Przejdź do treści
Poznaj Compass

Pola podstawowych figur — wzory i przykłady

Pole prostokąta to P=a⋅bP = a \cdot b, równoległoboku P=a⋅hP = a \cdot h, trójkąta P=a⋅h2P = \dfrac{a \cdot h}{2}, a trapezu P=(a+b)⋅h2P = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}. Wynik podajemy w jednostkach kwadratowych, np. cm do potęgi 2.

Obliczenia w geometrii · egzamin ósmoklasisty Klasa 4 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Pole prostokąta aa, bb — długości dwóch sąsiednich boków
P=a⋅b\mathbf{P} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}
Pole równoległoboku aa — bok, hh — wysokość opuszczona na ten bok
P=a⋅h\mathbf{P} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{h}
Pole trójkąta aa — bok trójkąta, hh — wysokość opuszczona na ten bok
P=a⋅h2\mathbf{P} = \dfrac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{h}}{2}
Pole trapezu aa, bb — podstawy (boki równoległe), hh — wysokość trapezu
P=(a+b)⋅h2\mathbf{P} = \dfrac{(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{h}}{2}

Co to jest pole figury

Pole to liczba jednostkowych kwadracików mieszczących się wewnątrz figury. Każda figura ma swój wzór — wystarczy podstawić długości.

Wzory na pola figur

  • Prostokąt: P=a⋅b\mathbf{P} = \textcolor{#0284c7}{\mathbf{a}} \cdot \textcolor{#059669}{\mathbf{b}} (dwa sąsiednie boki)
  • Kwadrat: P=a⋅a=a2\mathbf{P} = \textcolor{#0284c7}{\mathbf{a}} \cdot \textcolor{#0284c7}{\mathbf{a}} = \textcolor{#0284c7}{\mathbf{a}}^2
  • Równoległobok: P=a⋅h\mathbf{P} = \textcolor{#0284c7}{\mathbf{a}} \cdot \textcolor{#059669}{\mathbf{h}} (bok i wysokość opuszczona na ten bok)
  • Romb: P=e⋅f2\mathbf{P} = \dfrac{\textcolor{#d97706}{\mathbf{e}} \cdot \textcolor{#e11d48}{\mathbf{f}}}{2} (połowa iloczynu przekątnych)
  • Trójkąt: P=a⋅h2\mathbf{P} = \dfrac{\textcolor{#0284c7}{\mathbf{a}} \cdot \textcolor{#059669}{\mathbf{h}}}{2}
  • Trapez: P=(a+b)⋅h2\mathbf{P} = \dfrac{(\textcolor{#0284c7}{\mathbf{a}} + \textcolor{#e11d48}{\mathbf{b}}) \cdot \textcolor{#059669}{\mathbf{h}}}{2} (suma podstaw razy wysokość, dzielona przez 2)

Długości we wzorze muszą być w tej samej jednostce. Wynik zapisuję w jednostce kwadratowej: cm2\mathrm{cm}^2, m2\mathrm{m}^2.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Pole prostokąta i kwadratu

Pole prostokąta to iloczyn długości dwóch sąsiednich boków: P = a · b. Kwadrat to prostokąt o równych bokach, więc P = a · a = a do potęgi 2. Boki muszą być w tej samej jednostce — wynik wychodzi w jednostce kwadratowej.

Zadanie Prostokąt ma boki długości 7 cm i 4 cm. Oblicz jego pole.

  1. Wzór: P = a · b.
  2. Podstawiam: a = 7 cm, b = 4 cm.
  3. P = 7 · 4 = 28.
  4. Pole prostokąta: 28 cm do potęgi 2.

Odpowiedź: P = 28 cm do potęgi 2.

Przykład 2 Pole równoległoboku z boku i wysokości

Pole równoległoboku to iloczyn długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: P = a · h. Wysokość to odcinek prostopadły do boku a, łączący go z bokiem przeciwległym — nie jest to bok ukośny. Boki ukośne nie wchodzą do wzoru.

Zadanie Równoległobok ma bok a = 8 cm i wysokość opuszczoną na ten bok h = 5 cm. Oblicz jego pole.

  1. Wzór: P = a · h.
  2. Podstawiam: a = 8 cm, h = 5 cm.
  3. P = 8 · 5 = 40.
  4. Pole równoległoboku: 40 cm do potęgi 2.

Odpowiedź: P = 40 cm do potęgi 2.

Przykład 3 Pole rombu z przekątnych

ABCD
Romb — pole to połowa iloczynu jego przekątnych e i f

Romb ma cztery równe boki, a jego przekątne przecinają się pod kątem prostym. Pole rombu liczę z przekątnych: P = (e · f) : 2, gdzie e i f to długości przekątnych. Równoważnie P = a · h, jak w każdym równoległoboku — ale dla rombu wygodniej zwykle korzystać z przekątnych.

Zadanie Romb ma przekątne e = 6 cm i f = 10 cm. Oblicz jego pole.

  1. Wzór: P = (e · f) : 2.
  2. Podstawiam: e = 6 cm, f = 10 cm.
  3. Iloczyn: 6 · 10 = 60.
  4. P = 60 : 2 = 30.
  5. Pole rombu: 30 cm do potęgi 2.

Odpowiedź: P = 30 cm do potęgi 2.

Przykład 4 Pole trójkąta z boku i wysokości

Pole trójkąta to połowa iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok: P = (a · h) : 2. Każdy trójkąt ma trzy wysokości — do wzoru bierzemy dowolny bok i wysokość prostopadłą do tego boku. W trójkącie prostokątnym dwie przyprostokątne są dla siebie wysokością i podstawą, więc P = (przyprostokątna · przyprostokątna) : 2.

Zadanie Trójkąt ma bok a = 9 cm i wysokość opuszczoną na ten bok h = 4 cm. Oblicz jego pole.

  1. Wzór: P = (a · h) : 2.
  2. Podstawiam: a = 9 cm, h = 4 cm.
  3. Iloczyn: 9 · 4 = 36.
  4. P = 36 : 2 = 18.
  5. Pole trójkąta: 18 cm do potęgi 2.

Odpowiedź: P = 18 cm do potęgi 2.

Przykład 5 Pole trapezu

Trapez ma dwa boki równoległe — to podstawy a i b. Odległość między podstawami to wysokość h. Pole liczę: P = ((a + b) · h) : 2 — najpierw dodaję podstawy, mnożę przez wysokość, potem dzielę na 2. Boki ukośne nie wchodzą do wzoru.

Zadanie Trapez ma podstawy a = 10 cm i b = 6 cm oraz wysokość h = 5 cm. Oblicz jego pole.

  1. Wzór: P = ((a + b) · h) : 2.
  2. Podstawiam: a = 10 cm, b = 6 cm, h = 5 cm.
  3. Suma podstaw: 10 + 6 = 16.
  4. Mnożę przez wysokość: 16 · 5 = 80.
  5. P = 80 : 2 = 40.
  6. Pole trapezu: 40 cm do potęgi 2.

Odpowiedź: P = 40 cm do potęgi 2.

Najczęstsze błędy

  • Bok ukośny zamiast wysokości w równoległoboku i trapezie. Wysokość jest prostopadła do boku, na który ją opuszczono; boki ukośne nie wchodzą do wzoru.
  • Brak dzielenia przez 2 w polu trójkąta, rombu i trapezu — wynik wychodzi 2 razy za duży.
  • Mnożenie przez wysokość tylko jednej podstawy trapezu. Najpierw dodajemy obie podstawy, potem mnożymy przez hh i dzielimy przez 2.
  • Długości w różnych jednostkach. Przed podstawieniem zamieniamy je na tę samą jednostkę, a wynik zapisujemy w cm do potęgi 2 lub m do potęgi 2.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Prostokąt ma boki długości 12 cm i 5 cm. Jakie jest jego pole?

12 cm5 cm12 cm5 cmABCD
Zadanie 2

Równoległobok ma bok a = 12 cm i wysokość opuszczoną na ten bok h = 7 cm. Ile wynosi jego pole?

a = 12 cmABCD
Zadanie 3

Przekątne rombu mają długości 8 cm i 12 cm. Ile wynosi pole tego rombu?

ABCD
Zadanie 4

Trójkąt ma bok a = 10 cm i wysokość opuszczoną na ten bok h = 6 cm. Ile wynosi jego pole?

a = 10 cmABC
Zadanie 5

Trapez ma podstawy a = 8 cm i b = 4 cm oraz wysokość h = 5 cm. Ile wynosi jego pole?

a = 8 cmb = 4 cmABCD
Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 12

W prostokącie ABCDABCD punkty EE i FF są środkami boków BCBC i CDCD (zobacz rysunek). Długość odcinka ECEC jest równa 6 cm, a długość odcinka EFEF jest równa 10 cm.

Rysunek do zadania CKE 12

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód prostokąta ABCDABCD jest równy

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Pole kwadratu i prostokąta — wprowadzenie Pi-stacja
Pole równoległoboku i rombu (klasa 5) MatWujek
Pole trójkąta — zadania, klasa 5 Anna Łoćwin
Pole trapezu (klasa 5) MatWujek

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na pole trapezu?

P=(a+b)⋅h2P = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}: dodajemy podstawy aa i bb, mnożymy przez wysokość hh i dzielimy przez 2. Dla podstaw 8 cm i 4 cm oraz wysokości 3 cm: 12⋅32=18\dfrac{12 \cdot 3}{2} = 18 cm do potęgi 2.

Jaki jest wzór na pole trójkąta?

P=a⋅h2P = \dfrac{a \cdot h}{2} — bok razy wysokość opuszczona na ten bok, podzielone przez 2. W trójkącie prostokątnym wystarczy pomnożyć przyprostokątne i podzielić przez 2.

Jak obliczyć pole rombu?

Z przekątnych: P=e⋅f2P = \dfrac{e \cdot f}{2}, czyli połowa iloczynu przekątnych. Można też jak w każdym równoległoboku: P=a⋅hP = a \cdot h.

Jak obliczyć pole równoległoboku?

Mnożymy bok przez wysokość opuszczoną na ten bok: P=a⋅hP = a \cdot h. Wysokość jest prostopadła do boku — boku ukośnego nie wstawiamy do wzoru.

W jakich jednostkach podaje się pole?

W jednostkach kwadratowych: cm do potęgi 2, m do potęgi 2. Długości we wzorze muszą być w tej samej jednostce.

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Jednostki pola Obliczenia w geometrii Obwód wielokąta Obliczenia w geometrii Pole przez podział figur Obliczenia w geometrii Jednostki objętości i pojemności Obliczenia w geometrii Objętość prostopadłościanu Obliczenia w geometrii Obliczanie kątów Obliczenia w geometrii Cechy podzielności Działania na liczbach naturalnych Cięciwa średnica promień Wielokąty, koła i okręgi

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę