Kiedy czynnik x² − a daje rozwiązania?

Dla a>0 zawsze dwa: x=√a i x=-√a, np. x²-7=0 daje ±√7. Czynnik x²+a przy a>0 nie daje żadnego, bo x²≥0.

Równania wielomianowe w postaci iloczynowej — przykłady i zadania

Równanie wielomianowe w postaci iloczynowej rozwiązujemy jednym ruchem: iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy któryś czynnik jest zerem. Każdy czynnik przyrównujemy do zera, np. $(x-2)(3x+6)=0$ daje $x=2$ lub $x=-2$ .

Równania i nierówności · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Jak rozwiązać równanie wielomianowe w postaci iloczynowej

Równanie wielomianowe w postaci iloczynowej rozwiązuję jednym ruchem: iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem — przyrównuję więc każdy czynnik osobno do zera i zbieram wszystkie wyniki.

$(x-2)(3x+6)=0 \Rightarrow x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$
$(x^2-3)(x^2+3)=0$ : pierwszy czynnik daje $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\sqrt3}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-\sqrt3}}$ , drugi nie ma rozwiązań, bo $x^2+3>0$
$x^3-4x=0$ : wyłączam $x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)=0$ , stąd $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{0}},\ \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{2}},\ \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$
$(x-1)^2(x+4)=0$ ma dwa rozwiązania: $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{1}}$ i $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-4}}$ — kwadrat czynnika nie dubluje pierwiastka

Liczba i suma rozwiązań — pułapki na maturze

Na maturze: zadanie za 1 pkt pyta zwykle o jedno z rozwiązań, o liczbę rozwiązań albo o ich sumę — nie wymnażaj nawiasów, tylko czytaj pierwiastki z czynników. Stała przed iloczynem ( $\sqrt3$ , $4$ , $-2$ ) nie daje żadnego rozwiązania, a czynnik $x^2+a$ dla $a>0$ nie daje go wcale. Gdy w czynniku jest parametr $m$ , zapisz pierwiastek jako $-m$ (dla $x+m$ ) lub $m$ (dla $x-m$ ) i ułóż równanie z warunku podanego w treści.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Pierwiastki z czynników liniowych

Przyrównujesz każdy czynnik liniowy osobno do zera i odczytujesz rozwiązania, także gdy czynnik ma postać ax + b lub b − ax.

Zadanie Rozwiąż równanie $(2x+5)(x-4)(3-x)=0$ .

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem — nie wymnażam nawiasów, tylko przyrównuję każdy z nich osobno do zera.
$2x+5=0 \Rightarrow 2x=-5 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}$ (pierwiastek czynnika $ax+b$ to $-\frac{b}{a}$ , nie $-b$ ).
$x-4=0 \Rightarrow x=4$ .
$3-x=0 \Rightarrow x=3$ — tu liczba w nawiasie jest dodatnia i rozwiązanie też jest dodatnie, bo minus stoi przy $x$ .
Rozwiązania: $x=-\frac{5}{2}$ , $x=3$ , $x=4$ .

Odpowiedź: $x\in\left\{-\frac{5}{2},\ 3,\ 4\right\}$

Przykład 2 Czynnik kwadratowy: dwa pierwiastki albo żaden

Rozstrzygasz, czy czynnik x^{do potęgi 2} − a albo x^{do potęgi 2} + a daje rozwiązania, i wyznaczasz je jako √a oraz −√a.

Zadanie Rozwiąż równanie $(x^2-7)(x^2+4)(2x-1)=0$ .

Przyrównuję każdy czynnik osobno do zera — także te kwadratowe, ich nie trzeba rozkładać dalej.
$x^2-7=0 \Rightarrow x^2=7 \Rightarrow x=\sqrt7$ lub $x=-\sqrt7$ — czynnik $x^2-a$ dla $a>0$ daje zawsze dwa pierwiastki, nie tylko dodatni.
$x^2+4=0 \Rightarrow x^2=-4$ — kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny, więc ten czynnik nie daje żadnego rozwiązania.
$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$ .
Rozwiązania: $x=-\sqrt7$ , $x=\frac{1}{2}$ , $x=\sqrt7$ .

Odpowiedź: $x\in\left\{-\sqrt7,\ \frac{1}{2},\ \sqrt7\right\}$

Przykład 3 Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias

Wyłączasz x, x^{do potęgi 2} lub liczbę razem z x przed nawias, rozkładasz resztę i odczytujesz wszystkie rozwiązania — łącznie z x = 0.

Zadanie Rozwiąż równanie $3x^3-75x=0$ .

Równanie nie jest jeszcze iloczynem, ale każdy wyraz zawiera $3x$ — wyłączam wspólny czynnik: $3x(x^2-25)=0$ .
$x^2-25$ to różnica kwadratów, rozkładam ją: $3x(x-5)(x+5)=0$ .
Przyrównuję czynniki do zera: $3x=0\Rightarrow x=0$ ; $x-5=0\Rightarrow x=5$ ; $x+5=0\Rightarrow x=-5$ .
Rozwiązania: $-5$ , $0$ , $5$ . Nie wolno na starcie podzielić równania przez $x$ — zgubiłbym rozwiązanie $x=0$ .

Odpowiedź: $x\in\{-5,\ 0,\ 5\}$

Przykład 4 Liczba rozwiązań równania iloczynowego

Zliczasz różne rozwiązania: czynnik w kwadracie daje jeden pierwiastek, x^{do potęgi 2} + a nie daje żadnego, a pierwiastek powtórzony w dwóch czynnikach liczysz raz.

Zadanie Ile rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych ma równanie $-2(x-4)^2(x^2-16)(x^2+4)=0$ ?

Stała $-2$ nie zależy od $x$ i nigdy nie jest zerem — nie wpływa na rozwiązania.
$(x-4)^2=0$ daje jedno rozwiązanie $x=4$ — kwadrat czynnika nie dubluje pierwiastka.
$x^2-16=0$ daje $x=4$ lub $x=-4$ , ale $4$ już mam z poprzedniego czynnika, więc nowe rozwiązanie to tylko $-4$ .
$x^2+4=0$ nie ma rozwiązań, bo $x^2\ge0$ , więc $x^2+4\ge4$ .
Różne rozwiązania: $4$ i $-4$ — równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

Odpowiedź: dokładnie dwa rozwiązania: $-4$ i $4$

Przykład 5 Suma i iloczyn rozwiązań równania

Wyznaczasz wszystkie rozwiązania równania iloczynowego, a potem liczysz ich sumę lub iloczyn z uwzględnieniem znaków i ułamków.

Zadanie Oblicz sumę i iloczyn wszystkich rozwiązań równania $(4x+6)(5x-20)(x+1)=0$ .

Nie wymnażam nawiasów — sumę i iloczyn policzę z gotowych pierwiastków, więc najpierw wyznaczam je z każdego czynnika.
$4x+6=0\Rightarrow x=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}$ ; $5x-20=0\Rightarrow x=4$ ; $x+1=0\Rightarrow x=-1$ .
Suma: $-\frac{3}{2}+4+(-1)=\frac{3}{2}$ — pilnuję znaków, dwa pierwiastki są ujemne.
Iloczyn: $\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot4\cdot(-1)=(-6)\cdot(-1)=6$ .

Odpowiedź: suma $\frac{3}{2}$ , iloczyn $6$

Przykład 6 Parametr z warunku na rozwiązania

Z warunku o sumie, iloczynie lub podanym rozwiązaniu równania iloczynowego układasz równanie na parametr m i je rozwiązujesz.

Zadanie Dane jest równanie $2(x-5)(x+m)(3x+3)=0$ , gdzie $x$ jest niewiadomą, a $m$ pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $-2$ . Wyznacz $m$ .

Wyznaczam rozwiązania w zależności od $m$ : $x-5=0\Rightarrow x=5$ ; $x+m=0\Rightarrow x=-m$ (uwaga na minus!); $3x+3=0\Rightarrow x=-1$ . Stała $2$ nic nie daje.
Zapisuję warunek z treści jako równanie: suma rozwiązań $5+(-m)+(-1)=-2$ .
Upraszczam i rozwiązuję: $4-m=-2\Rightarrow m=6$ .
Sprawdzam: dla $m=6$ rozwiązania to $5$ , $-6$ , $-1$ , ich suma to $-2$ . Zgadza się.

Odpowiedź: $m=6$

Najczęstsze błędy

Liczenie pierwiastka podwójnie. $(x-1)^2(x+4)=0$ ma dwa rozwiązania, $1$ i $-4$ — kwadrat czynnika nie dubluje pierwiastka.
Szukanie rozwiązania w stałej przed iloczynem albo w czynniku $x^2+a$ dla $a>0$ — żaden z nich nie daje rozwiązań.
Zapisanie pierwiastka czynnika $2x+5$ jako $-5$ . Z $2x+5=0$ wychodzi $x=-\frac{5}{2}$ .
Dzielenie równania przez $x$ — gubi rozwiązanie $x=0$ . W $3x^3-75x=0$ wyłączamy $3x$ : $3x(x-5)(x+5)=0$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Jednym z rozwiązań równania $\sqrt{5}\,(x-7)(2x+3)=0$ jest liczba

Zadanie 2

Jednym z rozwiązań równania $2(x^2-5)(x-6)=0$ jest liczba

Zadanie 3

Rozwiązaniami równania $x^3+5x^2=0$ są liczby:

Zadanie 4

Równanie $7(x+2)^2(x^2-1)=0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

Zadanie 5

Suma wszystkich rozwiązań równania $(2x-14)(9+3x)(x+5)=0$ jest równa

Zadanie 6

Dane jest równanie $5(x+4)(x-m)(2x-6)=0$ , gdzie $x$ jest niewiadomą, a $m$ pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa $0$ . Liczba $m$ jest równa

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Jednym z rozwiązań równania $\sqrt{3}(x^{2} - 2)(x + 3) = 0$ jest liczba

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Równania — postać iloczynowa (kurs) Matemaks

Wprowadzenie do równań wielomianowych Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać równanie wielomianowe w postaci iloczynowej?

Przyrównaj każdy czynnik osobno do zera i zbierz wszystkie wyniki — bez wymnażania nawiasów. Z $(2x+5)(x-4)(3-x)=0$ wychodzi $x=-\frac{5}{2}$ , $x=3$ , $x=4$ .

Ile rozwiązań ma równanie wielomianowe w postaci iloczynowej?

Tyle, ile różnych liczb dają czynniki: czynnik w kwadracie daje jeden pierwiastek, $x^2+a$ dla $a>0$ żadnego, a stała przed iloczynem nic. Równanie $-2(x-4)^2(x^2-16)(x^2+4)=0$ ma dwa rozwiązania: $4$ i $-4$ .

Kiedy czynnik x^{do potęgi 2} − a daje rozwiązania?

Dla $a>0$ zawsze dwa: $x=\sqrt{a}$ i $x=-\sqrt{a}$ , np. $x^2-7=0$ daje $\pm\sqrt7$ . Czynnik $x^2+a$ przy $a>0$ nie daje żadnego, bo $x^2\ge0$ .

Jak obliczyć sumę rozwiązań równania wielomianowego?

Wyznacz rozwiązania z każdego czynnika i dodaj je, pilnując znaków. Równanie $(4x+6)(5x-20)(x+1)=0$ ma rozwiązania $-\frac{3}{2}$ , $4$ i $-1$ , więc ich suma to $\frac{3}{2}$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Równania i nierówności kwadratowe Równania i nierówności Nierówności liniowe Równania i nierówności Równania sprzeczne i tożsamościowe Równania i nierówności Równoważne przekształcanie równań Równania i nierówności Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę