Działania na wielomianach — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wielomiany dodaję i odejmuję, redukując wyrazy podobne (te same potęgi $x$), a mnożę tak, że każdy składnik jednego nawiasu mnożę przez każdy składnik drugiego. Przy odejmowaniu i przy minusie przed iloczynem zmieniam znak każdego wyrazu.

• $(2x^3-x+4)-(x^3+3x-1)=2x^3-x+4-x^3-3x+1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x^3-4x+5}}$
• $(x+2)(x^2-3x+1)=x^3-3x^2+x+2x^2-6x+2=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x^3-x^2-5x+2}}$
• Współczynnik przy $x^2$ w $(2x^2+5x-3)(x-2)$ bez pełnego mnożenia: $2x^2\cdot(-2)+5x\cdot x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x^2}}$, czyli $1$
• Suma współczynników $W(x)=(2x-1)^3(x+2)$ to $W(1)=1^3\cdot3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$

Na maturze: typowe zadanie za 1 pkt to „wielomian $W(x)-V(x)\cdot H(x)$ jest równy…" — najpierw iloczyn, potem odejmowanie ze zmianą wszystkich znaków. W zadaniach prawda/fałsz „$W$ jest iloczynem $F$ i $G$" wymnóż $F\cdot G$ i porównaj z $W$, a „liczba $-1$ jest rozwiązaniem $W(x)=0$" sprawdź, licząc $W(-1)$. „Suma współczynników" to zawsze $W(1)$ — także dla postaci iloczynowej, bez wymnażania. Karta wzorów CKE daje wzory skróconego mnożenia $(a\pm b)^2$, $(a\pm b)^3$, $a^2-b^2$.