Wyrażenia wymierne — mnożenie i dzielenie, przykłady i zadania

Q: Jak sprawdzić odpowiedź w zadaniu zamkniętym z wyrażeniem wymiernym?

Podstaw wygodną liczbę z dziedziny, np. x=1, do wyrażenia i do każdej odpowiedzi — pasuje tylko jedna.

Wyrażenia wymierne mnożymy i dzielimy jak zwykłe ułamki: rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki, skracamy wspólne czynniki, a dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność. Z dziedziny wykluczamy liczby zerujące mianowniki.

Wyrażenia algebraiczne · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie →

Co to jest wyrażenie wymierne i jak je mnożyć

Wyrażenie wymierne to ułamek, w którym $x$ stoi w mianowniku. Mnożę je i dzielę jak zwykłe ułamki: najpierw rozkładam liczniki i mianowniki na czynniki, skracam wspólne czynniki, a dzielenie zamieniam na mnożenie przez odwrotność. Z dziedziny wykluczam liczby zerujące każdy mianownik (a przy dzieleniu także licznik dzielnika).

dziedzina $\dfrac{x+1}{x^2-4x}$ : $x(x-4)\neq 0$ , więc $x\neq\textcolor{#d97706}{0}$ i $x\neq\textcolor{#d97706}{4}$
$\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\textcolor{#4f46e5}{\dfrac{\mathbf{x-2}}{\mathbf{x}}}$
$\dfrac{x^2-1}{x}\cdot\dfrac{3x}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)\cdot 3x}{x\,(x+1)}=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3(x-1)}}$
$\dfrac{x}{x-5}:\dfrac{x^2}{x-5}=\dfrac{x}{x-5}\cdot\dfrac{x-5}{x^2}=\textcolor{#4f46e5}{\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}}$

Kiedy wolno skracać wyrażenie wymierne

Zasada: skracam dopiero po rozłożeniu na czynniki — nigdy pojedynczych składników sumy ( $\frac{x^2+1}{x}\neq x+1$ ). Czynnik przeciwny zamieniam na minus: $\frac{3-x}{x-3}=-1$ .

Jak sprawdzić odpowiedź w zadaniu maturalnym

Na maturze: to zadanie zamknięte za 1 pkt w stylu „Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od … wyrażenie $\frac{\dots}{\dots}\cdot\frac{\dots}{\dots}$ jest równe”. Wykluczone liczby z treści podpowiadają rozkład mianowników (np. $x\neq -2$ → szukaj $(x+2)$ albo $(x+2)^2$ ). Wzory skróconego mnożenia masz na karcie wzorów CKE; w tych zadaniach prawie zawsze trafia się $a^2-b^2$ lub $(a\pm b)^2$ i wyłączanie $x$ przed nawias. Gdy nie masz pewności, podstaw wygodną liczbę (np. $x=1$ ) do wyrażenia i do odpowiedzi — pasuje tylko jedna.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Dziedzina wyrażenia wymiernego

Rozkładasz każdy mianownik na czynniki, przyrównujesz je do zera i wykluczasz otrzymane liczby z dziedziny.

Zadanie Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , dla których wyrażenie $\dfrac{x+5}{x^2-6x}\cdot\dfrac{3}{x+1}$ jest określone.

Wyrażenie jest określone, gdy żaden mianownik nie jest zerem — sprawdzam osobno oba mianowniki: $x^2-6x$ oraz $x+1$ .
Pierwszy mianownik rozkładam na czynniki, żeby zobaczyć jego miejsca zerowe: $x^2-6x=x(x-6)$ , więc $x\neq 0$ i $x\neq 6$ .
Drugi mianownik: $x+1\neq 0$ , czyli $x\neq -1$ .
Liczników nie sprawdzam — licznik może być zerem. Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste oprócz $-1$ , $0$ i $6$ .

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,\,0,\,6\}$

Przykład 2 Skracanie wyrażenia wymiernego

Rozkładasz licznik i mianownik na czynniki (wspólny czynnik, wzory skróconego mnożenia, postać iloczynowa) i skracasz wspólny czynnik.

Zadanie Uprość wyrażenie $\dfrac{x^2-6x+9}{2x^2-18}$ dla $x\neq -3$ i $x\neq 3$ .

Licznik wygląda jak kwadrat różnicy — sprawdzam: $2\cdot x\cdot 3=6x$ i $3^2=9$ , więc $x^2-6x+9=(x-3)^2$ .
W mianowniku najpierw wyłączam wspólny czynnik $2$ , a dopiero potem widzę różnicę kwadratów: $2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$ .
Skracam wspólny czynnik $(x-3)$ — wolno, bo z założenia $x\neq 3$ , więc $x-3\neq 0$ : $\dfrac{(x-3)^2}{2(x-3)(x+3)}=\dfrac{x-3}{2(x+3)}$ .
Czynnika $(x+3)$ nie ma w liczniku, więc dalej skrócić się nie da. Wynik: $\dfrac{x-3}{2(x+3)}$ .

Odpowiedź: $\dfrac{x-3}{2(x+3)}$

Przykład 3 Mnożenie wyrażeń wymiernych

Rozkładasz liczniki i mianowniki na czynniki, zapisujesz iloczyn jako jeden ułamek i skracasz wspólne czynniki, zanim cokolwiek wymnożysz.

Zadanie Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $-3$ , $0$ i $3$ wyrażenie $\dfrac{x^2-3x}{x^2-9}\cdot\dfrac{x+3}{x^2}$ jest równe

Nie mnożę od razu — najpierw rozkładam każdy licznik i mianownik na czynniki: $x^2-3x=x(x-3)$ , $x^2-9=(x-3)(x+3)$ , $x^2=x\cdot x$ .
Zapisuję iloczyn jako jeden ułamek: $\dfrac{x(x-3)\cdot(x+3)}{(x-3)(x+3)\cdot x\cdot x}$ .
Skracam każdy czynnik, który jest i na górze, i na dole: $(x-3)$ , $(x+3)$ oraz jedno $x$ — wolno, bo wykluczone $x$ gwarantują, że żaden z nich nie jest zerem.
W liczniku zostaje $1$ , w mianowniku jedno $x$ . Wynik: $\dfrac{1}{x}$ .

Odpowiedź: $\dfrac{1}{x}$

Przykład 4 Dzielenie wyrażeń wymiernych

Zamieniasz dzielenie na mnożenie przez odwrotność dzielnika, a potem rozkładasz na czynniki i skracasz; z dziedziny wykluczasz też zera licznika dzielnika.

Zadanie Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $-1$ i $0$ wyrażenie $\dfrac{x^2-1}{4x}:\dfrac{x+1}{x^2}$ jest równe

Dzielenie przez ułamek zamieniam na mnożenie przez jego odwrotność (licznik i mianownik dzielnika zamieniają się miejscami): $\dfrac{x^2-1}{4x}\cdot\dfrac{x^2}{x+1}$ .
Teraz jak przy mnożeniu — rozkładam na czynniki: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ , $x^2=x\cdot x$ .
Jeden ułamek: $\dfrac{(x-1)(x+1)\cdot x\cdot x}{4x\cdot(x+1)}$ ; skracam $(x+1)$ oraz jedno $x$ .
Zostaje $\dfrac{(x-1)\cdot x}{4}$ . Wynik: $\dfrac{x(x-1)}{4}$ .

Odpowiedź: $\dfrac{x(x-1)}{4}$

Przykład 5 Wartość wyrażenia po uproszczeniu

Najpierw upraszczasz iloczyn lub iloraz, a dopiero do prostej postaci podstawiasz podaną liczbę — także ułamek lub pierwiastek.

Zadanie Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-1}\cdot\dfrac{x+1}{5}$ dla $x=1+\sqrt{5}$ .

Podstawienie $1+\sqrt5$ od razu dałoby kwadraty z pierwiastkami — dlatego najpierw upraszczam, a podstawiam na końcu. Sprawdzam tylko, że $1+\sqrt5$ jest w dziedzinie: różne od $1$ i $-1$ .
Rozkładam: $x^2-2x+1=(x-1)^2$ , $x^2-1=(x-1)(x+1)$ .
Skracam $(x-1)$ i $(x+1)$ : $\dfrac{(x-1)^2\,(x+1)}{(x-1)(x+1)\cdot 5}=\dfrac{x-1}{5}$ .
Podstawiam: $\dfrac{(1+\sqrt5)-1}{5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ .

Odpowiedź: $\dfrac{\sqrt5}{5}$

Najczęstsze błędy

Skracanie pojedynczych składników sumy: $\frac{x^2+1}{x}\neq x+1$ . Skracamy tylko wspólne czynniki, po rozłożeniu licznika i mianownika.
Pominięcie licznika dzielnika w dziedzinie. Przy dzieleniu wykluczamy też liczby, które zerują licznik ułamka, przez który dzielimy.
Wymnażanie nawiasów przed skracaniem. Najpierw rozkładamy na czynniki i skracamy — dopiero potem ewentualnie mnożymy.
Przeoczenie czynników przeciwnych: $\frac{3-x}{x-3}=-1$ , a nie $1$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Wyrażenie $\dfrac{x+3}{x^2-5x}$ jest określone dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od

Zadanie 2

Dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq -4$ wyrażenie $\dfrac{x^2+8x+16}{3x+12}$ jest równe

Zadanie 3

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $0$ i $5$ wyrażenie $\dfrac{x^2-5x}{x^2}\cdot\dfrac{x}{x-5}$ jest równe

Zadanie 4

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $-2$ i $0$ wyrażenie $\dfrac{x^2-4}{3x}:\dfrac{x+2}{x}$ jest równe

Zadanie 5

Dla $x=\sqrt{3}$ wartość wyrażenia $\dfrac{x^2+3x}{x^2-9}\cdot\dfrac{x-3}{3}$ jest równa

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $0$ i $2$ wyrażenie $\frac{x^{2}+x}{(x-2)^{2}} \cdot \frac{x-2}{x}$ jest równe

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 i 2 wyrażenie (x²+x)/((x-2)²) · (x-2)/x jest równe Matura 2023 — matematyka, poziom podstawowy, termin dodatkowy (czerwiec) · zadanie 7

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wyrażenia i równania wymierne — kurs matura Matemaks

Dziedzina i skracanie wyrażeń wymiernych MARTAmatics PL

Najczęstsze pytania

Jak mnożyć wyrażenia wymierne?

Rozłóż każdy licznik i mianownik na czynniki, zapisz iloczyn jako jeden ułamek i skróć wspólne czynniki: $\dfrac{x^2-1}{x}\cdot\dfrac{3x}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)\cdot 3x}{x\,(x+1)}=3(x-1)$ .

Jak dzielić wyrażenia wymierne?

Zamień dzielenie na mnożenie przez odwrotność dzielnika, a potem skróć: $\dfrac{x}{x-5}:\dfrac{x^2}{x-5}=\dfrac{x}{x-5}\cdot\dfrac{x-5}{x^2}=\dfrac{1}{x}$ .

Jak wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego?

Rozłóż każdy mianownik na czynniki i wyklucz liczby, które go zerują: $x^2-4x=x(x-4)$ , więc $x\neq 0$ i $x\neq 4$ . Przy dzieleniu wyklucz też zera licznika dzielnika.

Kiedy można skracać wyrażenie wymierne?

Tylko wtedy, gdy licznik i mianownik są rozłożone na czynniki — skraca się wspólne czynniki: $\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\dfrac{x-2}{x}$ . Składników sumy skracać nie wolno.

Jak sprawdzić odpowiedź w zadaniu zamkniętym z wyrażeniem wymiernym?

Podstaw wygodną liczbę z dziedziny, np. $x=1$ , do wyrażenia i do każdej odpowiedzi — pasuje tylko jedna.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Działania na wielomianach Wyrażenia algebraiczne Wyłączanie jednomianu poza nawias Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia Wyrażenia algebraiczne Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180° Trygonometria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę