Wzory skróconego mnożenia — kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów

Q: Jakie są wzory skróconego mnożenia?

Kwadrat sumy (a+b)²=a²+2ab+b², kwadrat różnicy (a-b)²=a²-2ab+b² i różnica kwadratów a²-b²=(a-b)(a+b). Wszystkie trzy są na karcie wzorów CKE.

Q: Jak rozłożyć różnicę kwadratów?

Zapisz oba wyrazy jako kwadraty i użyj wzoru a²-b²=(a-b)(a+b): 4x²-9=(2x)²-3²=(2x-3)(2x+3).

Q: Jak podnieść do kwadratu liczbę z pierwiastkiem?

Tym samym wzorem co wyrażenie z x: (√2+3)²=2+6√2+9=11+6√2. Kwadrat znosi pierwiastek, a podwojony iloczyn zostaje z pierwiastkiem.

Q: Jak szybko obliczyć różnicę kwadratów dwóch liczb?

Zamień ją na iloczyn: a²-b²=(a-b)(a+b). Np. 51²-49²=(51-49)(51+49)=2·100=200 — bez liczenia samych kwadratów.

Kwadrat sumy: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , kwadrat różnicy: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ , różnica kwadratów: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Wzory działają w obie strony i dla dowolnych składników, np. $a=2x$ albo $b=\sqrt{3}$ .

Wyrażenia algebraiczne · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Kwadrat sumy $2ab$ — podwojony iloczyn składników: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Kwadrat różnicy podwojony iloczyn ze znakiem minus: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Różnica kwadratów: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat sumy i różnicy rozwijam ze wzorów $(a+b)^2=a^2+\textcolor{#d97706}{2ab}+b^2$ oraz $(a-b)^2=a^2-\textcolor{#d97706}{2ab}+b^2$ — kwadraty obu składników i podwojony iloczyn ze znakiem; różnicę kwadratów rozkładam wzorem $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Wzory działają w obie strony i dla dowolnych składników — także gdy $a=2x$ albo $b=\sqrt{3}$ .

$(2x-\textcolor{#0284c7}{3})^2 = (2x)^2 - 2\cdot 2x\cdot\textcolor{#0284c7}{3} + \textcolor{#0284c7}{3}^2 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4x^2-12x+9}}$
$(\sqrt{2}+3)^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{11+6\sqrt{2}}}$
$4x^2-9 = (2x)^2-3^2 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(2x-3)(2x+3)}}$
$(x+2)^2-(x-2)^2 = (x^2+4x+4)-(x^2-4x+4) = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8x}}$

Wzory skróconego mnożenia na maturze

Na maturze: wszystkie trzy wzory są na karcie wzorów CKE — nie musisz ich pamiętać, musisz je rozpoznać. Najczęstsze zadanie: „wartość wyrażenia $(A)^2-(B)^2$ jest równa…” — rozwiń oba kwadraty i odejmij cały drugi trójmian (zmień znaki wszystkich jego wyrazów) albo policz $(A-B)(A+B)$ . Pułapki: $(2x)^2=4x^2$ , nie $2x^2$ ; $(\sqrt{3}-2)^2=(2-\sqrt{3})^2$ , bo kwadraty liczb przeciwnych są równe.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Kwadrat sumy lub różnicy z niewiadomą

Rozwijasz (ax + b)^{do potęgi 2} i (ax − b)^{do potęgi 2} do trójmianu: kwadrat pierwszego składnika, podwojony iloczyn ze znakiem, kwadrat drugiego.

Zadanie Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(3x-2)^2-9x^2$ jest równe:

Rozpoznaję kwadrat różnicy z $a=3x$ , $b=2$ i biorę wzór $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .
Kwadrat pierwszego składnika obejmuje też współczynnik: $(3x)^2 = 9x^2$ .
Podwojony iloczyn $2\cdot 3x\cdot 2 = 12x$ dostaje znak minus, kwadrat drugiego składnika to $2^2=4$ , więc $(3x-2)^2 = 9x^2-12x+4$ .
Odejmuję $9x^2$ : $9x^2-12x+4-9x^2 = -12x+4$ .

Odpowiedź: $-12x+4$

Przykład 2 Kwadrat różnicy z pierwiastkiem

Podnosisz do kwadratu liczbę typu 2 − $\sqrt{3}$ lub $2\sqrt{5}$ + 3 i zapisujesz wynik w postaci p + q√k.

Zadanie Liczba $(2\sqrt{3}-1)^2$ jest równa:

Rozpoznaję kwadrat różnicy z $a=2\sqrt{3}$ , $b=1$ : $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .
Kwadrat pierwszego składnika obejmuje i $2$ , i $\sqrt{3}$ : $(2\sqrt{3})^2 = 4\cdot 3 = 12$ .
Podwojony iloczyn $2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 1 = 4\sqrt{3}$ dostaje znak minus; kwadrat drugiego składnika to $1^2=1$ .
Składam i porządkuję: $12-4\sqrt{3}+1 = 13-4\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $13-4\sqrt{3}$

Przykład 3 Iloczyn sumy i różnicy — różnica kwadratów

Rozkładasz a^{do potęgi 2} − b^{do potęgi 2} na (a − b)(a + b), także gdy a = 5x lub b = $\sqrt{5}$ , i zwijasz iloczyn (a − b)(a + b) do różnicy kwadratów.

Zadanie Liczba $(3\sqrt{2}-4)(3\sqrt{2}+4)$ jest równa:

Rozpoznaję iloczyn różnicy i sumy tych samych składników: $a=3\sqrt{2}$ , $b=4$ , więc wynik to $a^2-b^2$ — bez mnożenia nawiasów.
Kwadrat pierwszego składnika obejmuje i $3$ , i $\sqrt{2}$ : $(3\sqrt{2})^2 = 9\cdot 2 = 18$ .
Kwadrat drugiego: $4^2=16$ .
Odejmuję: $18-16 = 2$ .

Odpowiedź: $2$

Przykład 4 Szybkie obliczenia liczbowe ze wzorów

Obliczasz wartość liczbową, rozpoznając a^{do potęgi 2} − b^{do potęgi 2} albo a^{do potęgi 2} ± 2ab + b^{do potęgi 2} i zamieniając ją na prostszy iloczyn lub kwadrat.

Zadanie Liczba $\dfrac{75^2-25^2}{50}$ jest równa:

Licznik to różnica kwadratów, więc zamiast liczyć $75^2$ i $25^2$ rozkładam: $75^2-25^2=(75-25)(75+25)$ .
Mnożę: $50\cdot 100 = 5000$ .
Dzielę przez mianownik: $5000:50 = 100$ .

Odpowiedź: $100$

Przykład 5 Zwijanie trójmianu do kwadratu dwumianu

Zapisujesz trójmian a^{do potęgi 2} ± 2ab + b^{do potęgi 2} jako (a ± b)^{do potęgi 2} i podstawiasz do zwiniętej postaci wartość typu x = $\sqrt{3}$ − 4.

Zadanie Wartość wyrażenia $x^2-6x+9$ dla $x=\sqrt{5}+3$ jest równa:

Zamiast podstawiać do trójmianu, sprawdzam, czy to kwadrat dwumianu: $9=3^2$ i $6x=2\cdot x\cdot 3$ , a środkowy wyraz jest ujemny, więc $x^2-6x+9=(x-3)^2$ .
Podstawiam $x=\sqrt{5}+3$ do zwiniętej postaci: $(\sqrt{5}+3-3)^2$ .
W nawiasie zostaje $\sqrt{5}$ , więc wynik to $(\sqrt{5})^2=5$ .

Odpowiedź: $5$

Przykład 6 Różnica kwadratów dwóch dwumianów

Odejmujesz kwadraty dwóch dwumianów, np. (5x − 2)^{do potęgi 2} − (5x + 2)^{do potęgi 2}, rozwijając oba i odejmując cały drugi trójmian albo rozkładając na (A − B)(A + B).

Zadanie Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(4x-1)^2-(4x+1)^2$ jest równe:

Rozwijam pierwszy kwadrat: $(4x-1)^2=16x^2-8x+1$ .
Rozwijam drugi: $(4x+1)^2=16x^2+8x+1$ — różni się od pierwszego tylko znakiem środkowego wyrazu.
Odejmuję cały drugi trójmian, więc zmieniam znaki wszystkich jego wyrazów: $16x^2-8x+1-16x^2-8x-1$ .
Redukuję: $16x^2$ i $1$ się znoszą, zostaje $-8x-8x=-16x$ . Kontrola drugą metodą: $(A-B)(A+B)=(-2)\cdot 8x=-16x$ .

Odpowiedź: $-16x$

Najczęstsze błędy

Zapis $(2x)^2$ jako $2x^2$ . Do kwadratu podnosimy też współczynnik: $(2x)^2=4x^2$ .
Odjęcie tylko pierwszego wyrazu drugiego trójmianu. Przy $(A)^2-(B)^2$ odejmujemy cały drugi trójmian, czyli zmieniamy znaki wszystkich jego wyrazów.
Podniesienie do kwadratu każdego składnika osobno. W $(a+b)^2$ jest jeszcze podwojony iloczyn: $(\sqrt{2}+3)^2=2+6\sqrt{2}+9=11+6\sqrt{2}$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(2x+5)^2$ jest równe:

Zadanie 2

Liczba $(3-\sqrt{7})^2$ jest równa:

Zadanie 3

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $25x^2-4$ jest równe:

Zadanie 4

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia, oblicz $98^2$ . Wynik to:

Zadanie 5

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $4x^2+12x+9$ jest równe:

Zadanie 6

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(5x-2)^2-(5x+2)^2$ jest równe:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie $(2a - 3)^{2} - (2a + 3)^{2}$ jest równe

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wzory skróconego mnożenia — kwadrat sumy KhanAcademyPoPolsku

Kwadrat sumy — wzory skróconego mnożenia Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jakie są wzory skróconego mnożenia?

Kwadrat sumy $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , kwadrat różnicy $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ i różnica kwadratów $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Wszystkie trzy są na karcie wzorów CKE.

Jak rozłożyć różnicę kwadratów?

Zapisz oba wyrazy jako kwadraty i użyj wzoru $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)$ .

Jak podnieść do kwadratu liczbę z pierwiastkiem?

Tym samym wzorem co wyrażenie z $x$ : $(\sqrt{2}+3)^2=2+6\sqrt{2}+9=11+6\sqrt{2}$ . Kwadrat znosi pierwiastek, a podwojony iloczyn zostaje z pierwiastkiem.

Jak szybko obliczyć różnicę kwadratów dwóch liczb?

Zamień ją na iloczyn: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Np. $51^2-49^2=(51-49)(51+49)=2\cdot100=200$ — bez liczenia samych kwadratów.

Czy wzory skróconego mnożenia są na karcie wzorów?

Tak, wszystkie trzy są na karcie wzorów CKE — na maturze trzeba je rozpoznać w zadaniu, np. w wyrażeniu typu $(A)^2-(B)^2$ .

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Działania na wielomianach Wyrażenia algebraiczne Wyłączanie jednomianu poza nawias Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne — mnożenie i dzielenie Wyrażenia algebraiczne Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę