Optymalizacja funkcją kwadratową — schemat, przykłady i zadania

Q: Jak rozwiązać zadanie optymalizacyjne z funkcją kwadratową?

Z warunku zadania wyraź drugą wielkość przez x, zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję kwadratową, ustal dziedzinę i policz wierzchołek x_w=-b/(2a). Na koniec odpowiedz w wielkościach z zadania.

Q: Gdzie funkcja kwadratowa osiąga wartość największą?

Gdy a<0 — w wierzchołku. Dla f(x)=-3x²+12x: x_w=-12/(2·(-3))=2, a wartość największa f(2)=12.

Q: Jak znaleźć najmniejszą wartość sumy kwadratów dwóch liczb?

Z warunku wyraź jedną liczbę przez drugą i podstaw. Przy x+y=4 i x,y≥ 0: x²+y²=2x²-8x+16, najmniejsza wartość dla x=2, równa 8.

Optymalizowaną wielkość zapisujemy jako funkcję kwadratową jednej zmiennej: z warunku zadania wyrażamy drugą wielkość przez $x$ , podstawiamy, ustalamy dziedzinę z sensu zadania i odczytujemy wynik w wierzchołku $x_w=-\dfrac{b}{2a}$ .

Optymalizacja · matura podstawowa 2 LO → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Argument wierzchołka $a$ , $b$ — współczynniki funkcji po uporządkowaniu do postaci $ax^2+bx+c$: $x_w=-\dfrac{b}{2a}$
Wartość w wierzchołku szybciej: $f(x_w)$: $q=-\frac{\Delta}{4a}$

Jak rozwiązać zadanie optymalizacyjne

Wielkość, którą optymalizuję, zapisuję jako funkcję kwadratową jednej zmiennej: z warunku zadania wyrażam drugą wielkość przez $x$ , podstawiam, ustalam dziedzinę z sensu zadania (długości dodatnie) i odczytuję wynik w wierzchołku $x_w=-\dfrac{b}{2a}$ .

$f(x)=-3x^2+12x$ : $x_w=-\tfrac{12}{2\cdot(-3)}=2$ , wartość największa $f(2)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$ .
Z $24$ m siatki ogradzam trzy boki wybiegu przy murze: $P(x)=x(24-2x)$ , $D=(0;12)$ , $x_w=6$ , więc wybieg $6\times 12$ o polu $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{72}}$ m^{do potęgi 2}.
$x+y=4$ , $x,y\ge 0$ : $x^2+y^2=2x^2-8x+16$ , najmniejsza wartość dla $x=2$ , równa $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$ .
Prostokąt w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $8$ i $4$ : z podobieństwa $y=4-\tfrac{x}{2}$ , pole $x\left(4-\tfrac{x}{2}\right)$ największe dla $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ .

Za co są punkty w zadaniu optymalizacyjnym

Na maturze: to zadanie otwarte za 3–5 pkt, zwykle z rysunkiem i gotowym oznaczeniem $x$ . Punkty są za każdy etap osobno — wzór funkcji, dziedzina, wierzchołek, odpowiedź w wielkościach zadania — więc zapisz wszystkie. Karta wzorów daje $x_w=-\frac{b}{2a}$ i $q=-\frac{\Delta}{4a}$ . Typowe pułapki: brak dziedziny (kosztuje punkt), pomylenie „dla jakiego $x$ ” z „ile wynosi wartość” oraz siatka, która nie idzie po wszystkich bokach (mur, przegroda).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wartość największa w wierzchołku paraboli

Z x = −b/(2a) odczytujesz, dla jakiego argumentu funkcja kwadratowa ma wartość największą lub najmniejszą, i liczysz tę wartość.

Zadanie Funkcja $f(x)=-2x^2+12x-7$ osiąga wartość największą. Dla jakiego $x$ i ile ona wynosi?

Współczynnik $a=-2<0$ , więc ramiona paraboli są skierowane w dół i w wierzchołku jest wartość największa — to jej szukam.
Pierwsza współrzędna wierzchołka: $x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2\cdot(-2)}=3$ .
Wartość największa to $f(x_w)$ : $f(3)=-2\cdot 9+12\cdot 3-7=-18+36-7=11$ .
Kontrola z karty wzorów: $\Delta=144-56=88$ , $q=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{88}{-8}=11$ — zgadza się.

Odpowiedź: $x=3$ , wartość największa $11$

Przykład 2 Funkcja jednej zmiennej z warunku zadania

Z warunku wiążącego dwie wielkości (suma, obwód, długość siatki) wyrażasz drugą przez x i podstawiasz do optymalizowanego wyrażenia.

Zadanie Wybieg dla psów ma być prostokątem przylegającym jednym bokiem do muru. Trzy pozostałe boki ogradzamy siatką o długości $40$ m. Zapisz pole wybiegu jako funkcję długości $x$ boku prostopadłego do muru.

Dwa boki prostopadłe do muru mają po $x$ , bok równoległy oznaczam $y$ . Siatka idzie tylko po tych trzech bokach, więc warunek to $2x+y=40$ .
Z warunku wyrażam $y$ przez $x$ : $y=40-2x$ — to kluczowy ruch, bo pole ma zależeć tylko od $x$ .
Pole prostokąta to iloczyn boków: $P(x)=x\cdot y=x(40-2x)$ .
Porządkuję do postaci ogólnej, żeby odczytać $a$ i $b$ : $P(x)=-2x^2+40x$ .

Odpowiedź: $P(x)=-2x^2+40x$

Przykład 3 Dziedzina funkcji z sensu zadania

Ustalasz przedział dla x z warunków, że wszystkie długości (lub liczby) w zadaniu są dodatnie, i sprawdzasz, czy wierzchołek do niego należy.

Zadanie Prostokątny wybieg o bokach $x$ i $y$ dzielimy siatką na dwie części odcinkiem równoległym do boku $y$ , więc siatka tworzy dwa boki długości $x$ i trzy odcinki długości $y$ ; razem ma $30$ m. Pole wybiegu opisuje funkcja $P(x)=x\cdot y$ . Wyznacz dziedzinę funkcji $P$ i sprawdź, czy wierzchołek do niej należy.

Z warunku $2x+3y=30$ wyrażam $y=\frac{30-2x}{3}=10-\frac{2}{3}x$ i zapisuję $P(x)=x\left(10-\frac{2}{3}x\right)=-\frac{2}{3}x^2+10x$ .
Dziedzina bierze się z sensu zadania: obie długości muszą być dodatnie. Pierwszy warunek to $x>0$ .
Drugi warunek to $y>0$ , czyli $10-\frac{2}{3}x>0$ , stąd $x<15$ . Dziedzina: $D=(0;15)$ — przedział otwarty, bo bok długości $0$ nie daje wybiegu.
Wierzchołek: $x_w=-\frac{10}{2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{10}{\frac{4}{3}}=7{,}5$ — należy do $(0;15)$ , więc właśnie tam pole jest największe.

Odpowiedź: $D=(0;15)$ , $x_w=7{,}5\in D$

Przykład 4 Największe pole przy danej długości siatki

Z długości obwodu lub siatki wyrażasz drugi bok przez x, zapisujesz pole jako funkcję kwadratową i z wierzchołka odczytujesz wymiary oraz największe pole.

Zadanie Z siatki o długości $52$ m ogradzamy prostokątny wybieg przylegający jednym bokiem do muru (siatka na trzech bokach). Jakie wymiary powinien mieć wybieg, aby jego pole było największe, i ile wynosi to pole?

Bok prostopadły do muru oznaczam $x$ , równoległy $y$ . Siatka idzie po dwóch bokach $x$ i jednym $y$ : $2x+y=52$ , więc $y=52-2x$ .
Pole jako funkcja $x$ : $P(x)=x(52-2x)=-2x^2+52x$ . Dziedzina z sensu zadania: $x>0$ i $52-2x>0$ , czyli $D=(0;26)$ .
Ramiona w dół ( $a=-2$ ), więc pole największe jest w wierzchołku: $x_w=-\frac{52}{2\cdot(-2)}=13$ , a $13\in D$ .
Wracam do wielkości z zadania: $y=52-2\cdot 13=26$ , największe pole $P(13)=13\cdot 26=338$ m^{do potęgi 2}.

Odpowiedź: wybieg $13$ m $\times$ $26$ m, pole $338$ m^{do potęgi 2}

Przykład 5 Prostokąt wpisany w trójkąt — bok z podobieństwa

Drugi wymiar prostokąta wpisanego w trójkąt lub trapez wyrażasz przez x z proporcji boków trójkątów podobnych, a potem maksymalizujesz pole.

Zadanie W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $12$ (pozioma) i $6$ (pionowa) wpisano prostokąt tak, że jeden jego wierzchołek jest wierzchołkiem kąta prostego, a przeciwległy leży na przeciwprostokątnej. Bok prostokąta leżący na dłuższej przyprostokątnej ma długość $x$ . Dla jakiego $x$ pole prostokąta jest największe?

Drugi bok prostokąta oznaczam $y$ . Odcinek dłuższej przyprostokątnej za prostokątem ma długość $12-x$ , a mały trójkąt o przyprostokątnych $12-x$ i $y$ ma ten sam kąt ostry co duży trójkąt, więc jest do niego podobny: $\frac{y}{12-x}=\frac{6}{12}$ .
Z proporcji wyrażam drugi bok przez $x$ : $y=\frac{1}{2}(12-x)=6-\frac{x}{2}$ — to jest cały „geometryczny” etap zadania.
Pole prostokąta: $P(x)=x\left(6-\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{2}x^2+6x$ , dziedzina z sensu zadania $D=(0;12)$ .
Ramiona w dół, więc maksimum w wierzchołku: $x_w=-\frac{6}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}=6\in D$ ; wtedy $y=3$ i $P(6)=18$ .

Odpowiedź: $x=6$ (prostokąt $6\times 3$ , pole $18$ )

Przykład 6 Najmniejsze pole figury jako różnica pól

Pole trójkąta lub czworokąta wyciętego z kwadratu liczysz jako pole całości minus pola narożnych trójkątów prostokątnych, porządkujesz do ax^{do potęgi 2} + bx + c i szukasz minimum.

Zadanie Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku $6$ . Punkt $E$ leży na boku $AB$ , punkt $F$ na boku $BC$ , przy czym $|AE|=x$ i $|BF|=2x$ , gdzie $x\in(0;3)$ . Wyznacz wzór funkcji $P(x)$ opisującej pole trójkąta $DEF$ i oblicz jego najmniejszą wartość.

Trójkąt $DEF$ nie jest prostokątny, więc jego pole liczę jako pole kwadratu minus pola trzech narożnych trójkątów prostokątnych $ADE$ , $EBF$ i $FCD$ . Brakujące odcinki: $|EB|=6-x$ , $|FC|=6-2x$ .
Pola narożników: $P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot x=3x$ , $P_{EBF}=\frac{1}{2}(6-x)\cdot 2x=6x-x^2$ , $P_{FCD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot(6-2x)=18-6x$ .
$P(x)=36-3x-(6x-x^2)-(18-6x)=x^2-3x+18$ — funkcja kwadratowa z $a=1>0$ , więc ma wartość najmniejszą w wierzchołku.
$x_w=-\frac{-3}{2\cdot 1}=1{,}5\in(0;3)$ ; $P(1{,}5)=2{,}25-4{,}5+18=15{,}75$ .

Odpowiedź: $P(x)=x^2-3x+18$ , najmniejsze pole $15{,}75$ dla $x=1{,}5$

Najczęstsze błędy

Brak dziedziny — kosztuje punkt. Długości muszą być dodatnie, np. przy $P(x)=x(52-2x)$ jest $D=(0;26)$ .
Pomylenie „dla jakiego $x$ ” z „ile wynosi wartość”. $x_w$ to argument, a wartość optymalna to $f(x_w)$ .
Siatka policzona na wszystkich bokach, gdy jeden bok przylega do muru. Wtedy warunek to $2x+y=40$ , a nie obwód całego prostokąta.
Odpowiedź bez powrotu do wielkości z zadania. Podaje się wymiary i pole, np. wybieg $13$ m $\times$ $26$ m o polu $338$ m^{do potęgi 2}.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Najmniejsza wartość funkcji $f(x)=2x^2-8x+5$ jest równa:

Zadanie 2

Liczby dodatnie $x$ i $y$ spełniają warunek $2x+y=20$ . Iloczyn $xy$ zapisany jako funkcja zmiennej $x$ ma wzór:

Zadanie 3

Siatka o długości $24$ m tworzy ogrodzenie prostokątnego wybiegu z przegrodą równoległą do boku $x$ : trzy odcinki długości $x$ i dwa odcinki długości $y$ . Pole wybiegu opisuje funkcja $P(x)=x\cdot y$ . Dziedziną funkcji $P$ jest przedział:

Zadanie 4

Z $30$ m siatki ogradzamy prostokątną zagrodę przylegającą jednym bokiem do ściany stodoły (siatka na trzech bokach). Pole zagrody jest największe, gdy bok prostopadły do ściany i bok równoległy do niej mają odpowiednio długości:

Zadanie 5

W trójkąt równoramienny o podstawie $16$ i wysokości $8$ wpisano prostokąt, którego jeden bok (o długości $x$ ) leży na podstawie trójkąta, a dwa wierzchołki leżą na ramionach. Pole prostokąta jako funkcja $x$ ma wzór:

Zadanie 6

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku $10$ . Punkt $E$ leży na boku $AB$ , punkt $F$ na boku $BC$ , przy czym $|AE|=|BF|=x$ , gdzie $x\in(0;10)$ . Pole trójkąta $DEF$ w zależności od $x$ wyraża wzór:

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Optymalizacja z funkcją kwadratową — matura podstawowa MiedzianyFsor

Optymalizacja — wprowadzenie Pi-stacja Matematyka

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać zadanie optymalizacyjne z funkcją kwadratową?

Z warunku zadania wyraź drugą wielkość przez $x$ , zapisz optymalizowaną wielkość jako funkcję kwadratową, ustal dziedzinę i policz wierzchołek $x_w=-\dfrac{b}{2a}$ . Na koniec odpowiedz w wielkościach z zadania.

Jak obliczyć największe pole prostokąta przy danej długości siatki?

Wyraź pole przez jeden bok i znajdź wierzchołek. Przy murze i $24$ m siatki na trzech bokach: $P(x)=x(24-2x)$ , $D=(0;12)$ , $x_w=6$ , więc wybieg $6\times 12$ ma pole $72$ m^{do potęgi 2}.

Jak wyznaczyć dziedzinę w zadaniu optymalizacyjnym?

Z sensu zadania: wszystkie długości muszą być dodatnie. Przy $24$ m siatki i drugim boku $24-2x$ warunki $x>0$ i $24-2x>0$ dają $D=(0;12)$ ; trzeba też sprawdzić, czy $x_w$ należy do dziedziny.

Gdzie funkcja kwadratowa osiąga wartość największą?

Gdy $a<0$ — w wierzchołku. Dla $f(x)=-3x^2+12x$ : $x_w=-\tfrac{12}{2\cdot(-3)}=2$ , a wartość największa $f(2)=12$ .

Jak znaleźć najmniejszą wartość sumy kwadratów dwóch liczb?

Z warunku wyraź jedną liczbę przez drugą i podstaw. Przy $x+y=4$ i $x,y\ge 0$ : $x^2+y^2=2x^2-8x+16$ , najmniejsza wartość dla $x=2$ , równa $8$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Cechy podobieństwa trójkątów Planimetria Dowody geometryczne Planimetria Ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale Funkcje Funkcja odwrotnie proporcjonalna Funkcje Funkcje trygonometryczne kątów od 0° do 180° Trygonometria Interpretacja współczynników funkcji kwadratowej Funkcje Jedynka trygonometryczna i tożsamości Trygonometria Obwody i pola figur podobnych Planimetria

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy matury podstawowej już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę