180° Trygonometria Jedynka trygonometryczna i tożsamości Trygonometria Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych Trygonometria Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę