Konstrukcja trójkąta z trzech boków — cyrklem i linijką

Q: Jak skonstruować trójkąt o danych bokach?

Rysujemy jeden bok (najlepiej najdłuższy) jako odcinek AB. Z punktu A zataczamy cyrklem łuk o promieniu równym drugiemu bokowi, z punktu B — łuk o promieniu równym trzeciemu. Przecięcie łuków to wierzchołek C.

Q: Kiedy z trzech odcinków można zbudować trójkąt?

Gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego. Z odcinków 3, 4 i 5 cm trójkąt powstanie (3 + 4 = 7 > 5), a z 2, 3 i 6 cm — nie (2 + 3 = 5 < 6).

Q: Czy trzy boki wyznaczają trójkąt jednoznacznie?

Tak. Wszystkie trójkąty o tych samych trzech bokach mają te same kąty, więc do narysowania trójkąta wystarczą trzy długości — nie trzeba znać żadnego kąta.

Q: Co się stanie, gdy suma dwóch boków równa się trzeciemu?

Łuki spotkają się na odcinku i trójkąt nie powstanie, np. dla boków 2, 3 i 5 cm, bo 2 + 3 = 5.

Trójkąt o danych bokach konstruujemy cyrklem: rysujemy najdłuższy bok, z jego końców zataczamy łuki o długościach dwóch pozostałych boków, a przecięcie łuków to trzeci wierzchołek. Trójkąt powstanie, gdy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego.

Wielokąty, koła i okręgi · egzamin ósmoklasisty Klasa 5 → Zobacz na planecie →

Trzy boki wyznaczają trójkąt

Trzy boki jednoznacznie wyznaczają trójkąt — gdy znam długości wszystkich trzech boków, mogę go zbudować i każdy taki trójkąt będzie miał te same kąty.

Jak skonstruować trójkąt cyrklem i linijką

boki $\textcolor{#0284c7}{\mathbf{3}}$ cm, $\textcolor{#059669}{\mathbf{4}}$ cm, $\textcolor{#d97706}{\mathbf{5}}$ cm — da się zbudować
konstrukcja: rysuję najdłuższy bok, z jego końców zataczam cyrklem łuki o długościach pozostałych boków — przecięcie łuków to trzeci wierzchołek

Kiedy z trzech odcinków powstanie trójkąt

Nierówność trójkąta: w każdym trójkącie suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego boku.

$\textcolor{#0284c7}{\mathbf{3}} + \textcolor{#059669}{\mathbf{4}} = 7 > \textcolor{#d97706}{\mathbf{5}}$ — trójkąt powstanie
$\textcolor{#0284c7}{\mathbf{2}} + \textcolor{#059669}{\mathbf{3}} = 5 = \textcolor{#d97706}{\mathbf{5}}$ — łuki spotkają się na odcinku, trójkąta NIE ma
$\textcolor{#0284c7}{\mathbf{2}} + \textcolor{#059669}{\mathbf{3}} = 5 < \textcolor{#d97706}{\mathbf{6}}$ — łuki się nie zetkną, trójkąta NIE ma

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Trzy boki wyznaczają jeden trójkąt

Jeżeli znam długości wszystkich trzech boków trójkąta, to taki trójkąt jest tylko jeden — wszystkie trójkąty o tych samych trzech bokach mają również te same kąty. Dlatego do narysowania trójkąta wystarczą trzy długości — nie muszę znać żadnego kąta. To pierwsza cecha przystawania trójkątów: bok-bok-bok.

Zadanie Marek narysował trójkąt o bokach 4 cm, 5 cm i 7 cm. Ania też narysowała trójkąt o bokach 4 cm, 5 cm i 7 cm. Czy ich trójkąty muszą być takie same (mieć równe kąty)?

Oba trójkąty mają te same trzy boki: 4 cm, 5 cm, 7 cm.
Trzy boki wyznaczają trójkąt jednoznacznie — nie da się z tych długości zbudować dwóch różnych trójkątów.
Skoro trójkąty mają te same boki, mają też te same kąty.
Trójkąty Marka i Ani są takie same (przystające).

Odpowiedź: Tak — trzy boki jednoznacznie wyznaczają trójkąt, więc oba trójkąty mają te same kąty.

Przykład 2 Konstrukcja trójkąta z trzech boków krok po kroku

Trójkąt o danych bokach buduję cyrklem i linijką: 1) Rysuję jeden bok (najlepiej najdłuższy) — to odcinek AB o zadanej długości. 2) Z punktu A zataczam cyrklem łuk o promieniu równym długości drugiego boku. 3) Z punktu B zataczam łuk o promieniu równym długości trzeciego boku. 4) Punkt przecięcia obu łuków to trzeci wierzchołek C. Łączę C z A i z B — gotowy trójkąt ABC.

Zadanie Skonstruuj trójkąt o bokach 6 cm, 4 cm i 3 cm. Opisz kolejne kroki.

Najdłuższy bok to 6 cm — rysuję odcinek AB o długości 6 cm.
Z punktu A rozwieram cyrkiel na 4 cm i zataczam łuk nad odcinkiem AB.
Z punktu B rozwieram cyrkiel na 3 cm i zataczam łuk nad odcinkiem AB.
Łuki przecinają się w jednym punkcie — to wierzchołek C.
Rysuję odcinki AC i BC — trójkąt ABC gotowy.

Odpowiedź: Rysuję bok AB = 6 cm. Z A zataczam łuk o promieniu 4 cm, z B łuk o promieniu 3 cm. Łuki przecinają się w C. Łączę C z A i C z B.

Przykład 3 Czy z tych odcinków powstanie trójkąt

Aby z trzech odcinków powstał trójkąt, musi być spełniona NIERÓWNOŚĆ TRÓJKĄTA: suma dwóch krótszych boków musi być WIĘKSZA od najdłuższego. Wzór: a + b > c, gdzie c to najdłuższy. Jeśli suma dwóch krótszych równa się najdłuższemu lub jest mniejsza — trójkąt się nie sklei (boki ułożą się na linii prostej lub się nie zetkną). Procedura: znajduję najdłuższy bok, sumuję dwa pozostałe, porównuję z najdłuższym.

Zadanie Czy z odcinków: (a) 3 cm, 5 cm, 7 cm oraz (b) 2 cm, 4 cm, 8 cm da się zbudować trójkąt?

(a) Najdłuższy: 7 cm. Suma dwóch krótszych: 3 + 5 = 8.
8 > 7 → nierówność spełniona → trójkąt powstanie.
(b) Najdłuższy: 8 cm. Suma dwóch krótszych: 2 + 4 = 6.
6 < 8 → nierówność niespełniona → trójkąt NIE powstanie.

Odpowiedź: (a) Tak. (b) Nie.

Najczęstsze błędy

Rozwarcie cyrkla na długość narysowanego boku. Z jednego końca odcinka zataczamy łuk o długości drugiego boku, a z drugiego końca — o długości trzeciego.
Uznanie, że trójkąt powstanie, gdy suma dwóch krótszych boków równa się najdłuższemu. Przy bokach 2, 3 i 5 cm łuki spotkają się na odcinku — trójkąta nie ma; suma musi być większa.
Dodawanie złej pary boków. Sumujemy dwa krótsze boki i porównujemy z najdłuższym, np. dla 2, 5 i 9 cm: $2 + 5 = 7 < 9$ , więc trójkąt nie powstanie.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Ile danych potrzeba, żeby jednoznacznie wyznaczyć trójkąt — czyli żeby każdy, kto je zna, narysował taki sam trójkąt?

Zadanie 2

Konstruujesz trójkąt o bokach 7 cm, 5 cm i 4 cm. Rysujesz najpierw bok AB = 7 cm. Co robisz w następnym kroku?

Zadanie 3

Dane są trzy odcinki: 4 cm, 6 cm i 9 cm. Czy spełniają nierówność trójkąta?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Konstruowanie trójkątów — wprowadzenie Pi-stacja

Konstruowanie trójkąta o danych bokach krok po kroku #jakpoliczyć

Nierówność trójkąta MatematykaPiszPl

Najczęstsze pytania

Jak skonstruować trójkąt o danych bokach?

Rysujemy jeden bok (najlepiej najdłuższy) jako odcinek AB. Z punktu A zataczamy cyrklem łuk o promieniu równym drugiemu bokowi, z punktu B — łuk o promieniu równym trzeciemu. Przecięcie łuków to wierzchołek C.

Kiedy z trzech odcinków można zbudować trójkąt?

Gdy suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego. Z odcinków 3, 4 i 5 cm trójkąt powstanie ( $3 + 4 = 7 > 5$ ), a z 2, 3 i 6 cm — nie ( $2 + 3 = 5 < 6$ ).

Czy trzy boki wyznaczają trójkąt jednoznacznie?

Tak. Wszystkie trójkąty o tych samych trzech bokach mają te same kąty, więc do narysowania trójkąta wystarczą trzy długości — nie trzeba znać żadnego kąta.

Co się stanie, gdy suma dwóch boków równa się trzeciemu?

Łuki spotkają się na odcinku i trójkąt nie powstanie, np. dla boków 2, 3 i 5 cm, bo $2 + 3 = 5$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Rodzaje trójkątów Wielokąty, koła i okręgi Suma kątów w trójkącie Wielokąty, koła i okręgi Trójkąt równoramienny obliczenia Wielokąty, koła i okręgi Cięciwa średnica promień Wielokąty, koła i okręgi Rodzaje czworokątów Wielokąty, koła i okręgi Rysowanie cięciwy i średnicy Wielokąty, koła i okręgi Własności czworokątów i symetria Wielokąty, koła i okręgi Jednostki masy Obliczenia praktyczne

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę