Zliczanie obiektów — wytłumaczenie, wzór i zadania

Zliczanie obiektów to liczenie elementów zbioru opisanego pewnym warunkiem. W tej lekcji uczymy się robić to bez gotowych wzorów kombinatorycznych — przez wypisywanie systematyczne albo bezpośrednie zliczanie w zakresie.

Trzy główne techniki:

1. Zliczanie w przedziale liczbowym. Jeśli szukasz liczb z przedziału, które spełniają warunek typu „podzielne przez $k$", znajdź najmniejszą i największą taką liczbę, a potem policz:

   $\text{ile} = \frac{\text{ostatnia} - \text{pierwsza}}{k} + 1.$

2. Wypisywanie systematyczne. Ustaw obiekty w jasnej kolejności (np. cyfra dziesiątek od $1$ do $9$, albo elementy w kolejności alfabetycznej) i przejdź po wszystkich przypadkach — wtedy żadnego nie pominiesz i żadnego nie policzysz dwa razy.

3. Sprawdzanie dwóch warunków. Gdy element ma spełniać warunek $A$ i warunek $B$, zwykle wypisujemy najpierw elementy spełniające trudniejszy warunek, a potem sprawdzamy drugi.

Najczęstsze pułapki:

• Liczby od $20$ do $60$ to $60 - 20 + 1 = 41$ liczb (a nie $60 - 20 = 40$). Pamiętaj o $+1$.
• „Liczba dwucyfrowa" to liczba od $10$ do $99$ — cyfra dziesiątek nie może być $0$.
• W parze „dwa różne elementy" zwykle traktujemy $\{A, B\}$ i $\{B, A\}$ jako tę samą parę (chyba że treść mówi inaczej).