Nierówności liniowe — jak rozwiązać krok po kroku

Q: Jak rozwiązać nierówność liniową?

Jak równanie: pozbądź się ułamków i nawiasów, przenieś wyrazy z x na jedną stronę, liczby na drugą i podziel przez współczynnik przy x. Gdy dzielisz przez liczbę ujemną, odwróć znak. Wynik zapisz jako przedział, np. x≤ 9 to (-∞, 9].

Q: Kiedy zmienia się znak nierówności?

Gdy mnożymy lub dzielimy obie strony przez liczbę ujemną. Np. -3x+2>11 ⇒ -3x>9 ⇒ x<-3, czyli x∈(-∞,-3).

Q: Jak zapisać rozwiązanie nierówności jako przedział?

Przy nierówności ostrej ( ) nawias okrągły, przy nieostrej (≤, ≥) kwadratowy (w podręcznikach ⟨⟩); przy ±∞ zawsze okrągły. Np. x≤ 3 to (-∞, 3].

Q: Jak sprawdzić rozwiązanie nierówności?

Podstaw jedną liczbę, np. x=0, do nierówności wyjściowej. Jeśli daje prawdę, liczba musi leżeć w otrzymanym przedziale, a jeśli fałsz — poza nim.

Nierówność liniową rozwiązujemy jak równanie: pozbywamy się ułamków i nawiasów, $x$ zbieramy po jednej stronie. Przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną odwracamy znak: $-3x>9 \Rightarrow x<-3$ . Wynik zapisujemy jako przedział.

Równania i nierówności · matura podstawowa 1 LO → Zobacz na planecie →

Jak rozwiązać nierówność liniową

Nierówność liniową rozwiązuję jak równanie: pozbywam się ułamków i nawiasów, zbieram $x$ po jednej stronie, a liczby po drugiej — ale gdy mnożę lub dzielę obie strony przez liczbę ujemną, odwracam znak nierówności. Wynik zapisuję jako przedział.

$-3x + 2 > 11 \Rightarrow -3x > 9 \Rightarrow x < \textcolor{#0284c7}{-3}$ , czyli $x \in \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty, -3)}}$
$\frac{x-1}{4} \le 2 \;\big|\cdot 4 \Rightarrow x - 1 \le 8 \Rightarrow x \le \textcolor{#0284c7}{9}$ , czyli $x \in \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty, 9]}}$
$2(1 - x) \ge x - 7 \Rightarrow 2 - 2x \ge x - 7 \Rightarrow 9 \ge 3x \Rightarrow x \le \textcolor{#0284c7}{3}$ , czyli $x \in \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty, 3]}}$
całkowite dodatnie spełniające $x < 3{,}5$ : $\textcolor{#059669}{1, 2, 3}$ — razem $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$

Jak zapisać rozwiązanie jako przedział

Nawias okrągły przy nierówności ostrej ( $<$ , $>$ ), kwadratowy $[\;]$ (w podręcznikach $\langle\;\rangle$ ), gdy koniec należy do zbioru; przy $\pm\infty$ zawsze okrągły.

Nierówności liniowe na maturze

Na maturze: zadanie brzmi „Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności … jest przedział” i prawie zawsze zawiera ułamek albo nawias — najpierw pomnóż obie strony przez mianownik, potem opuść nawiasy. Cztery odpowiedzi różnią się tylko znakiem liczby i rodzajem nawiasu, więc pułapką jest zapomniane odwrócenie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną — sprawdź wynik, podstawiając jedną liczbę (np. $x = 0$ ) do nierówności wyjściowej. Drugi typ pytania: „największa/najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność” — wtedy granica zwykle nie jest całkowita ( $x \le 3{,}75$ → odpowiedź $3$ ). Trzeci: wskazać rysunek osi liczbowej — puste kółko dla $<$ , $>$ , pełne dla $\le$ , $\ge$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Nierówność z odwróceniem znaku

Sprowadzasz nierówność do postaci ax > b, dzielisz przez a — odwracając znak, gdy a jest ujemne — i zapisujesz wynik jako przedział.

Zadanie Rozwiąż nierówność $5 - 4x \ge -7$ i zapisz zbiór rozwiązań jako przedział.

Przenoszę liczbę $5$ na prawą stronę (ze zmianą znaku), żeby po lewej został sam wyraz z $x$ : $-4x \ge -7 - 5$ , czyli $-4x \ge -12$ .
Współczynnik przy $x$ jest ujemny — dzieląc obie strony przez $-4$ , muszę odwrócić znak nierówności: $x \le \frac{-12}{-4}$ .
Liczę iloraz: $x \le 3$ .
Nierówność jest nieostra, więc $3$ należy do zbioru — nawias kwadratowy: $x \in (-\infty, 3]$ . Kontrola: $x = 0$ daje $5 \ge -7$ , prawda, i $0$ leży w tym przedziale.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, 3]$

Przykład 2 Nierówność z nawiasem i x po obu stronach

Opuszczasz nawiasy (uwaga na minus przed nawiasem), przenosisz wyrazy z x na jedną stronę, liczby na drugą i dzielisz przez współczynnik.

Zadanie Rozwiąż nierówność $4 - 3(x - 2) \le 2x - 5$ .

Opuszczam nawias, mnożąc każdy jego wyraz przez $-3$ : $4 - 3x + 6 \le 2x - 5$ , czyli $10 - 3x \le 2x - 5$ .
Wyrazy z $x$ przenoszę na prawą stronę — tam współczynnik wyjdzie dodatni i uniknę dzielenia przez liczbę ujemną — a liczby na lewą: $10 + 5 \le 2x + 3x$ .
Redukuję: $15 \le 5x$ , co czytam jako $5x \ge 15$ .
Dzielę przez $5$ : $x \ge 3$ , więc $x \in [3, +\infty)$ . Kontrola dla $x = 3$ : lewa strona $4 - 3 = 1$ , prawa $1$ , a $1 \le 1$ jest prawdą.

Odpowiedź: $x \in [3, +\infty)$

Przykład 3 Nierówność z ułamkiem — mnożenie przez mianownik

Mnożysz obie strony nierówności przez dodatni mianownik (drugą stronę w całości, w nawiasie), żeby pozbyć się kreski ułamkowej, i dopiero potem porządkujesz wyrazy.

Zadanie Rozwiąż nierówność $\frac{2x - 7}{3} \le 1 - x$ .

Mianownik $3$ jest dodatni, więc mnożę obie strony przez $3$ bez zmiany znaku; prawą stronę mnożę w całości, biorąc ją w nawias: $2x - 7 \le 3(1 - x)$ .
Opuszczam nawias: $2x - 7 \le 3 - 3x$ .
Zbieram $x$ po lewej, liczby po prawej: $2x + 3x \le 3 + 7$ , czyli $5x \le 10$ .
Dzielę przez $5$ : $x \le 2$ , więc $x \in (-\infty, 2]$ . Kontrola dla $x = 2$ : $\frac{-3}{3} = -1$ oraz $1 - 2 = -1$ ; $-1 \le -1$ jest prawdą.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, 2]$

Przykład 4 Nierówność z kilkoma ułamkami

Mnożysz każdy wyraz nierówności przez wspólny mianownik wszystkich ułamków, a licznik stojący po minusie bierzesz w nawias.

Zadanie Rozwiąż nierówność $\frac{x}{2} - \frac{2x - 1}{3} \ge \frac{1}{6}$ .

Mianowniki $2$ , $3$ , $6$ — wspólny mianownik to $6$ ; mnożę przez $6$ każdy wyraz: $3x - 2(2x - 1) \ge 1$ . Licznik $2x - 1$ stoi po minusie, więc trafia w nawias.
Opuszczam nawias (minus zmienia oba znaki): $3x - 4x + 2 \ge 1$ , czyli $-x + 2 \ge 1$ .
Przenoszę $2$ : $-x \ge -1$ . Mnożę przez $-1$ i odwracam znak: $x \le 1$ .
$x \in (-\infty, 1]$ . Kontrola dla $x = 1$ : $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ , a $\frac{1}{6} \ge \frac{1}{6}$ jest prawdą.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, 1]$

Przykład 5 Zbiór rozwiązań na osi liczbowej

Rozwiązujesz nierówność i dopasowujesz wynik do rysunku osi: pełne kółko dla ≤ i ≥, puste dla < i >, zacieniowanie w lewo albo w prawo od końca.

Zadanie Rozwiąż nierówność $2(x + 1) - 7 \ge 4x - 1$ i opisz, jak zaznaczyć zbiór jej rozwiązań na osi liczbowej.

Opuszczam nawias i porządkuję: $2x - 5 \ge 4x - 1$ , stąd $-5 + 1 \ge 4x - 2x$ , czyli $-4 \ge 2x$ .
Dzielę przez $2$ : $x \le -2$ , więc przedział $(-\infty, -2]$ .
Koniec przedziału: nierówność jest nieostra ( $\le$ ), więc $-2$ należy do zbioru — na osi rysuję zamalowane kółko w punkcie $-2$ (przy $<$ lub $>$ byłoby puste).
Kierunek: rozwiązania są mniejsze od $-2$ , więc zacieniowana półprosta biegnie od $-2$ w lewo. Kontrola dla $x = -3$ : $2 \cdot (-2) - 7 = -11$ oraz $4 \cdot (-3) - 1 = -13$ ; $-11 \ge -13$ — prawda, więc lewa strona osi jest właściwa.

Odpowiedź: zamalowane kółko w punkcie $-2$ i zacieniowanie w lewo, czyli $x \in (-\infty, -2]$

Przykład 6 Liczby całkowite spełniające nierówność

Rozwiązujesz nierówność, a potem wskazujesz największą lub najmniejszą liczbę całkowitą albo liczysz całkowite (np. dodatnie) rozwiązania — sprawdzając, czy granica jest całkowita i czy należy do zbioru.

Zadanie Ile jest wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności $\frac{2x + 3}{4} < 3$ ?

Mnożę obie strony przez $4$ : $2x + 3 < 12$ , czyli $2x < 9$ .
Dzielę przez $2$ : $x < 4{,}5$ . Granica nie jest liczbą całkowitą, więc nie ma dylematu, czy koniec należy do zbioru.
Wypisuję całkowite dodatnie liczby mniejsze od $4{,}5$ : $1, 2, 3, 4$ — zero nie jest dodatnie, a $5 > 4{,}5$ odpada.
Jest ich $4$ .

Odpowiedź: $4$

Najczęstsze błędy

Brak odwrócenia znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną. Z $-3x>9$ wychodzi $x<-3$ , a nie $x>-3$ ; wynik warto sprawdzić, podstawiając np. $x=0$ .
Nawias kwadratowy przy nierówności ostrej albo przy nieskończoności. Koniec należy do zbioru tylko przy $\le$ i $\ge$ , a przy $\pm\infty$ nawias jest zawsze okrągły.
Pomnożenie przez mianownik tylko jednego wyrazu. Mnożymy każdy wyraz, a licznik stojący po minusie bierzemy w nawias: z $\frac{x}{2} - \frac{2x - 1}{3}$ po pomnożeniu przez $6$ jest $3x - 2(2x - 1)$ .
Zgubiony znak przy minusie przed nawiasem. Mnożymy każdy wyraz nawiasu: $-3(x-2)=-3x+6$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $7 - 3x > 1$ jest przedział

Zadanie 2

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $5(x - 1) < 3x + 7$ jest przedział

Zadanie 3

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\frac{4x - 1}{5} < x + 2$ jest przedział

Zadanie 4

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $2 - \frac{1}{2}x < \frac{3}{4} + x$ jest przedział

Zadanie 5

Dana jest nierówność $3x - 7 < 5x + 1$ . Zbiór wszystkich jej rozwiązań zaznaczony na osi liczbowej to:

Zadanie 6

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności $\frac{2x - 1}{6} < \frac{1}{2}$ jest równa

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

$-2(x + 3) \leq \frac{2 - x}{3}$

jest przedział

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Nierówności liniowe — kurs matura podstawowa Matemaks

Równania i nierówności liniowe — powtórka do matury Matma Z Pasją

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać nierówność liniową?

Jak równanie: pozbądź się ułamków i nawiasów, przenieś wyrazy z $x$ na jedną stronę, liczby na drugą i podziel przez współczynnik przy $x$ . Gdy dzielisz przez liczbę ujemną, odwróć znak. Wynik zapisz jako przedział, np. $x\le 9$ to $(-\infty, 9]$ .

Kiedy zmienia się znak nierówności?

Gdy mnożymy lub dzielimy obie strony przez liczbę ujemną. Np. $-3x+2>11 \Rightarrow -3x>9 \Rightarrow x<-3$ , czyli $x\in(-\infty,-3)$ .

Jak zapisać rozwiązanie nierówności jako przedział?

Przy nierówności ostrej ( $<$ , $>$ ) nawias okrągły, przy nieostrej ( $\le$ , $\ge$ ) kwadratowy (w podręcznikach $\langle\;\rangle$ ); przy $\pm\infty$ zawsze okrągły. Np. $x\le 3$ to $(-\infty, 3]$ .

Jak znaleźć największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność?

Rozwiąż nierówność i sprawdź granicę. Gdy nie jest całkowita, bierzemy najbliższą liczbę całkowitą wewnątrz zbioru rozwiązań, np. $x \le 3{,}75$ daje odpowiedź $3$ .

Jak sprawdzić rozwiązanie nierówności?

Podstaw jedną liczbę, np. $x=0$ , do nierówności wyjściowej. Jeśli daje prawdę, liczba musi leżeć w otrzymanym przedziale, a jeśli fałsz — poza nim.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Równania sprzeczne i tożsamościowe Równania i nierówności Równoważne przekształcanie równań Równania i nierówności Równania i nierówności kwadratowe Równania i nierówności Równania wielomianowe (postać iloczynowa) Równania i nierówności Dowody podzielności i reszt Liczby rzeczywiste Działania na pierwiastkach Liczby rzeczywiste Działania na wielomianach Wyrażenia algebraiczne Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Liczby rzeczywiste

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę