Jak znaleźć współczynnik przy x² bez wymnażania?

Mnożymy tylko te pary wyrazów, które dają x², i dodajemy wyniki. W (2x²+5x-3)(x-2): 2x²·(-2)+5x· x=x², więc współczynnik wynosi 1.

Działania na wielomianach — dodawanie, odejmowanie i mnożenie

Q: Jak obliczyć sumę współczynników wielomianu?

Suma współczynników to W(1) — wystarczy podstawić x=1, także do postaci iloczynowej, bez wymnażania. Dla W(x)=(2x-1)³(x+2) suma współczynników to 1³·3=3.

Q: Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu?

Podstaw ją w miejsce każdego x i policz wartość wielomianu. Jeśli wychodzi zero, liczba jest rozwiązaniem równania W(x)=0.

Wielomiany dodajemy i odejmujemy, redukując wyrazy podobne (te same potęgi $x$ ), a mnożymy tak, że każdy wyraz jednego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego. Przy odejmowaniu zmieniamy znak każdego wyrazu odejmowanego wielomianu.

Wyrażenia algebraiczne · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Jak dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany

Wielomiany dodaję i odejmuję, redukując wyrazy podobne (te same potęgi $x$ ), a mnożę tak, że każdy składnik jednego nawiasu mnożę przez każdy składnik drugiego. Przy odejmowaniu i przy minusie przed iloczynem zmieniam znak każdego wyrazu.

$(2x^3-x+4)-(x^3+3x-1)=2x^3-x+4-x^3-3x+1=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x^3-4x+5}}$
$(x+2)(x^2-3x+1)=x^3-3x^2+x+2x^2-6x+2=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x^3-x^2-5x+2}}$
Współczynnik przy $x^2$ w $(2x^2+5x-3)(x-2)$ bez pełnego mnożenia: $2x^2\cdot(-2)+5x\cdot x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x^2}}$ , czyli $1$
Suma współczynników $W(x)=(2x-1)^3(x+2)$ to $W(1)=1^3\cdot3=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$

Działania na wielomianach na maturze

Na maturze: typowe zadanie za 1 pkt to „wielomian $W(x)-V(x)\cdot H(x)$ jest równy…" — najpierw iloczyn, potem odejmowanie ze zmianą wszystkich znaków. W zadaniach prawda/fałsz „ $W$ jest iloczynem $F$ i $G$ " wymnóż $F\cdot G$ i porównaj z $W$ , a „liczba $-1$ jest rozwiązaniem $W(x)=0$ " sprawdź, licząc $W(-1)$ . „Suma współczynników" to zawsze $W(1)$ — także dla postaci iloczynowej, bez wymnażania. Karta wzorów CKE daje wzory skróconego mnożenia $(a\pm b)^2$ , $(a\pm b)^3$ , $a^2-b^2$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Redukujesz wyrazy podobne, a przy odejmowaniu zmieniasz znak każdego wyrazu odejmowanego wielomianu.

Zadanie Dane są wielomiany $W(x)=2x^3-5x^2+x-4$ oraz $V(x)=x^3+3x-7$ . Wielomian $W(x)-V(x)$ jest równy:

Odejmuję cały wielomian $V$ , więc zmieniam znak każdego jego wyrazu: $W(x)-V(x)=2x^3-5x^2+x-4-x^3-3x+7$ .
Grupuję wyrazy o tej samej potędze $x$ — $V$ nie ma wyrazu z $x^2$ , więc $-5x^2$ zostaje bez pary: $(2x^3-x^3)-5x^2+(x-3x)+(-4+7)$ .
Redukuję każdą grupę: $x^3-5x^2-2x+3$ .

Odpowiedź: $x^3-5x^2-2x+3$

Przykład 2 Mnożenie wielomianów

Mnożysz każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego, dodajesz wykładniki i redukujesz wyrazy podobne.

Zadanie Wielomian $W(x)=(2x-3)(x^2+4x-1)$ zapisany w postaci sumy jednomianów ma wzór:

Mnożę pierwszy wyraz $2x$ przez każdy wyraz trójmianu, dodając wykładniki: $2x\cdot x^2+2x\cdot4x+2x\cdot(-1)=2x^3+8x^2-2x$ .
Mnożę drugi wyraz $-3$ przez każdy wyraz trójmianu, pilnując znaków: $-3x^2-12x+3$ .
Dodaję oba wyniki i redukuję wyrazy podobne: $2x^3+(8-3)x^2+(-2-12)x+3=2x^3+5x^2-14x+3$ .
Kontrola dla $x=1$ : lewa strona $(2-3)(1+4-1)=-4$ , prawa $2+5-14+3=-4$ — zgadza się.

Odpowiedź: $W(x)=2x^3+5x^2-14x+3$

Przykład 3 Iloczyn, a potem różnica wielomianów

Najpierw wymnażasz iloczyn, potem dodajesz go do pozostałych wielomianów lub odejmujesz, zmieniając znaki wszystkich jego wyrazów.

Zadanie Dane są wielomiany $W(x)=2x^3$ , $V(x)=x^2-3$ oraz $H(x)=x+1$ . Wielomian $W(x)-V(x)\cdot H(x)$ jest równy:

Kolejność działań jest taka jak dla liczb — najpierw iloczyn: $V(x)\cdot H(x)=(x^2-3)(x+1)=x^3+x^2-3x-3$ .
Odejmuję cały iloczyn, więc każdy jego wyraz zmienia znak: $2x^3-(x^3+x^2-3x-3)=2x^3-x^3-x^2+3x+3$ .
Redukuję wyrazy podobne: $x^3-x^2+3x+3$ .
Kontrola dla $x=1$ : $2-(1-3)(1+1)=2+4=6$ oraz $1-1+3+3=6$ — zgadza się.

Odpowiedź: $x^3-x^2+3x+3$

Przykład 4 Współczynnik przy potędze x bez wymnażania

Stopień iloczynu to suma stopni czynników, a współczynnik przy wybranej potędze liczysz, mnożąc tylko te pary wyrazów, które ją dają.

Zadanie Dany jest wielomian $W(x)=(x^2-2x+5)(3x-1)$ . Współczynnik przy $x^2$ w wielomianie $W$ jest równy:

Nie wymnażam całości — $x^2$ powstanie tylko z par wyrazów, których wykładniki sumują się do 2: $x^2\cdot(-1)$ oraz $(-2x)\cdot3x$ .
Liczę te dwa iloczyny: $x^2\cdot(-1)=-x^2$ oraz $(-2x)\cdot3x=-6x^2$ .
Dodaję: $-x^2-6x^2=-7x^2$ , więc współczynnik przy $x^2$ wynosi $-7$ .
Kontrola pełnym mnożeniem: $3x^3-x^2-6x^2+2x+15x-5=3x^3-7x^2+17x-5$ — zgadza się.

Odpowiedź: $-7$

Przykład 5 Czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu

Podstawiasz liczbę za x w każdym miejscu (także w postaci iloczynowej), a W(a) = 0 oznacza, że a jest rozwiązaniem równania W(x) = 0.

Zadanie Dany jest wielomian $W(x)=2x^3-3x^2-11x+6$ . Sprawdź, czy liczba $-2$ jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$ .

Liczba jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$ , gdy po podstawieniu wielomian daje zero — podstawiam $x=-2$ w każdym miejscu, w nawiasach: $W(-2)=2\cdot(-2)^3-3\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)+6$ .
Potęgi liczby ujemnej: $(-2)^3=-8$ (nieparzysta — ujemna), $(-2)^2=4$ (parzysta — dodatnia): $W(-2)=2\cdot(-8)-3\cdot4+22+6$ .
Liczę: $-16-12+22+6=0$ , więc $W(-2)=0$ i liczba $-2$ jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedź: Tak, $W(-2)=0$

Przykład 6 Suma współczynników wielomianu jako W(1)

Sumę współczynników wielomianu liczysz jako W(1) — także gdy wielomian jest dany jako iloczyn lub potęga, bez wymnażania.

Zadanie Wielomian $W(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ jest iloczynem wielomianów $F(x)=(3x-2)^3$ oraz $G(x)=2x+1$ . Suma $a+b+c+d+e$ jest równa:

Suma współczynników to wartość wielomianu dla $x=1$ , bo wtedy każda potęga $x$ równa się 1: $W(1)=a+b+c+d+e$ .
Nie wymnażam — podstawiam $x=1$ do postaci iloczynowej: $W(1)=F(1)\cdot G(1)=(3\cdot1-2)^3\cdot(2\cdot1+1)$ .
Liczę: $1^3\cdot3=3$ , więc $a+b+c+d+e=3$ .

Odpowiedź: $3$

Najczęstsze błędy

Zmiana znaku tylko pierwszego wyrazu przy odejmowaniu. Przed nawiasem z minusem zmieniamy znak każdego wyrazu: $(2x^3-x+4)-(x^3+3x-1)=x^3-4x+5$ .
Odejmowanie przed mnożeniem w $W(x)-V(x)\cdot H(x)$ . Najpierw liczymy iloczyn, potem odejmujemy go, zmieniając znaki wszystkich jego wyrazów.
Zgubiony znak przy podstawianiu liczby ujemnej. Wstawiamy ją w nawiasie: $(-2)^3=-8$ , a $(-2)^2=4$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Dane są wielomiany $W(x)=x^3-2x^2+3x$ oraz $V(x)=2x^3+x^2-5$ . Wielomian $W(x)+V(x)$ jest równy:

Zadanie 2

Wielomian $W(x)=2x^3-8x^2+6x$ jest iloczynem wielomianów $F(x)=2x$ i $G(x)$ . Wielomian $G$ jest określony wzorem:

Zadanie 3

Dane są wielomiany $W(x)=x^3$ , $V(x)=x^2+2$ oraz $H(x)=x-1$ . Wielomian $W(x)-V(x)\cdot H(x)$ jest określony wzorem:

Zadanie 4

Dany jest wielomian $W(x)=(x^2-3x+2)(2x^2+x-4)$ . Współczynnik przy $x^3$ w wielomianie $W$ jest równy:

Zadanie 5

Dany jest wielomian $W(x)=x^3-4x^2+x+6$ . Rozwiązaniem równania $W(x)=0$ jest liczba:

Zadanie 6

Suma współczynników wielomianu $W(x)=(2x+1)^3-(x-3)^2$ jest równa:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 6

Dane są wielomiany $W$ , $V$ oraz $H$ określone wzorami:

$W(x) = x^{4}$

$V(x) = x^{3} + 1$

$H(x) = x - 2$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian $W(x) - V(x) \cdot H(x)$ jest określony wzorem

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Działania na wielomianach — dodawanie, odejmowanie, mnożenie Marek Duda

Działania na wielomianach i stopień wielomianu A po co MI ta MATMA?

Najczęstsze pytania

Jak odejmować wielomiany?

Zmieniamy znak każdego wyrazu odejmowanego wielomianu i redukujemy wyrazy podobne, czyli wyrazy z tą samą potęgą $x$ . Np. $(2x^3-x+4)-(x^3+3x-1)=x^3-4x+5$ .

Jak mnożyć wielomiany?

Każdy wyraz jednego nawiasu mnożymy przez każdy wyraz drugiego, dodając wykładniki, a potem redukujemy wyrazy podobne: $(x+2)(x^2-3x+1)=x^3-x^2-5x+2$ .

Jak obliczyć sumę współczynników wielomianu?

Suma współczynników to $W(1)$ — wystarczy podstawić $x=1$ , także do postaci iloczynowej, bez wymnażania. Dla $W(x)=(2x-1)^3(x+2)$ suma współczynników to $1^3\cdot3=3$ .

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu?

Podstaw ją w miejsce każdego $x$ i policz wartość wielomianu. Jeśli wychodzi zero, liczba jest rozwiązaniem równania $W(x)=0$ .

Jak znaleźć współczynnik przy x^{do potęgi 2} bez wymnażania?

Mnożymy tylko te pary wyrazów, które dają $x^2$ , i dodajemy wyniki. W $(2x^2+5x-3)(x-2)$ : $2x^2\cdot(-2)+5x\cdot x=x^2$ , więc współczynnik wynosi $1$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Wyłączanie jednomianu poza nawias Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne — mnożenie i dzielenie Wyrażenia algebraiczne Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę