Równania i nierówności kwadratowe — wzory, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na deltę?

Δ=b²-4ac, gdzie a, b, c to współczynniki równania ax²+bx+c=0 odczytane razem ze znakami. Dla 2x²+3x-2=0: Δ=9+16=25.

Q: Jak obliczyć pierwiastki równania kwadratowego?

Gdy Δ≥0, ze wzoru x=(-b±√Δ)/(2a) — w mianowniku stoi 2a, nie 2. Dla 2x²+3x-2=0: x=(-3±5)/4, czyli x=-2 lub x=1/2.

Q: Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe?

Decyduje znak Δ: Δ>0 — dwa rozwiązania, Δ=0 — jedno, Δ<0 — żadnego. Na przykład 2x²-3x+5=0 ma Δ=-31, więc nie ma rozwiązań.

Q: Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Uporządkuj ją do postaci ax²+bx+c≶0, znajdź miejsca zerowe, naszkicuj parabolę (znak a to kierunek ramion) i odczytaj przedział. Nierówność x²-5x+6≥0 ma zera 2 i 3, ramiona w górę, więc x∈(-∞,2⟩∪⟨3,+∞).

Q: Jak rozwiązać równanie kwadratowe bez delty?

Gdy jest niepełne: ax²+bx=0 rozwiązujemy przez wyłączenie x przed nawias, a ax²+c=0 przez x²=-c/a. Na przykład 3x²=5x daje x(3x-5)=0, czyli x=0 lub x=5/3.

Równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$ rozwiązujemy wyróżnikiem $\Delta=b^2-4ac$ : gdy $\Delta\ge0$ , to $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ , a gdy $\Delta<0$ , rozwiązań nie ma. Nierówność kwadratową rozwiązujemy z miejsc zerowych i szkicu paraboli.

Równania i nierówności · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Wyróżnik (delta) $a$ , $b$ , $c$ — współczynniki równania $ax^2+bx+c=0$: $\Delta=b^2-4ac$
Pierwiastki równania kwadratowego wzór działa dla $\Delta\ge0$ ; dla $\Delta<0$ rozwiązań nie ma: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
Równanie niepełne bez wyrazu z x dla równania $ax^2+c=0$: $x^2=-\frac{c}{a}$

Wzór na deltę i pierwiastki — jak rozwiązać równanie i nierówność

Równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$ rozwiązujesz wyróżnikiem: $\Delta=b^2-4ac$ , a gdy $\Delta\ge0$ , to $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ (dla $\Delta<0$ rozwiązań nie ma). Równania niepełne rozwiązujesz szybciej bez $\Delta$ : $ax^2+bx=0$ przez wyłączenie $x$ przed nawias, $ax^2+c=0$ przez $x^2=-\frac{c}{a}$ . Nierówność kwadratową rozwiązujesz w trzech ruchach: uporządkuj do postaci $ax^2+bx+c\lessgtr0$ , znajdź miejsca zerowe, naszkicuj parabolę (znak $a$ = kierunek ramion) i odczytaj przedział.

$2x^2+3x-2=0$ : $\Delta=9+16=25$ , $x=\dfrac{-3\pm5}{4}$ , czyli $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{-2}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac12}}$ .
$3x^2=5x$ : $x(3x-5)=0$ , więc $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{0}}$ lub $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{\tfrac53}}$ (nie dziel przez $x$ — zgubisz zero).
$x(x-3)\ge2x-6$ : po uporządkowaniu $x^2-5x+6\ge0$ , zera $2$ i $3$ , ramiona w górę, więc $x\in\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty,2\rangle\cup\langle3,+\infty)}}$ .
$-2(x+1)(x-4)>0$ : zera $-1$ i $4$ , $a<0$ — ramiona w dół, dodatnie między zerami: $x\in\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-1,4)}}$ .

Równania i nierówności kwadratowe na maturze — pułapki

Na maturze: karta wzorów podaje $\Delta$ , wzory na pierwiastki i postać iloczynową $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Zadanie otwarte „Rozwiąż nierówność” (2 pkt) prawie zawsze wymaga najpierw wymnożenia nawiasów i przeniesienia wszystkiego na jedną stronę — 1 pkt dostajesz za poprawne miejsca zerowe, drugi za przedział z właściwymi końcami ( $\ge$ , $\le$ — domknięte). Pułapki: dzielenie obu stron przez $x$ (gubi rozwiązanie $x=0$ ), zapomniany minus przy $a<0$ (ramiona w dół) oraz odczytanie zera z nawiasu $(x+3)$ jako $3$ zamiast $-3$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Równania niepełne: wyłączanie x i x^{do potęgi 2} = k

Równanie bez wyrazu wolnego rozwiązujesz wyłączając x przed nawias, a bez wyrazu liniowego przez x^{do potęgi 2} = k i dwa pierwiastki ±√k.

Zadanie Rozwiąż równanie $3x^2 = 5x$ .

Przenoszę wszystko na lewą stronę, żeby po prawej było $0$ : $3x^2-5x=0$ . Nie dzielę przez $x$ — dzieląc, zgubiłbym rozwiązanie $x=0$ .
Wyrazu wolnego nie ma, więc wyłączam wspólny czynnik $x$ przed nawias: $x(3x-5)=0$ .
Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: $x=0$ lub $3x-5=0$ .
Z drugiego równania $3x=5$ , czyli $x=\frac53$ . Rozwiązania: $x=0$ lub $x=\frac53$ .

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=\frac{5}{3}$

Przykład 2 Pełne równanie kwadratowe — delta i pierwiastki

Odczytujesz a, b, c ze znakami (także przy a ≠ 1 i a < 0), liczysz Δ = b^{do potęgi 2} − 4ac i pierwiastki x = (−b ± √Δ)/(2a).

Zadanie Rozwiąż równanie $2x^2 + 3x - 2 = 0$ .

Odczytuję współczynniki razem ze znakami: $a=2$ , $b=3$ , $c=-2$ — wyraz wolny jest ujemny.
Liczę wyróżnik: $\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25$ . Minus razy minus daje plus, więc $\Delta$ rośnie, a nie maleje.
$\Delta>0$ , więc są dwa pierwiastki; $\sqrt{\Delta}=5$ i $x=\dfrac{-3\pm5}{2\cdot2}=\dfrac{-3\pm5}{4}$ — w mianowniku stoi $2a=4$ , nie $2$ .
$x_1=\dfrac{-3-5}{4}=-2$ , $x_2=\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac12$ .

Odpowiedź: $x=-2$ lub $x=\frac12$

Przykład 3 Liczba rozwiązań a znak delty

Liczysz Δ i ze znaku odczytujesz liczbę rozwiązań: Δ > 0 — dwa, Δ = 0 — jedno, Δ < 0 — brak.

Zadanie Ile rozwiązań ma równanie $2x^2 - 3x + 5 = 0$ ?

Współczynniki: $a=2$ , $b=-3$ , $c=5$ . Nie rozwiązuję równania — o liczbie rozwiązań decyduje sam znak $\Delta$ .
$\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot5=9-40=-31$ .
$\Delta<0$ , więc $\sqrt{\Delta}$ nie istnieje — równanie nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań ( $\Delta=-31<0$ )

Przykład 4 Równanie kwadratowe w zadaniu z treścią

Z podanego wzoru układasz równanie f(t) = c, rozwiązujesz je i odrzucasz rozwiązania sprzeczne z treścią (ujemny czas, chwila startu, spoza dziedziny).

Zadanie Wysokość $h$ (w metrach), na jakiej znajduje się kamień wyrzucony pionowo do góry z poziomu ziemi, po czasie $t$ (w sekundach) od wyrzutu opisuje wzór $h(t)=-5t^2+20t$ . Po jakim czasie od wyrzutu kamień spadnie na ziemię?

Kamień na ziemi to wysokość $0$ , więc układam równanie $h(t)=0$ : $-5t^2+20t=0$ .
To równanie niepełne (bez wyrazu wolnego) — nie liczę $\Delta$ , tylko wyłączam wspólny czynnik: $-5t(t-4)=0$ .
Iloczyn jest zerem, gdy $t=0$ lub $t-4=0$ , czyli $t=0$ lub $t=4$ .
$t=0$ to chwila wyrzutu (kamień dopiero startuje z ziemi) — odrzucam. Kamień spadnie po $4$ sekundach.

Odpowiedź: po $4$ s

Przykład 5 Nierówność kwadratowa odczytana z wykresu paraboli

Z rysunku paraboli odczytujesz miejsca zerowe i kierunek ramion, a potem zapisujesz przedział, w którym f(x) ≥ 0 lub f(x) < 0, z końcami dobranymi do znaku nierówności.

Zadanie Wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Wierzchołek paraboli ma współrzędne $(2,9)$ , a parabola przecina oś $Ox$ w punktach $(-1,0)$ i $(5,0)$ . Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\le0$ jest:

Granice przedziałów to miejsca zerowe, czyli pierwsze współrzędne punktów przecięcia z osią $Ox$ : $-1$ i $5$ . Wierzchołek $(2,9)$ nie jest granicą — to tylko najwyższy punkt wykresu.
Ramiona w dół: parabola jest nad osią między zerami, a pod osią na zewnątrz, czyli dla $x<-1$ i dla $x>5$ .
Szukam $f(x)\le0$ , czyli wykresu pod osią lub na osi; znak $\le$ włącza miejsca zerowe, więc przedziały są domknięte przy $-1$ i $5$ .
Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)$ .

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle5,+\infty)$

Przykład 6 Nierówność w postaci iloczynowej, także z a < 0

Z postaci a(x − x₁)(x − x₂) odczytujesz miejsca zerowe (zmieniając znak liczby w nawiasie), kierunek ramion ze znaku a i zapisujesz przedział rozwiązań.

Zadanie Rozwiąż nierówność $-3(x-1)(x+4)\ge0$ .

Miejsca zerowe czytam z nawiasów, przyrównując każdy do zera: $x-1=0$ daje $x=1$ , $x+4=0$ daje $x=-4$ — znak liczby z nawiasu się odwraca.
Współczynnik $a=-3<0$ , więc ramiona paraboli są skierowane w dół: wartości dodatnie są między zerami, ujemne na zewnątrz.
Szukam wartości $\ge0$ — czyli między zerami; znak $\ge$ włącza końce.
Rozwiązanie: $x\in\langle-4,1\rangle$ . (Można też podzielić przez $-3$ , odwracając znak: $(x-1)(x+4)\le0$ — ten sam wynik.)

Odpowiedź: $x\in\langle-4,1\rangle$

Najczęstsze błędy

Dzielenie obu stron przez $x$ — gubi rozwiązanie $x=0$ . W $3x^2=5x$ wyłączamy $x$ : $x(3x-5)=0$ , więc $x=0$ lub $x=\tfrac53$ .
Zapomniany minus przy $a<0$ . Ramiona paraboli idą wtedy w dół, więc wartości dodatnie są między miejscami zerowymi.
Odczytanie zera z nawiasu $(x+3)$ jako $3$ zamiast $-3$ .
Złe końce przedziału. Przy $\ge$ i $\le$ miejsca zerowe należą do rozwiązania (przedział domknięty), przy $>$ i $<$ — nie.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Rozwiązaniami równania $2x^2 = 18$ są liczby:

Zadanie 2

Rozwiązaniami równania $2x^2 - 3x - 5 = 0$ są liczby:

Zadanie 3

Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe, gdy Δ < 0?

Zadanie 4

Dzienny zysk $Z$ (w złotych) firmy w zależności od liczby $x$ wyprodukowanych sztuk wyraża się wzorem $Z(x)=-x^2+30x-200$ , gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunek $0\le x\le30$ . Zysk równy zero firma osiąga przy dziennej produkcji:

Zadanie 5

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o ramionach skierowanych w dół. Wierzchołek paraboli to punkt $(-1,4)$ , parabola przecina oś $Ox$ w punktach $(-3,0)$ i $(1,0)$ , a oś $Oy$ w punkcie $(0,3)$ . Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\ge0$ jest przedział:

Zadanie 6

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-5(x-3)(x+2)>0$ jest przedział:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 36

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$ , na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$ , jest określona wzorem

$h(t) = -4{,}9t^{2} + 14{,}7t$

gdzie:

czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Równanie kwadratowe — delta i pierwiastki Marek Duda

Nierówności kwadratowe — 12 przykładów Matemaks

Delta — jak ją policzyć? Równanie kwadratowe prosto Licz na siebie Matematyka

Nierówności kwadratowe — matura podstawowa MiedzianyFsor

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na deltę?

$\Delta=b^2-4ac$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ to współczynniki równania $ax^2+bx+c=0$ odczytane razem ze znakami. Dla $2x^2+3x-2=0$ : $\Delta=9+16=25$ .

Jak obliczyć pierwiastki równania kwadratowego?

Gdy $\Delta\ge0$ , ze wzoru $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ — w mianowniku stoi $2a$ , nie $2$ . Dla $2x^2+3x-2=0$ : $x=\dfrac{-3\pm5}{4}$ , czyli $x=-2$ lub $x=\tfrac12$ .

Ile rozwiązań ma równanie kwadratowe?

Decyduje znak $\Delta$ : $\Delta>0$ — dwa rozwiązania, $\Delta=0$ — jedno, $\Delta<0$ — żadnego. Na przykład $2x^2-3x+5=0$ ma $\Delta=-31$ , więc nie ma rozwiązań.

Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Uporządkuj ją do postaci $ax^2+bx+c\lessgtr0$ , znajdź miejsca zerowe, naszkicuj parabolę (znak $a$ to kierunek ramion) i odczytaj przedział. Nierówność $x^2-5x+6\ge0$ ma zera $2$ i $3$ , ramiona w górę, więc $x\in(-\infty,2\rangle\cup\langle3,+\infty)$ .

Jak rozwiązać równanie kwadratowe bez delty?

Gdy jest niepełne: $ax^2+bx=0$ rozwiązujemy przez wyłączenie $x$ przed nawias, a $ax^2+c=0$ przez $x^2=-\frac{c}{a}$ . Na przykład $3x^2=5x$ daje $x(3x-5)=0$ , czyli $x=0$ lub $x=\tfrac53$ .

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Równania wielomianowe (postać iloczynowa) Równania i nierówności Nierówności liniowe Równania i nierówności Równania sprzeczne i tożsamościowe Równania i nierówności Równoważne przekształcanie równań Równania i nierówności Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę

Równania i nierówności kwadratowe — wzory, przykłady i zadania

Wzór na deltę i pierwiastki — jak rozwiązać równanie i nierówność

Równania i nierówności kwadratowe na maturze — pułapki

Przykłady krok po kroku

Przykład 1 Równania niepełne: wyłączanie x i x do potęgi 2 = k

Przykład 2 Pełne równanie kwadratowe — delta i pierwiastki

Przykład 3 Liczba rozwiązań a znak delty

Przykład 4 Równanie kwadratowe w zadaniu z treścią

Przykład 5 Nierówność kwadratowa odczytana z wykresu paraboli

Przykład 6 Nierówność w postaci iloczynowej, także z a < 0

Najczęstsze błędy

Sprawdź się na zadaniach

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Filmy, które pomogą

Najczęstsze pytania

Powiązane tematy

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Przykład 1 Równania niepełne: wyłączanie x i x^{do potęgi 2} = k