Jedynka trygonometryczna i tożsamości — wytłumaczenie, wzór i zadania

Dwie tożsamości wiążą funkcje jednego kąta: jedynka trygonometryczna $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ oraz $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Z jedynki wyznaczam brakującą funkcję (kąt ostry: wszystko dodatnie; kąt rozwarty: $\cos\alpha<0$ i $\operatorname{tg}\alpha<0$), z ilorazu — tangens; ta sama para wzorów zwija wyrażenia i rozwiązuje równania z $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.

• $\alpha$ ostry, $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$: $\cos\alpha=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{4}{5}}}$, więc $\operatorname{tg}\alpha=\tfrac{3}{5}:\tfrac{4}{5}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac{3}{4}}}$.
• $\alpha$ rozwarty, $\sin\alpha=\tfrac{3}{5}$: ten sam rachunek, ale $\cos\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\tfrac{4}{5}}}$ i $\operatorname{tg}\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\tfrac{3}{4}}}$.
• $\sin\alpha-\sin\alpha\cos^2\alpha=\sin\alpha(1-\cos^2\alpha)=\sin\alpha\cdot\sin^2\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sin^3\alpha}}$.
• $2\sin\alpha=3\cos\alpha$ — dzielę przez $\cos\alpha$: $2\operatorname{tg}\alpha=3$, $\operatorname{tg}\alpha=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1{,}5}}$.

Na maturze: karta wzorów CKE podaje obie tożsamości, ale nie znaki — to Ty pamiętasz, że dla kąta rozwartego cosinus i tangens są ujemne. Typowe zadanie za 1 pkt: „kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha=\dots$, tangens jest równy” — zawsze dwa kroki: jedynka, potem dzielenie. W wyrażeniach do uproszczenia najpierw wyłącz wspólny czynnik ($\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\sin^2\alpha$) — w nawiasie zostaje jedynka. Pułapka: $1-\sin\alpha$ to nie $\cos\alpha$; jedynka działa tylko na kwadratach.