Średnia arytmetyczna — wzór, przykłady i zadania

Q: Jaki jest wzór na średnią arytmetyczną?

x̄ = (a₁ + a₂ + … + aₙ)/n, gdzie a₁, …, aₙ to dane liczby, a n — ich liczba.

Q: Jak obliczyć brakującą liczbę, gdy znam średnią?

Najpierw liczymy całą sumę: suma = x̄ · n, potem odejmujemy od niej znane liczby. Gdy średnia trzech liczb to 6, a dwie z nich to 5 i 8, suma wynosi 6 · 3 = 18, a brakująca liczba 18 - 13 = 5.

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb podzielona przez liczbę składników: $\bar{x} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$ . Na przykład średnia ocen 4, 5, 3, 5, 3 to $20 : 5 = 4$ .

Odczytywanie danych i elementy statystyki opisowej · egzamin ósmoklasisty Klasa 5 → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Średnia arytmetyczna $a_1, a_2, \dots, a_n$ — dane liczby, $n$ — liczba składników: $\bar{x} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$
Suma ze średniej $\bar{x}$ — średnia, $n$ — liczba składników: $\text{suma} = \bar{x} \cdot n$

Wzór na średnią arytmetyczną

Średnia arytmetyczna liczb to ich suma podzielona przez liczbę składników:

$\bar{x} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}.$

Średnia mówi, jaka byłaby wartość każdego składnika, gdyby wszystkie były równe (a suma się nie zmieniła).

Jak obliczyć średnią arytmetyczną

Policz wszystkie składniki — to jest $n$ .
Dodaj wszystkie składniki — to jest suma.
Podziel sumę przez $n$ .

Przykład: oceny Ani z matematyki: $4,\,5,\,3,\,5,\,3$ . Średnia to $\tfrac{4+5+3+5+3}{5} = \tfrac{20}{5} = 4$ .

Jak obliczyć brakującą liczbę, gdy znana jest średnia

Gdy znasz średnią i wszystkie składniki oprócz jednego, korzystasz z zależności:

$\text{suma} = \bar{x} \cdot n.$

Najpierw wyliczasz całą sumę, potem odejmujesz od niej znane składniki — to, co zostanie, jest szukaną liczbą.

Jak sprawdzić wynik

Średnia musi leżeć między najmniejszą a największą liczbą z listy. Jeśli wyszło inaczej — gdzieś jest błąd.
Dziel przez liczbę składników, nie przez np. liczbę różnych wartości.
Przy ocenach z tabeli częstości każdą ocenę liczysz tyle razy, ile osób ją dostało.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Średnia arytmetyczna kilku liczb naturalnych

Średnią arytmetyczną liczb obliczamy w dwóch krokach: najpierw dodajemy wszystkie składniki, potem dzielimy sumę przez liczbę składników. Wzór: $\bar{x} = \tfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$ . Wynik zawsze leży między najmniejszą a największą z dodawanych liczb — to wygodny sposób na szybkie sprawdzenie.

Zadanie Oblicz średnią arytmetyczną liczb: 7, 9, 6, 8, 10.

Liczymy składniki: 7, 9, 6, 8, 10 — jest ich 5, więc n = 5.
Dodajemy wszystkie liczby: 7 + 9 + 6 + 8 + 10 = 40.
Dzielimy sumę przez liczbę składników: 40 : 5 = 8.
Sprawdzenie: 8 leży między 6 (najmniejsza) a 10 (największa) — OK.

Odpowiedź: Średnia wynosi 8.

Przykład 2 Średnia arytmetyczna liczb dziesiętnych

Procedura jest identyczna jak dla liczb naturalnych: $\bar{x} = \tfrac{a_1 + \dots + a_n}{n}$ . Trzeba tylko starannie dodać liczby dziesiętne (przecinek pod przecinkiem) i wykonać dzielenie liczby dziesiętnej przez liczbę naturalną — w wyniku przecinek pojawia się na tym samym miejscu, na którym był w dzielnej.

Zadanie Czasy biegu Ani na 60 m w pięciu kolejnych próbach: 9,8 s; 10,2 s; 9,6 s; 10,0 s; 9,4 s. Oblicz jej średni czas.

Liczymy składniki: jest 5 czasów, więc n = 5.
Dodajemy: 9,8 + 10,2 + 9,6 + 10,0 + 9,4 = 49,0 s.
Dzielimy sumę przez n: 49,0 : 5 = 9,8 s.
Sprawdzenie: 9,8 leży między 9,4 (najmniejszy) a 10,2 (największy) — OK.

Odpowiedź: Średni czas wynosi 9,8 sekundy.

Przykład 3 Brakująca liczba, gdy znana jest średnia

Ze wzoru na średnią wynika zależność: $\text{suma} = \bar{x} \cdot n$ . Jeśli znasz średnią i wszystkie składniki poza jednym, najpierw wyznaczasz całą sumę ( $\bar{x}\cdot n$ ), a potem odejmujesz od niej znane składniki — to, co zostanie, jest szukaną liczbą.

Zadanie Średnia arytmetyczna pięciu ocen Kasi z matematyki wynosi 4. Cztery z tych ocen to: 3, 5, 4, 5. Jaka była piąta ocena?

Liczba składników n = 5, średnia x̄ = 4.
Cała suma ocen: suma = x̄ · n = 4 · 5 = 20.
Suma czterech znanych ocen: 3 + 5 + 4 + 5 = 17.
Piąta ocena = 20 − 17 = 3.
Sprawdzenie: (3 + 5 + 4 + 5 + 3) : 5 = 20 : 5 = 4 — OK.

Odpowiedź: Piąta ocena to 3.

Przykład 4 Średnia ocen z tabeli częstości

Ocena	Liczba uczniów
2	2
3	5
4	8
5	4
6	1

Gdy te same wartości powtarzają się i są zebrane w tabelę „wartość — liczba wystąpień", każdą wartość liczymy tyle razy, ile razy się pojawiła. Sumę liczymy jako $\sum (\text{wartość} \cdot \text{liczba wystąpień})$ , a liczbę składników $n$ jako sumę liczb wystąpień ze wszystkich wierszy. Średnia: $\bar{x} = \tfrac{\sum (a_i \cdot k_i)}{\sum k_i}$ .

Zadanie W tabeli zapisano oceny z klasówki w klasie 7a. Oblicz średnią ocen w tej klasie. (Tabela: ocena 2 — 2 uczniów, 3 — 5, 4 — 8, 5 — 4, 6 — 1.)

Liczba uczniów (n): 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20.
Suma ocen z każdego wiersza: 2·2 + 3·5 + 4·8 + 5·4 + 6·1.
Liczymy: 4 + 15 + 32 + 20 + 6 = 77.
Średnia: 77 : 20 = 3,85.
Wynik: średnia ocen w klasie 7a to 3,85.

Odpowiedź: Średnia ocen wynosi 3,85.

Najczęstsze błędy

Dzielenie przez liczbę różnych wartości zamiast przez liczbę wszystkich składników. Dzielimy przez $n$ — tyle, ile liczb dodaliśmy.
Liczenie każdej oceny z tabeli częstości tylko raz. Każdą wartość liczymy tyle razy, ile osób ją dostało: mnożymy ocenę przez liczbę wystąpień.
Brak sprawdzenia: średnia musi leżeć między najmniejszą a największą liczbą z listy. Jeśli wyszła poza ten zakres, gdzieś jest błąd.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Oblicz średnią arytmetyczną liczb: 12, 15, 11, 14, 18.

Zadanie 2

Cztery paczki kawy ważą kolejno: 0,48 kg; 0,52 kg; 0,50 kg; 0,46 kg. Ile wynosi średnia masa jednej paczki?

Zadanie 3

Średnia arytmetyczna sześciu liczb wynosi 7. Pięć z nich to: 5, 8, 6, 10, 4. Jaka jest szósta liczba?

Zadanie 4

W tabeli zapisano oceny z kartkówki w pewnej grupie. Oblicz średnią ocen w tej grupie.

Ocena	Liczba uczniów
3	4
4	6
5	8
6	2

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 10

Ala kupiła trzy zeszyty i blok rysunkowy. Średnia arytmetyczna cen tych czterech artykułów była równa 6 zł. Zeszyty kosztowały łącznie 15 zł.

Ile kosztował blok rysunkowy? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Średnia arytmetyczna — wprowadzenie Pi-stacja

Średnia arytmetyczna — szybka powtórka Czarno na Białym — E8

Średnia arytmetyczna na E8 — pewniaki Kwadratura Koła

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć średnią arytmetyczną?

Dodajemy wszystkie liczby i dzielimy sumę przez to, ile ich jest. Na przykład dla liczb 2, 6, 7: $(2 + 6 + 7) : 3 = 15 : 3 = 5$ .

Jaki jest wzór na średnią arytmetyczną?

$\bar{x} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$ , gdzie $a_1, \dots, a_n$ to dane liczby, a $n$ — ich liczba.

Jak obliczyć średnią ocen?

Dodajemy wszystkie oceny i dzielimy przez ich liczbę. Gdy oceny są zebrane w tabeli częstości, każdą mnożymy przez liczbę osób, które ją dostały, a sumę dzielimy przez liczbę wszystkich osób.

Jak obliczyć brakującą liczbę, gdy znam średnią?

Najpierw liczymy całą sumę: $\text{suma} = \bar{x} \cdot n$ , potem odejmujemy od niej znane liczby. Gdy średnia trzech liczb to 6, a dwie z nich to 5 i 8, suma wynosi $6 \cdot 3 = 18$ , a brakująca liczba $18 - 13 = 5$ .

Czy średnia może być większa od największej liczby?

Nie. Średnia zawsze leży między najmniejszą a największą liczbą z listy — to szybki sposób na sprawdzenie wyniku.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Interpretacja danych na wykresach Odczytywanie danych i elementy statystyki opisowej Tworzenie diagramów i wykresów Odczytywanie danych i elementy statystyki opisowej Jednostki masy Obliczenia praktyczne Jednostki objętości i pojemności Obliczenia w geometrii Kąty wierzchołkowe Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty wierzchołkowe i przyległe Kąty Konstrukcja trójkąta z boków Wielokąty, koła i okręgi Kwadraty i sześciany ułamków Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę