Nierówności liniowe — wytłumaczenie, wzór i zadania

Nierówność liniową rozwiązuję jak równanie: pozbywam się ułamków i nawiasów, zbieram $x$ po jednej stronie, a liczby po drugiej — ale gdy mnożę lub dzielę obie strony przez liczbę ujemną, odwracam znak nierówności. Wynik zapisuję jako przedział.

• $-3x + 2 > 11 \Rightarrow -3x > 9 \Rightarrow x < \textcolor{#0284c7}{-3}$, czyli $x \in \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty, -3)}}$
• $\frac{x-1}{4} \le 2 \;\big|\cdot 4 \Rightarrow x - 1 \le 8 \Rightarrow x \le \textcolor{#0284c7}{9}$, czyli $x \in \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty, 9]}}$
• $2(1 - x) \ge x - 7 \Rightarrow 2 - 2x \ge x - 7 \Rightarrow 9 \ge 3x \Rightarrow x \le \textcolor{#0284c7}{3}$, czyli $x \in \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{(-\infty, 3]}}$
• całkowite dodatnie spełniające $x < 3{,}5$: $\textcolor{#059669}{1, 2, 3}$ — razem $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$

Nawias okrągły przy nierówności ostrej ($<$, $>$), kwadratowy $[\;]$ (w podręcznikach $\langle\;\rangle$), gdy koniec należy do zbioru; przy $\pm\infty$ zawsze okrągły.

Na maturze: zadanie brzmi „Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności … jest przedział” i prawie zawsze zawiera ułamek albo nawias — najpierw pomnóż obie strony przez mianownik, potem opuść nawiasy. Cztery odpowiedzi różnią się tylko znakiem liczby i rodzajem nawiasu, więc pułapką jest zapomniane odwrócenie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną — sprawdź wynik, podstawiając jedną liczbę (np. $x = 0$) do nierówności wyjściowej. Drugi typ pytania: „największa/najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność” — wtedy granica zwykle nie jest całkowita ($x \le 3{,}75$ → odpowiedź $3$). Trzeci: wskazać rysunek osi liczbowej — puste kółko dla $<$, $>$, pełne dla $\le$, $\ge$.