Układy równań liniowych — wytłumaczenie, wzór i zadania

Układ dwóch równań liniowych rozwiązuję metodą podstawiania (wyznaczam jedną niewiadomą z jednego równania i wstawiam do drugiego) albo przeciwnych współczynników (mnożę równanie tak, by przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodaję równania stronami). Geometrycznie każde równanie to prosta, a rozwiązanie układu to punkt wspólny obu prostych.

• $3x - y = 7$ i $2x + 3y = 1$: z pierwszego $y = 3x - 7$, wstawiam do drugiego: $2x + 3(3x - 7) = 1$, $11x = 22$, $x = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$, $y = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-1}}$
• $3x + 2y = 4$ i $5x - 4y = 14$: pierwsze mnożę przez 2 i dodaję stronami: $11x = 22$, $x = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$, $y = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-1}}$
• proste $y = 2x - 5$ i $y = -x + 4$: $2x - 5 = -x + 4$, $x = 3$, przecinają się w punkcie $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(3, 1)}}$
• $2x - 3y = 6$ i $-4x + 6y = 5$: lewe strony są proporcjonalne (pierwsza razy $-2$), prawe nie ($-12 \neq 5$) — proste równoległe, układ sprzeczny, $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\text{brak rozwiązań}}}$; gdyby drugie równanie brzmiało $-4x + 6y = -12$, byłaby to ta sama prosta — układ nieoznaczony, nieskończenie wiele rozwiązań

Na maturze: zadania z układów to zwykle 1 punkt w dwóch odsłonach: „ile rozwiązań ma układ” (sprawdź, czy jedno równanie jest wielokrotnością drugiego — całe, czy tylko lewa strona) oraz „który układ przedstawiono na rysunku” (odczytaj, gdzie proste przecinają oś $OY$ i czy rosną, czy maleją — to zwykle eliminuje trzy odpowiedzi). Karta wzorów CKE nie zawiera nic o układach, liczy się technika. Typowa pułapka przy podstawianiu: wstaw wyrażenie w nawiasie, $3(y - 2)$, a nie $3y - 2$.