Wielokąt foremny — definicja, suma kątów i kąt wewnętrzny

Q: Jaki jest wzór na sumę kątów wielokąta?

Sₙ = (n - 2) · 180°, gdzie n to liczba boków. Działa dla każdego n-kąta, nie tylko foremnego — np. sześciokąt ma 4 · 180° = 720°.

Q: Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego?

Sumę kątów dzielimy przez liczbę boków: α = ((n - 2) · 180°)/n. Dla sześciokąta foremnego: 720°: 6 = 120°.

Q: Jak z miary kąta obliczyć liczbę boków wielokąta foremnego?

Rozwiązujemy równanie α = ((n - 2) · 180°)/n, czyli n = 360°/(180° - α). Dla kąta 135°: n = 360°: 45° = 8, to ośmiokąt foremny.

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne równe. Suma kątów $n$ -kąta to $S_n = (n - 2) \cdot 180°$ , a jeden kąt $n$ -kąta foremnego to $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$ .

Wielokąty · egzamin ósmoklasisty Klasa 8 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Suma kątów wewnętrznych n-kąta $n$ — liczba boków (wzór działa dla każdego $n$ -kąta): $S_n = (n - 2) \cdot 180°$
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego $\alpha$ — miara jednego kąta, $n$ — liczba boków: $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$

Co to jest wielokąt foremny

Wielokąt foremny to wielokąt, w którym jednocześnie:

wszystkie boki mają tę samą długość,

wszystkie kąty wewnętrzne mają tę samą miarę.

Czy romb i prostokąt są foremne

Oba warunki muszą być spełnione razem. Sam fakt, że boki są równe, nie wystarczy — np. romb ma wszystkie boki równe, ale jego kąty są różne (poza szczególnym przypadkiem, gdy romb jest kwadratem), więc romb nie jest foremny. Podobnie prostokąt ma wszystkie kąty równe (po $90°$ ), ale boki są dwóch różnych długości, więc też nie jest foremny.

Kąty wewnętrzne wielokątów foremnych — tabela

Liczba boków $n$	Nazwa	Kąt wewnętrzny
3	trójkąt równoboczny	$60°$
4	kwadrat	$90°$
5	pięciokąt foremny	$108°$
6	sześciokąt foremny	$120°$
8	ośmiokąt foremny	$135°$
10	dziesięciokąt foremny	$144°$

Wzór na sumę kątów wielokąta

Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych dowolnego (niekoniecznie foremnego) $n$ -kąta: $S_n = (n - 2) \cdot 180°.$ Wzór bierze się z podzielenia $n$ -kąta przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty — a każdy trójkąt wnosi $180°$ .

Wzór na kąt wewnętrzny wielokąta foremnego

Miara jednego kąta wewnętrznego $n$ -kąta foremnego (wszystkie kąty są równe, więc dzielimy sumę przez $n$ ): $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}.$

Dzięki tym wzorom umiesz: policzyć miarę kąta foremnego o dowolnej liczbie boków oraz — odwrotnie — z podanej miary kąta odgadnąć, ile boków ma figura.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Czy figura jest wielokątem foremnym

Technika: aby stwierdzić, czy figura jest wielokątem foremnym, sprawdź OBA warunki: (1) czy wszystkie boki mają tę samą długość, (2) czy wszystkie kąty wewnętrzne mają tę samą miarę. Jeśli choć jeden warunek nie jest spełniony — figura nie jest foremna. Typowe pułapki: romb (równe boki, różne kąty — NIE foremny), prostokąt nie będący kwadratem (równe kąty, różne boki — NIE foremny), kwadrat (i równe boki, i równe kąty — TAK, foremny).

Zadanie Które z figur są wielokątami foremnymi: trójkąt równoboczny, romb (nie kwadrat), prostokąt (nie kwadrat), kwadrat, trapez równoramienny?

Foremny = DWA warunki naraz: wszystkie boki równe I wszystkie kąty równe.
Trójkąt równoboczny ✓✓ i kwadrat ✓✓ — foremne.
Romb: boki ✓, kąty ✗. Prostokąt: kąty ✓, boki ✗. Trapez równoramienny: ani boki, ani kąty ✗. Nie są foremne.

Odpowiedź: Foremne są tylko trójkąt równoboczny i kwadrat.

Przykład 2 Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Technika: aby obliczyć sumę miar wszystkich kątów wewnętrznych dowolnego n-kąta (nawet niewypukłego, ale prostego — bez samoprzecięć), zastosuj wzór S = (n − 2) · 180°. Wzór działa, bo każdy n-kąt można podzielić przekątnymi z jednego wierzchołka na n − 2 trójkąty, a w każdym trójkącie suma kątów to 180°. Sześciokąt: 4 · 180° = 720°. Dziesięciokąt: 8 · 180° = 1440°.

Zadanie Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych dziewięciokąta.

Z jednego wierzchołka dziewięciokąta wychodzi 6 przekątnych — dzielą go na 9 − 2 = 7 trójkątów.
Każdy trójkąt ma 180°: S = (9 − 2) · 180° = 7 · 180°.
S = 1260°.

Odpowiedź: 1260°.

Przykład 3 Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego

Technika: w n-kącie FOREMNYM wszystkie kąty są równe, więc miarę jednego kąta wewnętrznego dostajemy dzieląc sumę wszystkich kątów przez n: α = (n − 2) · 180° / n. Najpierw policz licznik (n − 2) · 180°, potem podziel przez n. Ten wzór działa TYLKO dla wielokątów foremnych — dla zwykłych n-kątów kąty mogą być różne i wzór mówi tylko o ich sumie.

Zadanie Oblicz miarę kąta wewnętrznego pięciokąta foremnego.

Suma kątów pięciokąta: (5 − 2) · 180° = 540°.
W foremnym wszystkie 5 kątów jest równych: 540° : 5.
α = 108°.

Odpowiedź: 108°.

Przykład 4 Liczba boków z miary kąta wewnętrznego

Technika: jeśli wiesz, że wielokąt foremny ma kąt wewnętrzny o znanej mierze α, znajdź n rozwiązując równanie α = (n − 2) · 180° / n. Mnoż obie strony przez n, doprowadź do postaci α · n = (n − 2) · 180°, rozwiń prawą stronę: α · n = 180° · n − 360°. Przenieś wyrazy z n na jedną stronę: 360° = n · (180° − α), skąd n = 360° / (180° − α). Sprawdź, że n wyszło liczbą naturalną — jeśli nie, taki wielokąt foremny nie istnieje.

Zadanie Wielokąt foremny ma kąt wewnętrzny o mierze 144°. Ile ma boków?

Wzór: α = (n − 2) · 180° / n. Podstawiam α = 144°: 144n = 180n − 360.
180n − 144n = 360 → 36n = 360 → n = 10.
Sprawdzenie: (10 − 2) · 180° / 10 = 144° ✓. To dziesięciokąt foremny.

Odpowiedź: n = 10 (dziesięciokąt foremny).

Najczęstsze błędy

Uznanie rombu za wielokąt foremny, bo ma równe boki. Muszą być spełnione oba warunki naraz: równe boki i równe kąty — romb i prostokąt, które nie są kwadratami, nie są foremne.
Stosowanie wzoru $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$ do dowolnego wielokąta. Działa tylko dla foremnych; dla zwykłego $n$ -kąta wiemy tylko, ile wynosi suma kątów.
Podanie liczby boków, która nie jest liczbą naturalną. Jeśli z miary kąta $n$ nie wychodzi liczbą naturalną, taki wielokąt foremny nie istnieje.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Która z poniższych figur jest wielokątem foremnym?

Zadanie 2

Oblicz sumę miar wszystkich kątów wewnętrznych ośmiokąta.

Zadanie 3

Oblicz miarę kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego.

Zadanie 4

Wielokąt foremny ma kąt wewnętrzny o mierze 135°. Ile boków ma ten wielokąt?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wielokąty foremne — E8 MatWujek

Wielokąt foremny. Suma kątów w wielokącie — całościowe omówienie Lernado

Wielokąty foremne — suma miar kątów w wielokącie Wzorowanie

Najczęstsze pytania

Co to jest wielokąt foremny?

Wielokąt, który ma jednocześnie wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równej miary. Przykłady: trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny.

Jaki jest wzór na sumę kątów wielokąta?

$S_n = (n - 2) \cdot 180°$ , gdzie $n$ to liczba boków. Działa dla każdego $n$ -kąta, nie tylko foremnego — np. sześciokąt ma $4 \cdot 180° = 720°$ .

Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego?

Sumę kątów dzielimy przez liczbę boków: $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$ . Dla sześciokąta foremnego: $720° : 6 = 120°$ .

Jak z miary kąta obliczyć liczbę boków wielokąta foremnego?

Rozwiązujemy równanie $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180°}{n}$ , czyli $n = \frac{360°}{180° - \alpha}$ . Dla kąta $135°$ : $n = 360° : 45° = 8$ , to ośmiokąt foremny.

Czy romb jest wielokątem foremnym?

Nie, jeśli nie jest kwadratem: ma równe boki, ale różne kąty. Podobnie prostokąt, który nie jest kwadratem, ma równe kąty, ale boki dwóch różnych długości.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Pola figur i odcinki Wielokąty Cechy przystawania trójkątów Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Długość okręgu Długość okręgu i pole koła Dowody geometryczne Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty przy prostych równoległych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Mnożenie dwumianów Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Objętość i pole ostrosłupa Geometria przestrzenna Pole koła Długość okręgu i pole koła

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę