Równoważne przekształcanie równań — wytłumaczenie, wzór i zadania

Równanie przekształcasz równoważnie, gdy do obu stron dodajesz to samo wyrażenie albo obie strony mnożysz przez tę samą liczbę różną od zera — zbiór rozwiązań się nie zmienia. Tak pozbywasz się nawiasów, ułamków (mnożenie przez wspólny mianownik) i proporcji (mnożenie na krzyż), a ten sam mechanizm pozwala wyznaczyć ze wzoru dowolną zmienną.

• $3(x-2)=x+8 \;\Rightarrow\; 3x-6=x+8 \;\Rightarrow\; 2x=14 \;\Rightarrow\; x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{7}}$
• $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-1}{3}=2 \;|\cdot 6 \;\Rightarrow\; 3x-2(x-1)=12 \;\Rightarrow\; x+2=12 \;\Rightarrow\; x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{10}}$
• $\dfrac{x+1}{2x-3}=\dfrac{3}{4}$, założenie $x\neq\dfrac{3}{2}$: $4(x+1)=3(2x-3) \;\Rightarrow\; 4x+4=6x-9 \;\Rightarrow\; x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\dfrac{13}{2}}}$
• ze wzoru $P=\dfrac{(a+b)\cdot h}{2}$ wyznaczasz $b$: $2P=(a+b)h \;\Rightarrow\; a+b=\dfrac{2P}{h} \;\Rightarrow\; b=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\dfrac{2P}{h}-a}}$

Na maturze: zadanie brzmi zwykle „Rozwiązaniem równania … jest liczba” z czterema odpowiedziami — po rozwiązaniu podstaw wynik do równania: to kilka sekund, a wyklucza błąd rachunkowy. Gdy niewiadoma stoi w mianowniku, najpierw zapisz założenie (mianownik $\neq 0$), a po mnożeniu na krzyż sprawdź, czy wynik go nie zeruje. Pułapka: mnożąc równanie przez wspólny mianownik, pomnóż każdy składnik — także ten bez ułamka — i cały licznik weź w nawias.