Proste doświadczenia losowe — prawdopodobieństwo, wzór i przykłady

Q: Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo?

P(A) = |A|/|Ω| — liczba wyników sprzyjających zdarzeniu podzielona przez liczbę wszystkich możliwych wyników. Wzór działa, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne (symetryczna moneta, uczciwa kostka).

Q: Jak obliczyć prawdopodobieństwo przy rzucie kostką?

Zwykła kostka ma 6 wyników, więc |Ω| = 6. Wypisz wyniki sprzyjające i podziel ich liczbę przez 6: liczba większa od 4 to 5 i 6, więc P = 2/6 = 1/3.

Q: Co to jest zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe?

Zdarzenie pewne zachodzi zawsze i ma P = 1 (np. wypadnie liczba od 1 do 6 na zwykłej kostce). Zdarzenie niemożliwe nie zachodzi nigdy i ma P = 0 (np. wypadnie 7 na sześciennej kostce).

Q: Jak obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli danego koloru?

Policz wszystkie kule, wszystkich kolorów razem — to |Ω|. Policz kule pasujące do zdarzenia — to |A|. Przy 2 czerwonych i 6 niebieskich: P(czerwona) = 2/8 = 1/4.

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia to $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich możliwych wyników. Wynik zawsze leży między $0$ a $1$ .

Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa · egzamin ósmoklasisty Klasa 8 → Zobacz na planecie → Co trzeba umieć wcześniej? →

Wzory w skrócie

Prawdopodobieństwo zdarzenia $|A|$ — liczba wyników sprzyjających, $|\Omega|$ — liczba wszystkich możliwych wyników: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$
Zakres prawdopodobieństwa $P = 1$ — zdarzenie pewne, $P = 0$ — zdarzenie niemożliwe: $0 \le P(A) \le 1$

Co to jest doświadczenie losowe

Doświadczenie losowe to czynność, której wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć z góry — rzut monetą, rzut kostką, losowanie kuli z worka. Wszystkie możliwe wyniki takiego doświadczenia tworzą przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$ .

Wzór na prawdopodobieństwo

Wzór klasycznej definicji prawdopodobieństwa (gdy wszystkie wyniki są równoprawdopodobne — moneta symetryczna, uczciwa kostka, kule jednakowych rozmiarów):

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich możliwych wyników}}.$

Rzut monetą, rzut kostką, losowanie kul

Rzut monetą. Dwa wyniki: orzeł (O) i reszka (R). $|\Omega| = 2$ , $P(\text{orzeł}) = \tfrac{1}{2}$ .
Rzut sześcienną kostką. Sześć wyników: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . $|\Omega| = 6$ , $P(\text{konkretna liczba}) = \tfrac{1}{6}$ . Dla kostki wielościennej (np. $n$ ścian) $|\Omega| = n$ .
Losowanie kuli z zestawu. Liczymy wszystkie kule i liczymy te, które pasują do zdarzenia.

Zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe

$0 \le P(A) \le 1$ dla każdego zdarzenia.
Zdarzenie pewne — zachodzi zawsze: $P = 1$ (np. „wypadnie liczba od $1$ do $6$ " na zwykłej kostce).
Zdarzenie niemożliwe — nie zachodzi nigdy: $P = 0$ (np. „wypadnie $7$ " na sześciennej kostce).
Wynik podajemy jako ułamek zwykły w postaci nieskracalnej, np. $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ .

Najczęstsze błędy w zadaniach z prawdopodobieństwa

W liczniku ma być liczba sprzyjających, nie wszystkich. Najpierw policz $|\Omega|$ , potem $|A|$ .
Ułamek skróć do najprostszej postaci.
W losowaniu kul liczy się łączna liczba wszystkich kul — sumuj wszystkie kolory.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Wypisywanie wszystkich możliwych wyników

Aby rozwiązać zadanie z prawdopodobieństwa, najpierw wypisz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia. Zbiór tych wyników nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych $\Omega$ . Jego liczebność $|\Omega|$ stanie się mianownikiem w ułamku $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$ .

Zadanie Rzucamy raz ośmiościenną kostką (ściany ponumerowane liczbami od 1 do 8). Wypisz przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω i podaj jej liczebność.

Kostka ośmiościenna ma 8 ścian ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8.
Każdy z tych numerów może wypaść z takim samym prawdopodobieństwem — to są wyniki elementarne.
Spisujemy je w nawiasie klamrowym: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Zliczamy elementy: |Ω| = 8.

Odpowiedź: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, |Ω| = 8.

Przykład 2 Prawdopodobieństwo jednego wyniku na kostce

Gdy wszystkie wyniki doświadczenia są równoprawdopodobne (moneta symetryczna, uczciwa kostka, kule tych samych rozmiarów), prawdopodobieństwo wypadnięcia konkretnego wyniku elementarnego wynosi $P = \tfrac{1}{|\Omega|}$ .

Zadanie Rzucamy raz uczciwą sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba 4?

Kostka sześcienna ma 6 ścian, więc Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6.
Sprzyjający wynik to dokładnie jeden: wypadnięcie 4.
Wstawiamy do wzoru: P(4) = liczba sprzyjających / |Ω| = 1/6.
Ułamka 1/6 nie da się skrócić — to ostateczna odpowiedź.

Odpowiedź: P = 1/6.

Przykład 3 Prawdopodobieństwo zdarzenia na kostce

Gdy zdarzenie $A$ obejmuje kilka wyników elementarnych (np. „wypadnie liczba parzysta", „wypadnie liczba większa od 4"), wypisujemy wszystkie sprzyjające wyniki, zliczamy je i stosujemy wzór $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$ . Otrzymany ułamek skracamy.

Zadanie Rzucamy raz sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba parzysta?

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, więc |Ω| = 6.
Wyniki sprzyjające zdarzeniu „wypadnie parzysta”: 2, 4, 6 — to 3 wyniki, więc |A| = 3.
Stosujemy wzór: P(A) = |A| / |Ω| = 3/6.
Skracamy ułamek: 3/6 = 1/2.

Odpowiedź: P = 3/6 = 1/2.

Przykład 4 Losowanie kuli z worka z kulami w kilku kolorach

W zadaniach z losowaniem kuli z worka |Ω| to łączna liczba wszystkich kul (sumuj kolory!). |A| to liczba kul danego koloru lub spełniających warunek. Stosujemy $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$ i skracamy ułamek.

Zadanie W worku jest 4 kule czerwone, 3 zielone i 5 niebieskich. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej?

Liczymy wszystkie kule: 4 + 3 + 5 = 12, więc |Ω| = 12.
Kul zielonych jest 3, więc |A| = 3.
Wstawiamy do wzoru: P(zielona) = 3/12.
Skracamy ułamek: 3/12 = 1/4.

Odpowiedź: P = 3/12 = 1/4.

Przykład 5 Zdarzenie pewne — prawdopodobieństwo 1

Zdarzenie pewne to takie, które zachodzi ZAWSZE — każdy możliwy wynik doświadczenia spełnia warunek zdarzenia. Wszystkie elementy przestrzeni Ω należą do zdarzenia, więc P = |Ω|/|Ω| = 1. Sygnał: warunek jest spełniony dla każdego elementu Ω (np. „liczba mniejsza od 10" przy rzucie kostką 6-ścienną).

Zadanie Rzucamy raz sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba mniejsza od 10?

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6.
Warunek: wynik mniejszy od 10. Wszystkie wyniki (1-6) są mniejsze od 10.
Wszystkie 6 wyników spełnia warunek → |A| = 6.
P = 6/6 = 1.
To zdarzenie pewne.

Odpowiedź: P = 1 (zdarzenie pewne).

Przykład 6 Zdarzenie niemożliwe — prawdopodobieństwo 0

Zdarzenie niemożliwe to takie, które NIGDY nie zachodzi — żaden wynik doświadczenia nie spełnia warunku zdarzenia. Liczba elementów zdarzenia wynosi 0, więc P = 0/|Ω| = 0. Sygnał: warunek jest niespełniony dla każdego elementu Ω (np. „wypadnie 7" przy rzucie kostką 6-ścienną — 7 w ogóle nie jest możliwym wynikiem).

Zadanie Rzucamy raz sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba 7?

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6.
Warunek: wynik = 7. Liczba 7 nie należy do Ω.
Żaden wynik nie spełnia warunku → |A| = 0.
P = 0/6 = 0.
To zdarzenie niemożliwe.

Odpowiedź: P = 0 (zdarzenie niemożliwe).

Najczęstsze błędy

Liczba wszystkich wyników w liczniku. W liczniku jest liczba wyników sprzyjających $|A|$ , w mianowniku — wszystkich $|\Omega|$ .
Nieskrócony ułamek. Wynik podajemy w postaci nieskracalnej, np. $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ .
W losowaniu kul — mianownik równy liczbie kul jednego koloru. $|\Omega|$ to łączna liczba wszystkich kul, sumujemy wszystkie kolory.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Rzucamy raz sześcienną kostką do gry. Ile elementów ma przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω?

Zadanie 2

Rzucamy raz uczciwą sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba 5?

Zadanie 3

Rzucamy raz sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba większa od 4?

Zadanie 4

W worku jest 5 kul czerwonych, 3 niebieskie i 2 zielone. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej?

Zadanie 5

W worku są tylko 4 kule zielone (nie ma kul w innym kolorze). Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli zielonej?

Zadanie 6

Rzucamy raz ośmiościenną kostką (ściany ponumerowane od 1 do 8). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba 10?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 10

Na loterię przygotowano 72 losy i ponumerowano je kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 72. Wygrywają losy o numerach od 1 do 9 i od 46 do 72. Pozostałe losy są puste. Ada jako pierwsza wyciąga jeden los.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Adę losu pustego jest równe

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Prawdopodobieństwo — wprowadzenie Pi-stacja

Zdarzenia losowe — całościowe omówienie Lernado

Zad 25. Rachunek prawdopodobieństwa — rzut monetą i kostką Policzymy się z tą Matmą!

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo?

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ — liczba wyników sprzyjających zdarzeniu podzielona przez liczbę wszystkich możliwych wyników. Wzór działa, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne (symetryczna moneta, uczciwa kostka).

Co to jest doświadczenie losowe?

Czynność, której wyniku nie da się przewidzieć z góry, np. rzut monetą, rzut kostką albo losowanie kuli z worka. Wszystkie możliwe wyniki tworzą zbiór $\Omega$ .

Jak obliczyć prawdopodobieństwo przy rzucie kostką?

Zwykła kostka ma $6$ wyników, więc $|\Omega| = 6$ . Wypisz wyniki sprzyjające i podziel ich liczbę przez $6$ : liczba większa od $4$ to $5$ i $6$ , więc $P = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ .

Co to jest zdarzenie pewne i zdarzenie niemożliwe?

Zdarzenie pewne zachodzi zawsze i ma $P = 1$ (np. wypadnie liczba od $1$ do $6$ na zwykłej kostce). Zdarzenie niemożliwe nie zachodzi nigdy i ma $P = 0$ (np. wypadnie $7$ na sześciennej kostce).

Jak obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli danego koloru?

Policz wszystkie kule, wszystkich kolorów razem — to $|\Omega|$ . Policz kule pasujące do zdarzenia — to $|A|$ . Przy $2$ czerwonych i $6$ niebieskich: $P(\text{czerwona}) = \tfrac{2}{8} = \tfrac{1}{4}$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Zliczanie obiektów Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa Cechy przystawania trójkątów Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Długość okręgu Długość okręgu i pole koła Dowody geometryczne Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty przy prostych równoległych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Mnożenie dwumianów Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Objętość i pole ostrosłupa Geometria przestrzenna Pole koła Długość okręgu i pole koła

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę