Wyrażenia wymierne — mnożenie i dzielenie — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wyrażenie wymierne to ułamek, w którym $x$ stoi w mianowniku. Mnożę je i dzielę jak zwykłe ułamki: najpierw rozkładam liczniki i mianowniki na czynniki, skracam wspólne czynniki, a dzielenie zamieniam na mnożenie przez odwrotność. Z dziedziny wykluczam liczby zerujące każdy mianownik (a przy dzieleniu także licznik dzielnika).

• dziedzina $\dfrac{x+1}{x^2-4x}$: $x(x-4)\neq 0$, więc $x\neq\textcolor{#d97706}{0}$ i $x\neq\textcolor{#d97706}{4}$
• $\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\textcolor{#4f46e5}{\dfrac{\mathbf{x-2}}{\mathbf{x}}}$
• $\dfrac{x^2-1}{x}\cdot\dfrac{3x}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)\cdot 3x}{x\,(x+1)}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3(x-1)}}$
• $\dfrac{x}{x-5}:\dfrac{x^2}{x-5}=\dfrac{x}{x-5}\cdot\dfrac{x-5}{x^2}=\textcolor{#4f46e5}{\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}}$

Zasada: skracam dopiero po rozłożeniu na czynniki — nigdy pojedynczych składników sumy ($\frac{x^2+1}{x}\neq x+1$). Czynnik przeciwny zamieniam na minus: $\frac{3-x}{x-3}=-1$.

Na maturze: to zadanie zamknięte za 1 pkt w stylu „Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od … wyrażenie $\frac{\dots}{\dots}\cdot\frac{\dots}{\dots}$ jest równe”. Wykluczone liczby z treści podpowiadają rozkład mianowników (np. $x\neq -2$ → szukaj $(x+2)$ albo $(x+2)^2$). Wzory skróconego mnożenia masz na karcie wzorów CKE; w tych zadaniach prawie zawsze trafia się $a^2-b^2$ lub $(a\pm b)^2$ i wyłączanie $x$ przed nawias. Gdy nie masz pewności, podstaw wygodną liczbę (np. $x=1$) do wyrażenia i do odpowiedzi — pasuje tylko jedna.