Wzory na egzamin ósmoklasisty z matematyki

Maturzyści dostają na sali tablice wzorów. Ósmoklasiści nie dostają nic — CKE nie przewiduje karty wzorów na egzaminie ósmoklasisty. Wszystko poniżej musisz mieć w głowie.

Dobra wiadomość: lista nie jest długa. Zła: samo jej przeczytanie da niewiele. Wzór zapamiętuje się lepiej przez używanie niż przez patrzenie, więc traktuj to jako listę kontrolną do sprawdzenia, co jeszcze wymaga ćwiczeń.

Pola i obwody figur płaskich

Figura	Pole	Obwód
Kwadrat	P = a²	Ob = 4a
Prostokąt	P = a · b	Ob = 2a + 2b
Trójkąt	P = ½ · a · h	suma trzech boków
Równoległobok	P = a · h	Ob = 2a + 2b
Romb	P = a · h albo P = ½ · e · f	Ob = 4a
Trapez	P = ½ · (a + b) · h	suma czterech boków

W rombie e i f to przekątne. Wzór z przekątnymi bywa jedyną drogą, gdy w zadaniu nie ma wysokości — warto pamiętać oba.

Więcej: pola podstawowych figur i własności czworokątów.

Koło i okrąg

Pole koła: P = π · r²
Długość okręgu (obwód koła): L = 2 · π · r, czyli L = π · d
Do obliczeń zwykle przyjmuje się π ≈ 3,14, chyba że w zadaniu napisano inaczej

Najczęstszy błąd to pomylenie promienia ze średnicą. Jeśli w zadaniu podano średnicę, podziel ją przez dwa, zanim cokolwiek podstawisz.

Więcej: pole koła i długość okręgu.

Twierdzenie Pitagorasa

a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna, czyli bok naprzeciw kąta prostego.

Z tego wynikają dwie postacie, których używa się w zadaniach najczęściej:

szukasz przeciwprostokątnej: c = √(a² + b²)
szukasz przyprostokątnej: a = √(c² − b²)

Warto znać na pamięć kilka trójek pitagorejskich, bo wracają w arkuszach: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10; 8, 15, 17.

Więcej: twierdzenie Pitagorasa.

Trójkąty o szczególnych kątach

To nie są „wzory” w ścisłym sensie, ale wracają w zadaniach regularnie i oszczędzają czas.

Trójkąt 90°, 45°, 45° (połowa kwadratu): przyprostokątne są równe a, przeciwprostokątna ma długość a√2.

Trójkąt 90°, 30°, 60° (połowa trójkąta równobocznego): krótsza przyprostokątna a, dłuższa a√3, przeciwprostokątna 2a.

Trójkąt równoboczny o boku a: wysokość h = (a√3)/2, pole P = (a²√3)/4.

Bryły

Objętość graniastosłupa: V = P_p · H
Objętość ostrosłupa: V = ⅓ · P_p · H
Pole powierzchni całkowitej: P_c = 2 · P_p + P_b (graniastosłup) albo P_c = P_p + P_b (ostrosłup)

P_p to pole podstawy, P_b pole powierzchni bocznej, H wysokość bryły.

Sedno jest takie, że pola powierzchni nie liczy się z gotowego wzoru, tylko sumuje pola ścian. Dlatego przy bryłach opłaca się narysować siatkę — nawet pobieżnie, długopisem.

Więcej: graniastosłup i ostrosłup.

Potęgi i pierwiastki

a^m · aⁿ = a^m+n
a^m : aⁿ = a^m−n
(a^m)ⁿ = a^m·n
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
a⁰ = 1 (dla a ≠ 0)
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
√a · √b = √(a · b)
√a : √b = √(a : b)

Zasady mnożenia i dzielenia potęg działają tylko przy tej samej podstawie. To najczęstsze źródło błędów w tym dziale.

Więcej: mnożenie i dzielenie potęg i pierwiastki.

Procenty

p% z liczby a: (p / 100) · a
jaki procent liczby a stanowi b: (b / a) · 100%
podwyżka o p%: pomnóż przez (1 + p/100)
obniżka o p%: pomnóż przez (1 − p/100)

Uwaga na pułapkę, która wraca w arkuszach: podwyżka o 20%, a potem obniżka o 20% nie wraca do ceny wyjściowej. Wychodzi 0,96 ceny początkowej.

Więcej: procenty.

Kąty

Suma kątów w trójkącie: 180°
Suma kątów w czworokącie: 360°
Suma kątów wewnętrznych w n-kącie: (n − 2) · 180°
Kąt w wielokącie foremnym o n bokach: ((n − 2) · 180°) / n
Kąty wierzchołkowe są równe, kąty przyległe sumują się do 180°

Więcej: suma kątów w trójkącie, wielokąt foremny i kąty wierzchołkowe i przyległe.

Prędkość, droga, czas i średnia

s = v · t (droga = prędkość × czas), stąd v = s / t oraz t = s / v
Średnia arytmetyczna: suma liczb podzielona przez ich ilość

Przy zadaniach z prędkością połowa błędów bierze się z jednostek, nie ze wzoru. Jeśli prędkość jest w km/h, a czas w minutach, zamień jednostki, zanim zaczniesz liczyć.

Więcej: droga, prędkość i czas i średnia arytmetyczna.

Jak się tego nauczyć

Przepisanie tej listy na kartkę i powieszenie nad biurkiem daje niewiele. Wzór zostaje w pamięci na dłużej, gdy wyciągasz go z głowy z wysiłkiem — na przykład rozwiązując zadanie bez zaglądania do ściągi — niż gdy tylko na niego patrzysz.

Praktyczna kolejność, która działa:

Weź jeden dział, na przykład pola figur.
Rozwiąż kilka zadań bez zaglądania do wzorów. Jeśli nie pamiętasz — sprawdź, ale następne zadanie znowu zacznij z pamięci.
Wróć do tego działu po kilku dniach, potem po tygodniu lub dwóch. Powtórka po przerwie zwykle utrwala wiedzę na dłużej niż powtórka od razu — i ta różnica rośnie, gdy materiał ma zostać w głowie przez tygodnie, a nie do jutra.

O metodach, które faktycznie działają, piszemy szerzej w tekście jak uczyć się matematyki skutecznie.

W Compass ten mechanizm jest wbudowany: system sam pilnuje, kiedy wrócić do danego wzoru, i nie przepuszcza dalej, dopóki temat nie wychodzi powtarzalnie. Diagnoza jest darmowa i pokazuje, które z powyższych wzorów są u Ciebie pewne, a które tylko wyglądają na znane. Jak z tego powstaje plan na kolejne tygodnie, opisuje nauka do egzaminu ósmoklasisty z matematyki.

Źródła

Komunikat dyrektora CKE o materiałach i przyborach pomocniczych w 2027 r. — na egzaminie ósmoklasisty z matematyki tylko długopis i linijka, bez zestawu wzorów
Komunikat dyrektora CKE o harmonogramie egzaminów w 2027 r. — egzamin z matematyki 11 maja 2027 r.
Informator o egzaminie ósmoklasisty z matematyki od roku szkolnego 2024/2025, CKE — zakres wymagań i przykładowe zadania
Rowland, C. A. (2014). The effect of testing versus restudy on retention: A meta-analytic review of the testing effect. Psychological Bulletin, 140(6), 1432–1463. doi:10.1037/a0037559 — przypominanie sobie a ponowne czytanie
Cepeda, N. J., Vul, E., Rohrer, D., Wixted, J. T., Pashler, H. (2008). Spacing effects in learning: A temporal ridgeline of optimal retention. Psychological Science, 19(11), 1095–1102. doi:10.1111/j.1467-9280.2008.02209.x — powtórki rozłożone w czasie