Układy równań w zadaniach tekstowych — jak ułożyć i rozwiązać

Q: Jak rozwiązać zadanie tekstowe układem równań?

Oznacz dwie szukane wielkości przez x i y, każdy warunek z treści zapisz jako jedno równanie, rozwiąż układ (np. podstawianiem) i odpowiedz na pytanie z treści — czasem o różnicę lub sumę, a nie o samo x.

Q: Jak zapisać „o więcej” i „razy więcej” w równaniu?

„Ania ma o 6 zł więcej niż Bartek” to x = y + 6. Przy „razy więcej” mnożymy liczbę, której jest mniej: gdy liściastych (y) ma być 3 razy więcej niż iglastych (x + 18), piszemy y = 3(x + 18).

Q: Jak zapisać procenty w układzie równań?

Procent zamieniamy na ułamek dziesiętny: 12% kwoty x to 0,12x. Gdy ubyło 20%, zostało 0,8x — i kolejny procent liczymy z tej pozostałej ilości.

Zadanie tekstowe z dwiema niewiadomymi rozwiązujemy w trzech ruchach: oznaczamy szukane wielkości przez $x$ i $y$ , każdy warunek z treści zamieniamy na jedno równanie, a po rozwiązaniu układu wracamy do pytania — odpowiedź to nie zawsze $x$ .

Układy równań · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Jak rozwiązać zadanie tekstowe układem równań

Zadanie tekstowe z dwiema niewiadomymi rozwiązujesz w trzech ruchach: oznaczasz szukane wielkości przez $x$ i $y$ , każdy warunek z treści zamieniasz na jedno równanie, a po rozwiązaniu układu wracasz do pytania — odpowiedź to nie zawsze $x$ .

Jak zapisać „o więcej” i „razy więcej”

„Razem 50 zł, Ania ma o 6 zł więcej niż Bartek”: $x + y = 50$ i $x = y + 6$ , skąd $x = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{28}}$ .

„Gdyby drzew iglastych ( $x$ ) było o 18 więcej, to liściastych ( $y$ ) byłoby 3 razy więcej niż iglastych”: przez 3 mnożysz tę liczbę, której jest mniej — $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{y = 3(x + 18)}}$ .

Układ równań z procentami

Procenty: „zespół A wydał 12% swojej kwoty, zespół B 9% swojej, razem 63 000 zł” to $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{0{,}12x + 0{,}09y = 63\,000}}$ . „Uschło 20% drzew” oznacza, że zostało $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{0{,}8x}}$ — i procent w kolejnym warunku liczysz z tego, co zostało.

Ceny dziesiętne: $x + y = 60$ i $12x + 6{,}75y = 618{,}75$ — podstaw $y = 60 - x$ , a jeśli ułamki przeszkadzają, pomnóż równanie przez 100.

Układ równań w zadaniu maturalnym — za co są punkty

Na maturze: układ w zadaniu tekstowym to zwykle zadanie otwarte za 2 pkt („Oblicz… Zapisz obliczenia.”) — punkt za poprawny układ i punkt za wynik, więc układ zapisz zawsze, nawet gdy dalej się pomylisz. W zadaniu zamkniętym „wybierz układ” sprawdź dwie pułapki: z której liczby bierzesz procent (z tej, która ZOSTAŁA) i którą stronę mnożysz przy „razy więcej”. Na koniec przeczytaj pytanie jeszcze raz: pytają o $x$ , o $y$ , czy o coś z nich policzone (różnicę, sumę, liczbę dwucyfrową).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Układ z warunków „razem”, „o więcej”, „razy więcej”

Oznaczasz dwie niewiadome i zamieniasz każdy warunek z treści na równanie, pilnując, po której stronie stoi „o więcej” i którą liczbę mnożysz przy „razy więcej”.

Zadanie W bibliotece szkolnej jest łącznie 540 książek: powieści i lektur. Gdyby lektur było o 30 więcej, niż jest teraz, to powieści byłoby 2 razy więcej niż lektur. Niech $x$ — liczba powieści, $y$ — liczba lektur. Zapisz układ równań, którego rozwiązanie prowadzi do obliczenia $x$ i $y$ .

Pierwszy warunek dotyczy stanu obecnego: „łącznie 540” to $x + y = 540$ .
Drugi warunek opisuje sytuację hipotetyczną: lektur byłoby $y + 30$ , a powieści bez zmian, czyli $x$ .
„Powieści byłoby 2 razy więcej niż lektur” — większa wielkość to podwojona mniejsza, więc mnożę liczbę lektur: $x = 2(y + 30)$ . Pułapka: $2x = y + 30$ znaczyłoby, że lektur jest więcej.
Układ: $x + y = 540$ i $x = 2(y + 30)$ . Sprawdzenie: $y = 160$ , $x = 380$ — istotnie $380 = 2 \cdot 190$ .

Odpowiedź: $x + y = 540$ i $x = 2(y + 30)$

Przykład 2 Rozwiązanie układu i odpowiedź na pytanie z treści

Rozwiązujesz układ podstawianiem i wracasz do treści: odpowiadasz na to, o co pytano — czasem o drugą niewiadomą, sumę, różnicę albo liczbę zbudowaną z cyfr.

Zadanie Za 3 kg czereśni i 2 kg truskawek zapłacono 58 zł, a za 1 kg czereśni i 4 kg truskawek — 46 zł. O ile złotych kilogram czereśni jest droższy od kilograma truskawek?

Oznaczam: $x$ — cena kilograma czereśni, $y$ — cena kilograma truskawek. Układ: $3x + 2y = 58$ i $x + 4y = 46$ .
Z drugiego równania najłatwiej wyznaczyć $x$ (współczynnik 1): $x = 46 - 4y$ .
Podstawiam do pierwszego: $3(46 - 4y) + 2y = 58$ , czyli $138 - 10y = 58$ , więc $10y = 80$ i $y = 8$ .
Wracam po $x$ : $x = 46 - 4 \cdot 8 = 14$ . Sprawdzenie: $3 \cdot 14 + 2 \cdot 8 = 58$ .
Pytanie brzmi „o ile droższy”, więc odpowiedź to różnica cen: $14 - 8 = 6$ zł.

Odpowiedź: o 6 zł

Przykład 3 Liczba sztuk i cena z ułamkami dziesiętnymi

Z liczby sztuk i łącznej kwoty układasz układ z cenami dziesiętnymi, podstawiasz tę niewiadomą, o którą nie pytają, i liczysz szukaną ilość — w razie potrzeby mnożąc równanie przez 10 lub 100.

Zadanie Kwiaciarnia kupiła 60 róż: $x$ róż czerwonych po 4,50 zł za sztukę i $y$ róż białych po 3,20 zł za sztukę. Za wszystkie róże zapłaciła 238,80 zł. Ile róż białych kupiła kwiaciarnia?

Układ: liczba róż $x + y = 60$ , koszt $4{,}5x + 3{,}2y = 238{,}8$ .
Pytają o $y$ , więc z pierwszego równania wyznaczam $x = 60 - y$ — wtedy po podstawieniu od razu dostanę $y$ .
Podstawiam: $4{,}5(60 - y) + 3{,}2y = 238{,}8$ , czyli $270 - 4{,}5y + 3{,}2y = 238{,}8$ , a po uproszczeniu $270 - 1{,}3y = 238{,}8$ .
$1{,}3y = 31{,}2$ ; jeśli ułamki przeszkadzają, mnożę przez 10: $13y = 312$ , więc $y = 24$ .
Sprawdzenie: $x = 36$ , $4{,}5 \cdot 36 + 3{,}2 \cdot 24 = 162 + 76{,}8 = 238{,}8$ . Róż białych było 24.

Odpowiedź: 24 róże białe

Przykład 4 Układ równań z warunkami procentowymi

Zapisujesz warunek procentowy równaniem: procent z jednej kwoty plus procent z drugiej daje kwotę łączną, a po ubytku zostaje dopełnienie do 100% — i dopiero z tego liczysz kolejny procent.

Zadanie W dwóch magazynach złożono łącznie $3400$ ton zboża. Po zimie ubyło $20\%$ zboża w pierwszym magazynie i $10\%$ zboża w drugim magazynie. Ilość zboża, która pozostała w drugim magazynie, stanowiła $75\%$ ilości zboża, która pozostała w pierwszym magazynie. Niech $x$ oraz $y$ oznaczają ilości zboża (w tonach) złożone — odpowiednio — w pierwszym i drugim magazynie. Zapisz układ równań, którego rozwiązanie prowadzi do obliczenia $x$ i $y$ .

Pierwszy warunek dotyczy stanu początkowego, przed ubytkiem: $x + y = 3400$ .
Ubyło $20\%$ , więc w pierwszym magazynie pozostało $100\% - 20\% = 80\%$ zboża, czyli $0{,}8x$ ; w drugim pozostało $0{,}9y$ .
Drugi warunek porównuje ilości, które ZOSTAŁY, a nie te, które złożono: $0{,}9y = 0{,}75 \cdot 0{,}8x$ .
Układ: $x + y = 3400$ i $0{,}9y = 0{,}75 \cdot 0{,}8x$ . Sprawdzenie: $0{,}9y = 0{,}6x$ , więc $y = \frac{2}{3}x$ , skąd $x = 2040$ i $y = 1360$ — istotnie $0{,}9 \cdot 1360 = 1224$ to $75\%$ z $0{,}8 \cdot 2040 = 1632$ .

Odpowiedź: $x + y = 3400$ i $0{,}9y = 0{,}75 \cdot 0{,}8x$

Przykład 5 Rozwiązanie układu z procentami

Rozwiązujesz podstawianiem układ, w którym drugie równanie ma procenty — mnożąc je przez 10 lub 100, gdy przeszkadzają ułamki — i odpowiadasz dokładnie na pytanie z treści.

Zadanie Gmina rozdzieliła $900\,000$ zł łącznie na dwie szkoły: A i B. W pierwszym półroczu szkoła A wykorzystała $15\%$ przyznanej jej kwoty, a szkoła B — $8\%$ przyznanej jej kwoty; razem szkoły wykorzystały $100\,000$ zł. Oblicz kwotę przyznaną szkole A.

Oznaczam: $x$ — kwota szkoły A, $y$ — kwota szkoły B. Warunki: $x + y = 900\,000$ oraz $0{,}15x + 0{,}08y = 100\,000$ .
Pytają o $x$ , więc podstawiam tę drugą niewiadomą: $y = 900\,000 - x$ , i wstawiam do drugiego równania: $0{,}15x + 0{,}08(900\,000 - x) = 100\,000$ .
Po rozwinięciu: $0{,}15x + 72\,000 - 0{,}08x = 100\,000$ , czyli $0{,}07x = 28\,000$ .
Mnożę przez $100$ , żeby pozbyć się ułamka: $7x = 2\,800\,000$ , więc $x = 400\,000$ . Sprawdzenie: $0{,}15 \cdot 400\,000 + 0{,}08 \cdot 500\,000 = 60\,000 + 40\,000 = 100\,000$ .

Odpowiedź: $400\,000$ zł

Najczęstsze błędy

Mnożenie złej strony przy „razy więcej”. „Powieści byłoby 2 razy więcej niż lektur” to $x = 2(y + 30)$ — mnożymy tę liczbę, której jest mniej.
Procent liczony ze stanu początkowego zamiast z tego, co zostało. Po ubytku $20\%$ zostaje $0{,}8x$ i kolejny procent liczymy z $0{,}8x$ .
Odpowiedź $x$ , gdy pytanie dotyczy czegoś innego — $y$ , różnicy albo sumy. Na koniec trzeba przeczytać pytanie jeszcze raz.
Brak zapisanego układu w zadaniu otwartym. Za sam poprawny układ jest punkt, więc zapisuje się go zawsze, nawet przy późniejszej pomyłce.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Dwie sąsiadki mają łącznie 90 kur. Gdyby pierwsza sąsiadka sprzedała drugiej 10 kur, obie miałyby tyle samo kur. Niech $x$ — liczba kur pierwszej sąsiadki, $y$ — liczba kur drugiej. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia $x$ i $y$ , jest

Zadanie 2

W hotelu są pokoje dwuosobowe i trzyosobowe — łącznie 40 pokoi, w których może nocować 95 osób. Liczba pokoi trzyosobowych w tym hotelu jest równa

Zadanie 3

Właściciel kawiarni kupił 40 kg kawy: $x$ kg arabiki w cenie 52 zł za kilogram oraz $y$ kg robusty w cenie 38,50 zł za kilogram. Za kawę zapłacił łącznie 1837 zł. Liczba kilogramów arabiki, które kupił, jest równa

Zadanie 4

W dwóch stawach hodowlanych było łącznie $2400$ ryb. Po zimie ubyło $25\%$ ryb w pierwszym stawie i $10\%$ ryb w drugim stawie. Liczba ryb, które pozostały w drugim stawie, stanowiła $60\%$ liczby ryb, które pozostały w pierwszym stawie. Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby ryb — odpowiednio — w pierwszym i drugim stawie przed zimą. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia $x$ i $y$ , jest

Zadanie 5

W dwóch sadach posadzono łącznie $1400$ drzew. Po roku stwierdzono, że uschło $25\%$ drzew w pierwszym sadzie i $20\%$ drzew w drugim sadzie; uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $80\%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. W pierwszym sadzie posadzono

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 10

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie $1960$ drzew. Po roku stwierdzono, że uschło $5\%$ drzew w pierwszym sadzie i $10\%$ drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $60\%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kurs — matura podstawowa: układy równań w zadaniach z treścią Matemaks

Układy równań i zadania tekstowe — powtórka maturalna Matma Z Pasją

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać zadanie tekstowe układem równań?

Oznacz dwie szukane wielkości przez $x$ i $y$ , każdy warunek z treści zapisz jako jedno równanie, rozwiąż układ (np. podstawianiem) i odpowiedz na pytanie z treści — czasem o różnicę lub sumę, a nie o samo $x$ .

Jak zapisać „o więcej” i „razy więcej” w równaniu?

„Ania ma o 6 zł więcej niż Bartek” to $x = y + 6$ . Przy „razy więcej” mnożymy liczbę, której jest mniej: gdy liściastych ( $y$ ) ma być 3 razy więcej niż iglastych ( $x + 18$ ), piszemy $y = 3(x + 18)$ .

Jak zapisać procenty w układzie równań?

Procent zamieniamy na ułamek dziesiętny: $12\%$ kwoty $x$ to $0{,}12x$ . Gdy ubyło $20\%$ , zostało $0{,}8x$ — i kolejny procent liczymy z tej pozostałej ilości.

Co zrobić, gdy w układzie są ułamki dziesiętne?

Wyznacz jedną niewiadomą z prostszego równania i podstaw do drugiego. Jeśli ułamki przeszkadzają, pomnóż równanie przez 10 lub 100: $1{,}3y = 31{,}2$ to $13y = 312$ , więc $y = 24$ .

Ile punktów jest za układ równań na maturze?

Zadanie tekstowe z układem to zwykle zadanie otwarte za 2 pkt: jeden punkt za poprawnie zapisany układ, drugi za wynik.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Układy równań liniowych Układy równań Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania na wielomianach Wyrażenia algebraiczne Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Kąty i przekątne czworokątów Planimetria Kąty wpisane i środkowe Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę