Jedynka trygonometryczna i tożsamości — wzory, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na jedynkę trygonometryczną?

sin²α+cos²α=1 — suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa 1. Wzór jest na karcie wzorów CKE razem z tg α=(sin α)/(cos α).

Q: Jak obliczyć cosinus, gdy znany jest sinus?

Z jedynki: cos²α=1-sin²α. Dla kąta ostrego i sin α=3/5 jest cos α=√(1-9/25)=4/5; dla kąta rozwartego wynik jest ujemny, -4/5.

Q: Jak obliczyć tangens z sinusa i cosinusa?

Podziel sinus przez cosinus: tg α=(sin α)/(cos α). Dla sin α=3/5 i cos α=4/5 wychodzi tg α=3/4.

Q: Jakie znaki mają funkcje trygonometryczne kąta rozwartego?

Sinus jest dodatni, a cosinus i tangens — ujemne. Karta wzorów podaje tożsamości, ale znaków nie podaje.

Q: Jak uprościć wyrażenie trygonometryczne?

Wyłącz wspólny czynnik tak, żeby w nawiasie została jedynka: sin α-sin α cos²α=sin α(1-cos²α)=sin³α.

Jedynka trygonometryczna $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ i wzór $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ wiążą funkcje jednego kąta. Z jedynki liczymy sinus lub cosinus, z ilorazu — tangens; dla kąta rozwartego cosinus i tangens są ujemne.

Trygonometria · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Jedynka trygonometryczna sinus i cosinus tego samego kąta $\alpha$: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
Tangens sinus w liczniku, cosinus w mianowniku: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Wzór na jedynkę trygonometryczną i tangens

Dwie tożsamości wiążą funkcje jednego kąta: jedynka trygonometryczna $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ oraz $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ . Z jedynki wyznaczam brakującą funkcję (kąt ostry: wszystko dodatnie; kąt rozwarty: $\cos\alpha<0$ i $\operatorname{tg}\alpha<0$ ), z ilorazu — tangens; ta sama para wzorów zwija wyrażenia i rozwiązuje równania z $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ .

$\alpha$ ostry, $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ : $\cos\alpha=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{4}{5}}}$ , więc $\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{3}{5}:\tfrac{4}{5}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{3}{4}}}$ .
$\alpha$ rozwarty, $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ : ten sam rachunek, ale $\cos\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\tfrac{4}{5}}}$ i $\operatorname{tg}\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\tfrac{3}{4}}}$ .
$\sin\alpha-\sin\alpha\cos^2\alpha=\sin\alpha(1-\cos^2\alpha)=\sin\alpha\cdot\sin^2\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sin^3\alpha}}$ .
$2\sin\alpha=3\cos\alpha$ — dzielę przez $\cos\alpha$ : $2\operatorname{tg}\alpha=3$ , $\operatorname{tg}\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1{,}5}}$ .

Jak obliczyć tangens z jednej funkcji kąta

Na maturze: karta wzorów CKE podaje obie tożsamości, ale nie znaki — to Ty pamiętasz, że dla kąta rozwartego cosinus i tangens są ujemne. Typowe zadanie za 1 pkt: „kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\dots$ , tangens jest równy” — zawsze dwa kroki: jedynka, potem dzielenie. W wyrażeniach do uproszczenia najpierw wyłącz wspólny czynnik ( $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $\sin^2\alpha$ ) — w nawiasie zostaje jedynka. Pułapka: $1-\sin\alpha$ to nie $\cos\alpha$ ; jedynka działa tylko na kwadratach.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Sinus z cosinusa kąta ostrego (jedynka)

cos α = √7/4 (przyprostokątna przy kącie α ma długość √7, przeciwprostokątna 4); sin α = ?

Z sin^{do potęgi 2}α + cos^{do potęgi 2}α = 1 wyznaczasz cos α, gdy znasz sin α (albo odwrotnie), i dla kąta ostrego bierzesz pierwiastek dodatni.

Zadanie Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ . Oblicz $\sin\alpha$ .

Szukam sinusa, mam cosinus — używam jedynki w postaci $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ .
Podnoszę cosinus do kwadratu (kwadrat usuwa pierwiastek): $\cos^2\alpha=\left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^2=\dfrac{7}{16}$ .
$\sin^2\alpha=1-\dfrac{7}{16}=\dfrac{9}{16}$ .
Kąt jest ostry, więc $\sin\alpha>0$ i biorę pierwiastek dodatni: $\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}$ .

Odpowiedź: $\sin\alpha=\dfrac{3}{4}$

Przykład 2 Tangens z sinusa i cosinusa

Ze wzoru tg α = sin α / cos α liczysz tangens, gdy znasz obie funkcje, albo brakującą z nich, gdy znasz tangens i drugą.

Zadanie Kąt $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ i $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{7}}{3}$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ .

Znam obie funkcje, więc tangens to iloraz: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (sinus na górze).
$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{3}:\dfrac{\sqrt{7}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ — wspólny mianownik $3$ się skraca.
Usuwam niewymierność z mianownika: $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{14}}{7}$ .

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sqrt{14}}{7}$

Przykład 3 Tangens, gdy znana jest tylko jedna funkcja

Gdy znasz tylko sin α albo tylko cos α kąta ostrego, najpierw z jedynki liczysz drugą funkcję, a potem dzielisz sinus przez cosinus.

Zadanie Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\dfrac{28}{53}$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ .

Tangens wymaga sinusa i cosinusa, a mam tylko cosinus — najpierw sinus z jedynki: $\sin^2\alpha=1-\dfrac{784}{2809}=\dfrac{2025}{2809}$ .
Kąt jest ostry, więc $\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{2025}{2809}}=\dfrac{45}{53}$ ( $45^2=2025$ , $53^2=2809$ ).
Dopiero teraz dzielę: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{45}{53}:\dfrac{28}{53}=\dfrac{45}{28}$ .

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{45}{28}$

Przykład 4 Cosinus i tangens kąta rozwartego

Dla kąta rozwartego wyznaczasz cos α i tg α z jedynki i ilorazu, pamiętając, że sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne.

Zadanie Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\sin\alpha=\dfrac{20}{29}$ . Oblicz $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ .

Najpierw znaki: dla $90^\circ<\alpha<180^\circ$ sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne — o tym decyduję, zanim zacznę liczyć.
Jedynka nie zna znaku: $\cos^2\alpha=1-\dfrac{400}{841}=\dfrac{441}{841}$ .
Biorę pierwiastek ujemny: $\cos\alpha=-\dfrac{21}{29}$ .
Tangens to iloraz: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{20}{29}:\left(-\dfrac{21}{29}\right)=-\dfrac{20}{21}$ .

Odpowiedź: $\cos\alpha=-\dfrac{21}{29}$ , $\operatorname{tg}\alpha=-\dfrac{20}{21}$

Przykład 5 Upraszczanie wyrażeń jedynką trygonometryczną

Wyłączasz wspólny czynnik, zamieniasz sin^{do potęgi 2}α + cos^{do potęgi 2}α na 1 (albo 1 − sin^{do potęgi 2}α na cos^{do potęgi 2}α) i zwijasz wyrażenie do jednej funkcji lub liczby.

Zadanie Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wartość wyrażenia $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2$ jest równa

Rozwijam oba kwadraty ze wzorów skróconego mnożenia: $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha$ oraz $(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha$ .
Dodaję: podwójne iloczyny mają przeciwne znaki i się znoszą, zostaje $2\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha$ .
Wyłączam $2$ przed nawias, żeby w środku pojawiła się jedynka: $2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=2\cdot1=2$ .

Odpowiedź: $2$

Przykład 6 Tangens i cosinus z równania z sinusem i cosinusem

Równanie wiążące sin α i cos α dzielisz przez cos α (albo podstawiasz tg α = sin α / cos α), wyznaczasz tg α, a dalej — jeśli trzeba — sin α lub cos α z jedynki.

Zadanie Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $3\sin\alpha=2\cos\alpha$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ oraz $\cos\alpha$ .

Chcę zobaczyć $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , więc dzielę obie strony przez $\cos\alpha$ (dla kąta ostrego $\cos\alpha\neq0$ ): $3\operatorname{tg}\alpha=2$ , czyli $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{2}{3}$ .
Do cosinusa potrzebuję jedynki. Z warunku wyrażam sinus przez cosinus: $\sin\alpha=\dfrac{2}{3}\cos\alpha$ .
Wstawiam do $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ : $\dfrac{4}{9}\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , czyli $\dfrac{13}{9}\cos^2\alpha=1$ i $\cos^2\alpha=\dfrac{9}{13}$ .
Kąt jest ostry, więc $\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$ .

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{2}{3}$ , $\cos\alpha=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$

Najczęstsze błędy

Dodatni cosinus kąta rozwartego. Jedynka nie zna znaku — dla kąta rozwartego $\cos\alpha<0$ i $\operatorname{tg}\alpha<0$ , np. $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ daje $\cos\alpha=-\tfrac{4}{5}$ .
Zamiana $1-\sin\alpha$ na $\cos\alpha$ . Jedynka działa tylko na kwadratach: $1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$ .
Odwrócony iloraz. Tangens to sinus podzielony przez cosinus, nie odwrotnie.
Pominięcie jedynki, gdy dana jest tylko jedna funkcja. Tangens wymaga sinusa i cosinusa — przy danym $\cos\alpha$ najpierw z jedynki liczymy $\sin\alpha$ , dopiero potem dzielimy.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ . Sinus kąta $\alpha$ jest równy

Zadanie 2

Kąt $\alpha$ jest ostry, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{20}{21}$ oraz $\cos\alpha=\dfrac{21}{29}$ . Sinus kąta $\alpha$ jest równy

Zadanie 3

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$ . Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Zadanie 4

Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\sin\alpha=0{,}96$ . Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Zadanie 5

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\cos^2\alpha-\cos^4\alpha$ jest równe

Zadanie 6

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $2\sqrt{3}\,\sin\alpha=3\cos\alpha$ . Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 21

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\sin^{4}{\alpha} + \sin^{2}{\alpha} \cdot \cos^{2}{\alpha}$ jest równe

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Jedynka trygonometryczna — zadanie Matemaks

Jedynka trygonometryczna Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na jedynkę trygonometryczną?

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ — suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa $1$ . Wzór jest na karcie wzorów CKE razem z $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .

Jak obliczyć cosinus, gdy znany jest sinus?

Z jedynki: $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ . Dla kąta ostrego i $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ jest $\cos\alpha=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac{4}{5}$ ; dla kąta rozwartego wynik jest ujemny, $-\tfrac{4}{5}$ .

Jak obliczyć tangens z sinusa i cosinusa?

Podziel sinus przez cosinus: $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ . Dla $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$ i $\cos\alpha=\tfrac{4}{5}$ wychodzi $\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{3}{4}$ .

Jakie znaki mają funkcje trygonometryczne kąta rozwartego?

Sinus jest dodatni, a cosinus i tangens — ujemne. Karta wzorów podaje tożsamości, ale znaków nie podaje.

Jak uprościć wyrażenie trygonometryczne?

Wyłącz wspólny czynnik tak, żeby w nawiasie została jedynka: $\sin\alpha-\sin\alpha\cos^2\alpha=\sin\alpha(1-\cos^2\alpha)=\sin^3\alpha$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180° Trygonometria Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych Trygonometria Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta z sinusem Trygonometria Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę