Optymalizacja funkcją kwadratową — wytłumaczenie, wzór i zadania

Wielkość, którą optymalizuję, zapisuję jako funkcję kwadratową jednej zmiennej: z warunku zadania wyrażam drugą wielkość przez $x$, podstawiam, ustalam dziedzinę z sensu zadania (długości dodatnie) i odczytuję wynik w wierzchołku $x_w=-\dfrac{b}{2a}$.

• $f(x)=-3x^2+12x$: $x_w=-\tfrac{12}{2\cdot(-3)}=2$, wartość największa $f(2)=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{12}}$.
• Z $24$ m siatki ogradzam trzy boki wybiegu przy murze: $P(x)=x(24-2x)$, $D=(0;12)$, $x_w=6$, więc wybieg $6\times 12$ o polu $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{72}}$ m².
• $x+y=4$, $x,y\ge 0$: $x^2+y^2=2x^2-8x+16$, najmniejsza wartość dla $x=2$, równa $\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{8}}$.
• Prostokąt w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $8$ i $4$: z podobieństwa $y=4-\tfrac{x}{2}$, pole $x\left(4-\tfrac{x}{2}\right)$ największe dla $x=\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$.

Na maturze: to zadanie otwarte za 3–5 pkt, zwykle z rysunkiem i gotowym oznaczeniem $x$. Punkty są za każdy etap osobno — wzór funkcji, dziedzina, wierzchołek, odpowiedź w wielkościach zadania — więc zapisz wszystkie. Karta wzorów daje $x_w=-\frac{b}{2a}$ i $q=-\frac{\Delta}{4a}$. Typowe pułapki: brak dziedziny (kosztuje punkt), pomylenie „dla jakiego $x$” z „ile wynosi wartość” oraz siatka, która nie idzie po wszystkich bokach (mur, przegroda).