Układy równań liniowych — podstawianie i przeciwne współczynniki

Q: Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania?

Z jednego równania wyznacz jedną niewiadomą, np. y = 3x - 7, i wstaw to wyrażenie w nawiasie do drugiego równania. Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą, a drugą oblicz z wyznaczonego wzoru.

Układ dwóch równań liniowych rozwiązujemy metodą podstawiania (wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego równania) albo przeciwnych współczynników (dodajemy równania stronami). Rozwiązanie to punkt wspólny dwóch prostych.

Układy równań · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Metody rozwiązywania układu równań

Układ dwóch równań liniowych rozwiązuję metodą podstawiania (wyznaczam jedną niewiadomą z jednego równania i wstawiam do drugiego) albo przeciwnych współczynników (mnożę równanie tak, by przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodaję równania stronami). Geometrycznie każde równanie to prosta, a rozwiązanie układu to punkt wspólny obu prostych.

$3x - y = 7$ i $2x + 3y = 1$ : z pierwszego $y = 3x - 7$ , wstawiam do drugiego: $2x + 3(3x - 7) = 1$ , $11x = 22$ , $x = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ , $y = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-1}}$
$3x + 2y = 4$ i $5x - 4y = 14$ : pierwsze mnożę przez 2 i dodaję stronami: $11x = 22$ , $x = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ , $y = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-1}}$
proste $y = 2x - 5$ i $y = -x + 4$ : $2x - 5 = -x + 4$ , $x = 3$ , przecinają się w punkcie $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(3, 1)}}$
$2x - 3y = 6$ i $-4x + 6y = 5$ : lewe strony są proporcjonalne (pierwsza razy $-2$ ), prawe nie ( $-12 \neq 5$ ) — proste równoległe, układ sprzeczny, $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\text{brak rozwiązań}}}$ ; gdyby drugie równanie brzmiało $-4x + 6y = -12$ , byłaby to ta sama prosta — układ nieoznaczony, nieskończenie wiele rozwiązań

Układy równań na maturze

Na maturze: zadania z układów to zwykle 1 punkt w dwóch odsłonach: „ile rozwiązań ma układ” (sprawdź, czy jedno równanie jest wielokrotnością drugiego — całe, czy tylko lewa strona) oraz „który układ przedstawiono na rysunku” (odczytaj, gdzie proste przecinają oś $OY$ i czy rosną, czy maleją — to zwykle eliminuje trzy odpowiedzi). Karta wzorów CKE nie zawiera nic o układach, liczy się technika. Typowa pułapka przy podstawianiu: wstaw wyrażenie w nawiasie, $3(y - 2)$ , a nie $3y - 2$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Metoda podstawiania

Wyznaczasz jedną niewiadomą z jednego równania, wstawiasz ją w nawiasie do drugiego i liczysz obie niewiadome.

Zadanie Para liczb $(x, y)$ jest rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} 3x - y = 7 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$ . Oblicz iloczyn $x \cdot y$ .

Wybieram równanie, z którego najłatwiej wyznaczyć niewiadomą: w pierwszym $y$ ma współczynnik $-1$ , więc $y = 3x - 7$ .
Podstawiam to wyrażenie (w nawiasie!) zamiast $y$ do drugiego równania: $2x + 3(3x - 7) = 1$ .
Wymnażam nawias i porządkuję: $2x + 9x - 21 = 1$ , czyli $11x = 22$ , więc $x = 2$ .
Wracam do wyznaczonego $y = 3x - 7$ : $y = 6 - 7 = -1$ .
Sprawdzam w drugim równaniu: $2 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 1$ ✓. Iloczyn $x \cdot y = 2 \cdot (-1) = -2$ .

Odpowiedź: $x = 2$ , $y = -1$ , więc $x \cdot y = -2$

Przykład 2 Metoda przeciwnych współczynników

Mnożysz równanie tak, by przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, dodajesz równania stronami i liczysz obie niewiadome.

Zadanie Para liczb $(x, y)$ jest rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} 3x + 2y = 4 \\ 5x - 4y = 14 \end{cases}$ . Oblicz $x - y$ .

Przy $y$ stoją $2$ i $-4$ — wystarczy pomnożyć pierwsze równanie przez $2$ , żeby otrzymać $+4y$ : $6x + 4y = 8$ .
Dodaję stronami $6x + 4y = 8$ i $5x - 4y = 14$ : wyrazy z $y$ znoszą się, zostaje $11x = 22$ , więc $x = 2$ .
Podstawiam $x = 2$ do pierwszego równania: $6 + 2y = 4$ , czyli $2y = -2$ , $y = -1$ .
Sprawdzam w drugim: $5 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) = 14$ ✓. Zatem $x - y = 2 - (-1) = 3$ .

Odpowiedź: $x = 2$ , $y = -1$ , więc $x - y = 3$

Przykład 3 Układ równań z treści zadania

Zapisujesz dwa warunki z treści jako dwa równania z x i y, rozwiązujesz układ i odpowiadasz na pytanie z zadania.

Zadanie Za 3 bilety normalne i 2 ulgowe zapłacono 84 zł, a za 1 bilet normalny i 4 ulgowe — 68 zł. Ile kosztuje bilet ulgowy?

Oznaczam: $x$ — cena biletu normalnego, $y$ — ulgowego. Pierwszy zakup: $3x + 2y = 84$ , drugi: $x + 4y = 68$ .
W drugim równaniu $x$ ma współczynnik 1, więc stamtąd wyznaczam $x = 68 - 4y$ i podstawiam do pierwszego.
$3(68 - 4y) + 2y = 84$ , czyli $204 - 12y + 2y = 84$ , stąd $-10y = -120$ , $y = 12$ .
$x = 68 - 4 \cdot 12 = 20$ . Sprawdzenie: $3 \cdot 20 + 2 \cdot 12 = 84$ ✓. Odpowiadam na pytanie z treści: bilet ulgowy kosztuje 12 zł.

Odpowiedź: 12 zł (bilet normalny 20 zł)

Przykład 4 Punkt przecięcia dwóch prostych

Współrzędne punktu wspólnego dwóch prostych znajdujesz, rozwiązując układ ich równań, a gdy punkt jest dany — podstawiasz go i wyznaczasz parametr.

Zadanie Proste o równaniach $y = 2x - 5$ i $y = -x + 4$ przecinają się w punkcie $P$ . Wyznacz współrzędne $P$ i sprawdź, czy $P$ leży na prostej o równaniu $y = 3x - 8$ .

Punkt wspólny prostych to para $(x, y)$ spełniająca oba równania — czyli rozwiązanie układu $y = 2x - 5$ , $y = -x + 4$ .
Obie proste mają wyznaczone $y$ , więc porównuję prawe strony: $2x - 5 = -x + 4$ , stąd $3x = 9$ , $x = 3$ .
Podstawiam do dowolnego z równań: $y = 2 \cdot 3 - 5 = 1$ . Zatem $P = (3, 1)$ .
Sprawdzam trzecią prostą: dla $x = 3$ mamy $3 \cdot 3 - 8 = 1 = y_P$ , więc $P$ leży również na prostej $y = 3x - 8$ .

Odpowiedź: $P = (3, 1)$ ; tak, leży

Przykład 5 Układ równań odczytany z rysunku prostych

Z rysunku odczytujesz wyraz wolny (przecięcie z osią OY) oraz znak i wartość współczynnika kierunkowego każdej prostej, a potem wybierasz pasujący układ.

Zadanie Na rysunku prosta $k$ jest malejąca i przecina osie w punktach $(0, 4)$ i $(2, 0)$ , a prosta $l$ jest rosnąca i przechodzi przez punkty $(0, 1)$ i $(1, 2)$ . Zapisz układ równań, którego interpretacją geometryczną są te proste, i podaj współrzędne ich punktu przecięcia.

Wyraz wolny $b$ odczytuję z przecięcia z osią $OY$ : dla $k$ to $4$ , dla $l$ to $1$ .
Współczynnik kierunkowy $k$ : między $(0, 4)$ a $(2, 0)$ zmiana $y$ to $-4$ przy zmianie $x$ o $2$ , więc $a = \frac{-4}{2} = -2$ (ujemny — prosta malejąca ✓). Zatem $k\colon y = -2x + 4$ .
Dla $l$ : z $(0, 1)$ do $(1, 2)$ zmiana $y$ to $+1$ przy zmianie $x$ o $1$ , więc $a = 1$ (dodatni — prosta rosnąca ✓). Zatem $l\colon y = x + 1$ .
Układ: $y = -2x + 4$ i $y = x + 1$ . Punkt przecięcia: $-2x + 4 = x + 1$ , $3x = 3$ , $x = 1$ , $y = 2$ , czyli $(1, 2)$ .

Odpowiedź: $\begin{cases} y = -2x + 4 \\ y = x + 1 \end{cases}$ , punkt przecięcia $(1, 2)$

Przykład 6 Ile rozwiązań ma układ — sprzeczny czy nieoznaczony

Mnożysz jedno równanie tak, by lewe strony były identyczne (albo sprowadzasz oba do y = ax + b), i po współczynnikach rozpoznajesz układ oznaczony, nieoznaczony lub sprzeczny.

Zadanie Ile rozwiązań ma układ równań $\begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ -4x + 6y = 5 \end{cases}$ ?

Sprawdzam, czy lewe strony są proporcjonalne: $-4x + 6y$ to lewa strona pierwszego równania $2x - 3y$ pomnożona przez $-2$ .
Mnożę więc całe pierwsze równanie przez $-2$ : $-4x + 6y = -12$ .
Porównuję z drugim: te same lewe strony, ale prawe $-12 \neq 5$ . Wyrażenie $-4x + 6y$ nie może być równocześnie równe $-12$ i $5$ — żadna para $(x, y)$ nie spełnia obu równań.
Geometrycznie: obie proste mają współczynnik kierunkowy $\frac{2}{3}$ , a różne wyrazy wolne ( $-2$ oraz $\frac{5}{6}$ ) — są równoległe i różne. Układ jest sprzeczny: nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań (układ sprzeczny)

Najczęstsze błędy

Wstawienie wyrażenia bez nawiasu przy podstawianiu. Ma być $3(y - 2)$ , a nie $3y - 2$ .
Uznanie układu za sprzeczny tylko po lewych stronach. Gdy lewe strony są proporcjonalne, sprawdź też prawe: jeśli i one są proporcjonalne, to ta sama prosta — układ nieoznaczony, z nieskończenie wieloma rozwiązaniami.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Para liczb $(x, y)$ jest rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} 2x - y = 7 \\ x + 3y = 0 \end{cases}$ . Wtedy $x + y$ jest równe:

Zadanie 2

Para liczb $(x, y)$ jest rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ . Wtedy $x \cdot y$ jest równe:

Zadanie 3

Ola jest o 4 lata starsza od Kuby. Za 3 lata suma ich wieku będzie równa 30 lat. Ile lat ma teraz Kuba?

Zadanie 4

Proste o równaniach $2x + y = 1$ oraz $x - y = 5$ przecinają się w punkcie $P$ . Punkt $P$ leży:

Zadanie 5

W układzie współrzędnych narysowano dwie proste: prosta $k$ przechodzi przez punkty $(0, 3)$ i $(3, 0)$ , a prosta $l$ przez punkty $(0, -2)$ i $(1, 0)$ . Układem równań, którego interpretacją geometryczną są te proste, jest:

Zadanie 6

Układ równań $\begin{cases} 3x + y = 4 \\ 6x + 2y = 8 \end{cases}$ :

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 10

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Układy równań liniowych — metoda podstawiania Zaliczone na 5!

Układy równań — całościowe omówienie Lernado

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania?

Z jednego równania wyznacz jedną niewiadomą, np. $y = 3x - 7$ , i wstaw to wyrażenie w nawiasie do drugiego równania. Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą, a drugą oblicz z wyznaczonego wzoru.

Na czym polega metoda przeciwnych współczynników?

Mnożymy równanie tak, by przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodajemy równania stronami — ta niewiadoma znika. Z $3x + 2y = 4$ i $5x - 4y = 14$ po pomnożeniu pierwszego przez $2$ i dodaniu: $11x = 22$ .

Co to jest układ sprzeczny i nieoznaczony?

Układ sprzeczny nie ma rozwiązań — proste są równoległe i różne (lewe strony proporcjonalne, prawe nie). Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań — oba równania opisują tę samą prostą.

Jak sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań?

Sprawdź, czy jedno równanie jest wielokrotnością drugiego: całe — układ nieoznaczony, tylko lewa strona — sprzeczny. W przeciwnym razie proste się przecinają i układ ma jedno rozwiązanie — ich punkt wspólny.

Jaka jest interpretacja geometryczna układu równań?

Każde równanie liniowe to prosta, a rozwiązanie układu to punkt wspólny obu prostych. Np. proste $y = 2x - 5$ i $y = -x + 4$ przecinają się w punkcie $(3, 1)$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Układy równań w zadaniach tekstowych Układy równań Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania na wielomianach Wyrażenia algebraiczne Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste Interpretacja współczynników funkcji liniowej Funkcje Kąty i przekątne czworokątów Planimetria Kąty wpisane i środkowe Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę