Przejdź do treści
Poznaj Compass

Kąty wierzchołkowe i przyległe — jak je rozpoznać i obliczyć

Kąty przyległe mają wspólny wierzchołek i wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą — ich miary sumują się do 180°. Kąty wierzchołkowe powstają przy przecięciu dwóch prostych, leżą naprzeciw siebie i są równe.

Kąty · egzamin ósmoklasisty Klasa 5 → Zobacz na planecie →

70°110°70°110°ABCDODwie proste AB i CD przecinają się w O. Wyróżnione AOC i BOD to kąty wierzchołkowe (równe)

Co to są kąty przyległe

Kąty przyległe mają wspólny wierzchołek, jedno wspólne ramię, a pozostałe dwa ramiona tworzą jedną prostą. Razem dają kąt półpełny — ich miary sumują się do 180°\textcolor{#e11d48}{\mathbf{180°}}.

Jak obliczyć kąt przyległy

  • 70°+110°=180°\textcolor{#0284c7}{\mathbf{70°}} + \textcolor{#059669}{\mathbf{110°}} = \textcolor{#e11d48}{\mathbf{180°}}
  • 135°+45°=180°\textcolor{#0284c7}{\mathbf{135°}} + \textcolor{#059669}{\mathbf{45°}} = \textcolor{#e11d48}{\mathbf{180°}}
  • znając jeden kąt, drugi liczę: 180°−pierwszy180° - \text{pierwszy}

Co to są kąty wierzchołkowe

Kąty wierzchołkowe powstają, gdy przecinają się dwie proste. Mają wspólny wierzchołek, a ich ramiona są przedłużeniami ramion drugiego kąta. Kąty wierzchołkowe są równe — mają tę samą miarę.

Cztery kąty przy przecięciu dwóch prostych

  • po przecięciu dwóch prostych powstają 4\textcolor{#d97706}{\mathbf{4}} kąty: 2\textcolor{#0284c7}{\mathbf{2}} pary kątów wierzchołkowych
  • jeśli jeden kąt to 70°\textcolor{#0284c7}{\mathbf{70°}}, to naprzeciw też jest 70°\textcolor{#0284c7}{\mathbf{70°}}, a oba pozostałe to 110°\textcolor{#059669}{\mathbf{110°}}

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Jak rozpoznać kąty przyległe

Dwa kąty są przyległe, jeśli mają wspólny wierzchołek, jedno wspólne ramię, a dwa pozostałe ramiona leżą na jednej prostej (tworzą prostą, czyli kąt półpełny 180°). Krótko: kąty przyległe „opierają się” o tę samą prostą i razem ją wypełniają. Jeden jest po jednej stronie wspólnego ramienia, drugi po drugiej.

Zadanie Mam półprostą wychodzącą z punktu O w stronę punktu A. Z punktu O wychodzi też ramię OC, które dzieli kąt półpełny AOB na dwa kąty: AOC i COB. Czy te dwa kąty są przyległe?

  1. Wspólny wierzchołek: O — zgadza się.
  2. Wspólne ramię: OC — to ramię dzieli całość na dwa kąty.
  3. Pozostałe ramiona: OA i OB — leżą na jednej prostej AB, czyli tworzą kąt półpełny 180°.
  4. Wszystkie trzy warunki spełnione, więc kąty AOC i COB są przyległe.

Odpowiedź: Tak — mają wspólny wierzchołek O, wspólne ramię OC, a ramiona OA i OB leżą na jednej prostej (AB). To kąty przyległe.

Przykład 2 Obliczanie kąta przyległego — suma 180°

Kąty przyległe razem tworzą kąt półpełny, więc ich miary sumują się do 180°. Z tej własności korzystam, by znaleźć miarę jednego kąta, gdy znam drugi: odejmuję od 180°. Przykład: jeśli jeden kąt ma 70°, to drugi ma 180° − 70° = 110°.

Zadanie Kąt AOC ma miarę 130°. Kąt COB jest do niego przyległy. Jaką miarę ma kąt COB?

  1. Kąty AOC i COB są przyległe, więc ich miary sumują się do 180°.
  2. Znam jeden kąt: AOC = 130°.
  3. Drugi liczę: 180° − 130° = 50°.
  4. Kąt COB ma 50°.

Odpowiedź: Kąt COB ma 50°.

Przykład 3 Jak rozpoznać kąty wierzchołkowe

Gdy dwie proste przecinają się w jednym punkcie, powstają cztery kąty. Para kątów leżących naprzeciwko siebie (po obu stronach punktu przecięcia) to kąty wierzchołkowe. Mają wspólny wierzchołek, a ich ramiona to przedłużenia ramion drugiego kąta — nie sąsiadują, tylko leżą „na krzyż”. Przy każdym przecięciu dwóch prostych są dwie pary kątów wierzchołkowych.

Zadanie Proste AB i CD przecinają się w punkcie O. Powstały cztery kąty: AOC, COB, BOD, DOA. Wskaż parę kątów wierzchołkowych.

  1. Dwie proste AB i CD przecinają się w O — powstają 4 kąty: AOC, COB, BOD, DOA.
  2. Kąty wierzchołkowe leżą „na krzyż” — nie obok siebie.
  3. AOC leży naprzeciw BOD (ramiona OA i OB są przedłużeniami, tak samo OC i OD).
  4. Druga para wierzchołkowa: COB i DOA.

Odpowiedź: Kąty AOC i BOD są wierzchołkowe (leżą naprzeciw siebie). Druga para to COB i DOA.

Przykład 4 Wszystkie cztery kąty przy przecięciu prostych

Kąty wierzchołkowe zawsze mają taką samą miarę. Dlatego znając jeden z czterech kątów powstałych przy przecięciu dwóch prostych, znam wszystkie cztery: dwa wierzchołkowe są równe danemu, a dwa pozostałe to jego dopełnienie do 180° (są przyległe).

Zadanie Proste AB i CD przecinają się w O. Kąt AOC ma 65°. Ile mają miary pozostałe trzy kąty: COB, BOD, DOA?

  1. AOC = 65°.
  2. COB jest przyległy do AOC, więc COB = 180° − 65° = 115°.
  3. BOD jest wierzchołkowy do AOC, więc BOD = 65°.
  4. DOA jest wierzchołkowy do COB, więc DOA = 115°.

Odpowiedź: COB = 115°, BOD = 65°, DOA = 115°.

Najczęstsze błędy

  • Mylenie kątów wierzchołkowych z przyległymi. Wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie („na krzyż”) i są równe, a przyległe leżą obok siebie i razem dają 180°.
  • Przepisanie tej samej miary dla kąta obok. Gdy jeden kąt przy przecięciu prostych ma 70°, kąt naprzeciw też ma 70°, ale kąty obok mają po 110°.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Które warunki musi spełniać para kątów, żeby były przyległe?

Zadanie 2

Kąt ma miarę 75°. Jaką miarę ma kąt do niego przyległy?

Zadanie 3

Proste KL i MN przecinają się w punkcie P. Powstają cztery kąty: KPM, MPL, LPN, NPK. Która para to kąty wierzchołkowe?

Zadanie 4

Proste przecinają się w punkcie O. Jeden z czterech powstałych kątów ma 40°. Jaką miarę ma kąt do niego wierzchołkowy?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 5

Dany jest trapez ABCDABCD, w którym bok ABAB jest równoległy do boku DCDC. W tym trapezie poprowadzono odcinek ECEC równoległy do boku ADAD, podano miary dwóch kątów oraz oznaczono kąt α\alpha.

Rysunek do zadania CKE 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt α\alpha ma miarę

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kąty przyległe Pi-stacja
Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające — klasa 5 KAWAŁ WIEDZY
Kąty przyległe i wierzchołkowe — zadania i przykłady Po prostu Licz

Najczęstsze pytania

Co to są kąty przyległe?

Dwa kąty o wspólnym wierzchołku i jednym wspólnym ramieniu, których pozostałe ramiona tworzą jedną prostą. Razem dają kąt półpełny, więc ich miary sumują się do 180°.

Co to są kąty wierzchołkowe?

Kąty leżące naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych. Ramiona jednego są przedłużeniami ramion drugiego, a ich miary są równe.

Jak obliczyć kąt przyległy?

Odejmujemy znany kąt od 180°: jeśli jeden kąt ma 135°, przyległy do niego ma 180°−135°=45°180° - 135° = 45°.

Ile kątów powstaje przy przecięciu dwóch prostych?

Cztery — dwie pary kątów wierzchołkowych. Gdy jeden ma 70°, kąt naprzeciw też ma 70°, a dwa pozostałe po 110°.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Mierzenie kątów Kąty Porównywanie kątów Kąty Ramiona i wierzchołek kąta Kąty Rodzaje kątów Kąty Rysowanie kątów Kąty Jednostki masy Obliczenia praktyczne Jednostki objętości i pojemności Obliczenia w geometrii Kąty wierzchołkowe Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę