Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias — jak to robić, przykłady

Q: Jak udowodnić podzielność przez wyłączenie przed nawias?

Wyłącz najniższą potęgę i policz nawias: 7ⁿ⁺²-7ⁿ=7ⁿ(7²-1)=48· 7ⁿ, więc ta liczba dzieli się przez 48 dla każdego n≥ 1.

Wyłączanie jednomianu przed nawias to mnożenie czytane od końca: $6x^2+9x=3x(2x+3)$ . Czynnik składamy z NWD współczynników i najniższej potęgi każdej litery, w nawiasie zostają ilorazy, a wynik sprawdzamy mnożeniem.

Wyrażenia algebraiczne · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Jak wyłączyć wspólny czynnik przed nawias

Wyłączanie jednomianu poza nawias to mnożenie czytane od końca: z sumy $6x^2+9x$ wyciągasz największy wspólny czynnik i zapisujesz ją jako iloczyn $3x(2x+3)$ . Czynnik składasz z NWD współczynników i najniższej potęgi każdej litery, w nawiasie zostają ilorazy — a poprawność sprawdzasz mnożeniem.

$12a^3b^2-18a^2b^3+6a^2b^2=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{6a^2b^2(2a-3b+1)}}$ — składnik równy czynnikowi zostawia w nawiasie $1$ , nie $0$ .
$3^{20}+3^{21}=3^{20}(1+3)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4\cdot 3^{20}}}$ ; tak samo $5^{n+1}-5^{n}=5^n(5-1)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4\cdot 5^{n}}}$ — gotowy argument w dowodzie podzielności przez $4$ .
$x^3+4x^2+4x=x(x^2+4x+4)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x(x+2)^2}}$ — po wyłączeniu jednomianu w nawiasie często czeka wzór skróconego mnożenia.
$x^3-4x=0\ \Rightarrow\ x(x-2)(x+2)=0\ \Rightarrow\ x\in\{\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2,\ 0,\ 2}}\}$ — dzielenie obu stron przez $x$ zgubiłoby rozwiązanie $0$ .

Gdzie przydaje się wyłączanie przed nawias

Na maturze: wyłączanie rzadko jest pytane wprost — to pierwszy krok w zadaniu „dla każdej liczby $x$ wyrażenie … jest równe wyrażeniu…” (wyłącz jednomian, zwiń nawias wzorem skróconego mnożenia), w równaniach $W(x)=0$ za 2 pkt i w dowodach podzielności liczb postaci $a^{n+2}\pm a^{n}$ . Karta wzorów CKE podaje wzory skróconego mnożenia, ale czynnik liczbowy (NWD) dobierasz sam. Dwie typowe pułapki: dzielenie równania przez $x$ (znika rozwiązanie $x=0$ ) i „znikający” składnik równy czynnikowi (w nawiasie ma zostać $1$ ).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wyłączanie największego wspólnego jednomianu

Z sumy 2–3 jednomianów jednej zmiennej wyłączasz NWD współczynników i najniższą potęgę x, a w nawiasie zostawiasz ilorazy (składnik równy czynnikowi daje 1).

Zadanie Zapisz wyrażenie $10x^4-15x^3+5x^2$ w postaci iloczynu jednomianu i wielomianu, wyłączając przed nawias największy wspólny czynnik.

Szukam największego wspólnego czynnika: NWD $(10,15,5)=5$ , a najniższa potęga $x$ w składnikach to $x^2$ — wyłączam $5x^2$ .
Dzielę każdy składnik przez $5x^2$ : $10x^4:5x^2=2x^2$ , $-15x^3:5x^2=-3x$ , $5x^2:5x^2=1$ — ostatni składnik nie znika, zostaje $1$ .
Zapisuję iloczyn: $10x^4-15x^3+5x^2=5x^2(2x^2-3x+1)$ .
Sprawdzam mnożeniem: $5x^2\cdot 2x^2=10x^4$ , $5x^2\cdot(-3x)=-15x^3$ , $5x^2\cdot 1=5x^2$ — zgadza się.

Odpowiedź: $5x^2(2x^2-3x+1)$

Przykład 2 Wspólny czynnik z kilkoma zmiennymi

Dla każdej litery osobno bierzesz najniższą potęgę, mnożysz przez NWD współczynników i dzielisz każdy składnik przez ten jednomian.

Zadanie Wyłącz przed nawias największy wspólny czynnik z wyrażenia $12a^3b^2-18a^2b^3+6a^2b^2$ .

Część liczbowa czynnika: NWD $(12,18,6)=6$ .
Część literowa — dla każdej litery najniższy wykładnik: $a$ występuje w potęgach $3,2,2$ , więc biorę $a^2$ ; $b$ w potęgach $2,3,2$ , więc $b^2$ . Czynnik: $6a^2b^2$ .
Dzielę każdy składnik przez $6a^2b^2$ : $12a^3b^2:6a^2b^2=2a$ , $-18a^2b^3:6a^2b^2=-3b$ , $6a^2b^2:6a^2b^2=1$ .
Wynik: $12a^3b^2-18a^2b^3+6a^2b^2=6a^2b^2(2a-3b+1)$ ; sprawdzenie: $6a^2b^2\cdot 1=6a^2b^2$ , więc trzeci składnik zostawia w nawiasie $1$ , nie $0$ .

Odpowiedź: $6a^2b^2(2a-3b+1)$

Przykład 3 Sprytne liczenie potęg przez wyłączenie czynnika

Wyłączasz wspólny czynnik liczbowy lub wspólną potęgę (a·c + b·c = (a + b)·c), dodajesz to, co zostaje w nawiasie, i dopiero mnożysz.

Zadanie Oblicz $5^{16}-5^{15}$ i zapisz wynik w postaci $k\cdot 5^{15}$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Odejmowanie potęg nie odejmuje wykładników — szukam wspólnego czynnika: niższa potęga to $5^{15}$ , bo $5^{16}=5\cdot 5^{15}$ .
Wyłączam $5^{15}$ przed nawias: $5^{16}-5^{15}=5^{15}\cdot 5-5^{15}\cdot 1=5^{15}(5-1)$ .
Liczę nawias: $5-1=4$ , więc $5^{16}-5^{15}=4\cdot 5^{15}$ , czyli $k=4$ .

Odpowiedź: $4\cdot 5^{15}$ ( $k=4$ )

Przykład 4 Wyłączanie potęgi w dowodzie podzielności

Z sumy potęg tej samej liczby z wykładnikami n, n+1, n+2 wyłączasz najniższą potęgę i odczytujesz z nawiasu liczbę, przez którą całość jest podzielna.

Zadanie Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $7^{n+2}-7^{n}$ jest podzielna przez $48$ .

Wykładniki różnią się o $2$ , więc oba składniki mają wspólny czynnik $7^{n}$ : $7^{n+2}=7^{n}\cdot 7^{2}$ .
Wyłączam najniższą potęgę przed nawias: $7^{n+2}-7^{n}=7^{n}\cdot 7^{2}-7^{n}\cdot 1=7^{n}(7^{2}-1)$ .
W nawiasie zostaje konkretna liczba: $7^{2}-1=49-1=48$ , czyli $7^{n+2}-7^{n}=48\cdot 7^{n}$ .
Liczba $48\cdot 7^{n}$ jest iloczynem $48$ i liczby naturalnej, więc dzieli się przez $48$ dla każdego $n\ge 1$ .

Odpowiedź: $7^{n+2}-7^{n}=48\cdot 7^{n}$ , więc dzieli się przez $48$ .

Przykład 5 Wyłączenie jednomianu, a potem wzór skróconego mnożenia

Najpierw wyłączasz przed nawias wspólny jednomian, a potem to, co zostało w nawiasie, zwijasz do kwadratu dwumianu albo do różnicy kwadratów.

Zadanie Zapisz wyrażenie $2x^{3}+12x^{2}+18x$ w postaci iloczynu jednomianu i kwadratu dwumianu.

Największy wspólny czynnik to $2x$ : NWD liczb $2$ , $12$ , $18$ wynosi $2$ , a najniższa potęga zmiennej to $x$ .
Wyłączam go przed nawias: $2x^{3}+12x^{2}+18x=2x(x^{2}+6x+9)$ .
Nawias sprawdzam pod kątem wzoru na kwadrat sumy: $9=3^{2}$ oraz $6x=2\cdot x\cdot 3$ , więc $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$ .
Zatem $2x^{3}+12x^{2}+18x=2x(x+3)^{2}$ ; mnożenie z powrotem daje wyjściowe wyrażenie.

Odpowiedź: $2x(x+3)^{2}$

Przykład 6 Równanie rozwiązane przez wyłączenie czynnika

Przenosisz wszystko na jedną stronę, wyłączasz wspólny czynnik i korzystasz z tego, że iloczyn jest zerem wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników.

Zadanie Rozwiąż równanie $x^{3}=16x$ .

Przenoszę wszystko na lewą stronę: $x^{3}-16x=0$ . Nie dzielę obu stron przez $x$ , bo straciłbym rozwiązanie $x=0$ .
Wyłączam wspólny czynnik $x$ : $x(x^{2}-16)=0$ .
Nawias to różnica kwadratów: $x(x-4)(x+4)=0$ .
Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem: $x=0$ lub $x=4$ , lub $x=-4$ .

Odpowiedź: $x=-4$ , $x=0$ , $x=4$

Najczęstsze błędy

„Znikający” składnik równy czynnikowi. Po wyłączeniu zostaje w nawiasie $1$ , nie $0$ : $10x^4-15x^3+5x^2=5x^2(2x^2-3x+1)$ .
Dzielenie równania przez $x$ — znika rozwiązanie $x=0$ . Zamiast tego wyłączamy $x$ : $x^3-16x=x(x-4)(x+4)=0$ , więc $x\in\{-4,0,4\}$ .
Odejmowanie wykładników przy odejmowaniu potęg. $5^{16}-5^{15}$ to nie $5^1$ — wyłączamy $5^{15}$ : $5^{15}(5-1)=4\cdot 5^{15}$ .
Wyłączenie zbyt małego czynnika. Bierzemy NWD współczynników i najniższą potęgę każdej litery: z $12a^3b^2-18a^2b^3+6a^2b^2$ wyłączamy $6a^2b^2$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Wyrażenie $4x^3-6x^2+2x$ zapisano w postaci $2x(ax^2+bx+c)$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ są liczbami całkowitymi. Wtedy $a+b+c$ jest równe:

Zadanie 2

Wyrażenie $6m^2n-9mn^2+3mn$ zapisano w postaci $3mn\cdot(\ldots)$ , wyłączając największy wspólny czynnik. W nawiasie znajduje się wyrażenie:

Zadanie 3

Liczba $3^{20}+3^{21}$ jest równa:

Zadanie 4

Dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $2^{n+3}+2^{n+1}$ jest podzielna przez:

Zadanie 5

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $3x^{3}-12x$ jest równa wartości wyrażenia:

Zadanie 6

Zbiorem rozwiązań równania $x^{3}-4x=0$ jest zbiór:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $x^{3} - 2x^{2} + x$ jest równa wartości wyrażenia

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias MiedzianyFsor

Jak wyłączać wspólny czynnik przed nawias — zastosowania A po co MI ta MATMA?

Najczęstsze pytania

Jak wyłączyć wspólny czynnik przed nawias?

Znajdź NWD współczynników i najniższą potęgę każdej litery — to jest czynnik. Każdy składnik podziel przez ten czynnik i wpisz ilorazy do nawiasu: $10x^4-15x^3+5x^2=5x^2(2x^2-3x+1)$ . Na koniec sprawdź wynik mnożeniem.

Jak wyłączyć potęgę przed nawias?

Wyłącz potęgę o najniższym wykładniku i policz to, co zostało w nawiasie: $3^{20}+3^{21}=3^{20}(1+3)=4\cdot 3^{20}$ .

Jak udowodnić podzielność przez wyłączenie przed nawias?

Wyłącz najniższą potęgę i policz nawias: $7^{n+2}-7^{n}=7^{n}(7^{2}-1)=48\cdot 7^{n}$ , więc ta liczba dzieli się przez $48$ dla każdego $n\ge 1$ .

Co zrobić z nawiasem po wyłączeniu jednomianu?

Sprawdź, czy nie da się go zwinąć wzorem skróconego mnożenia: $2x^3+12x^2+18x=2x(x^2+6x+9)=2x(x+3)^2$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Działania na wielomianach Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia wymierne — mnożenie i dzielenie Wyrażenia algebraiczne Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Kąty i przekątne czworokątów Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę