Równania sprzeczne i tożsamościowe — wytłumaczenie, wzór i zadania

Równanie liniowe po uporządkowaniu ma postać $ax = b$. Gdy $a \neq 0$, ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = \frac{b}{a}$. Gdy niewiadoma znika ($a = 0$), zostaje zdanie liczbowe i to ono rozstrzyga: prawda (np. $0 = 0$) — równanie tożsamościowe, spełnia je każda liczba rzeczywista; fałsz (np. $0 = -8$) — równanie sprzeczne, nie ma rozwiązań. Tak samo działa to dla nierówności.

Przykład: $4x - 3 = 4x + 1 \Rightarrow -3 = 1$ — fałsz, równanie sprzeczne, zbiór rozwiązań $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\emptyset}}$.

Przykład: $2(3x - 1) = 6x - 2 \Rightarrow 0 = 0$ — prawda, równanie tożsamościowe, zbiór rozwiązań $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\mathbb{R}}}$.

Przykład: $(m + 3)x = 7$ — dla $m = -3$ dostajemy $0 \cdot x = 7$, czyli równanie sprzeczne; dla $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{m \neq -3}}$ jest dokładnie jedno rozwiązanie $x = \frac{7}{m + 3}$.

Przykład: nierówność $5x + 2 > 5x - 1 \Rightarrow 2 > -1$ — prawda, spełnia ją każda liczba: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{x \in \mathbb{R}}}$.

Na maturze: zadanie zamknięte pyta zwykle „równanie jest sprzeczne / tożsamościowe / ma dokładnie jedno rozwiązanie” albo „dla jakiej wartości $m$ równanie nie ma rozwiązań” — sprowadź je do postaci $ax = b$ i sprawdź, kiedy $a = 0$. Karta wzorów tu nie pomaga; liczy się porządne rozwinięcie nawiasów (minus przed nawiasem zmienia oba znaki!). Pułapka: „jedno rozwiązanie $x = 0$” to co innego niż „brak rozwiązań”, a przy nierównościach $-4 \leq -4$ jest prawdą, ale $-4 < -4$ już nie.