Zliczanie obiektów — liczby podzielne, pary i wypisywanie systematyczne

Q: Ile jest liczb od 20 do 60?

60 - 20 + 1 = 41, a nie 40 — obie granice też się liczą. Ta sama zasada działa dla każdego przedziału liczb całkowitych.

Liczby z przedziału podzielne przez $k$ liczymy wzorem $\frac{\text{ostatnia} - \text{pierwsza}}{k} + 1$ . Pozostałe przypadki wypisujemy systematycznie, w ustalonej kolejności — tak, żeby żadnego nie pominąć ani nie policzyć dwa razy.

Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa · egzamin ósmoklasisty Klasa 8 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Ile liczb z przedziału dzieli się przez k pierwsza i ostatnia — najmniejsza i największa liczba z przedziału podzielna przez $k$: $\text{ile} = \frac{\text{ostatnia} - \text{pierwsza}}{k} + 1$

Co to jest zliczanie obiektów

Zliczanie obiektów to liczenie elementów zbioru opisanego pewnym warunkiem. Robimy to bez gotowych wzorów kombinatorycznych — przez wypisywanie systematyczne albo bezpośrednie zliczanie w zakresie.

Ile jest liczb podzielnych przez k w przedziale

Zliczanie w przedziale liczbowym. Jeśli szukasz liczb z przedziału, które spełniają warunek typu „podzielne przez $k$ ", znajdź najmniejszą i największą taką liczbę, a potem policz:

$\text{ile} = \frac{\text{ostatnia} - \text{pierwsza}}{k} + 1.$

Wypisywanie systematyczne

Wypisywanie systematyczne. Ustaw obiekty w jasnej kolejności (np. cyfra dziesiątek od $1$ do $9$ , albo elementy w kolejności alfabetycznej) i przejdź po wszystkich przypadkach — wtedy żadnego nie pominiesz i żadnego nie policzysz dwa razy.

Obiekty spełniające dwa warunki naraz

Sprawdzanie dwóch warunków. Gdy element ma spełniać warunek $A$ i warunek $B$ , zwykle wypisujemy najpierw elementy spełniające trudniejszy warunek, a potem sprawdzamy drugi.

Najczęstsze pułapki przy zliczaniu

Liczby od $20$ do $60$ to $60 - 20 + 1 = 41$ liczb (a nie $60 - 20 = 40$ ). Pamiętaj o $+1$ .
„Liczba dwucyfrowa" to liczba od $10$ do $99$ — cyfra dziesiątek nie może być $0$ .
W parze „dwa różne elementy" zwykle traktujemy $\{A, B\}$ i $\{B, A\}$ jako tę samą parę (chyba że treść mówi inaczej).

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Ile liczb z przedziału dzieli się przez daną liczbę

Aby policzyć, ile liczb naturalnych z przedziału jest podzielnych przez $k$ , znajdź najmniejszą i największą taką liczbę, a potem zastosuj wzór $(\text{ostatnia} - \text{pierwsza}) : k + 1$ .

Zadanie Ile jest liczb naturalnych od 20 do 60, które są podzielne przez 4?

Najmniejsza liczba od 20 do 60 podzielna przez 4: 20 (bo 20 = 4·5).
Największa liczba od 20 do 60 podzielna przez 4: 60 (bo 60 = 4·15).
Stosujemy wzór: (60 − 20) : 4 + 1 = 40 : 4 + 1 = 10 + 1 = 11.
Odpowiedź: 11 liczb.

Odpowiedź: 11

Przykład 2 Liczby dwucyfrowe o podanej sumie cyfr

Aby policzyć liczby dwucyfrowe spełniające warunek na cyfry, ustaw cyfrę dziesiątek systematycznie od $1$ do $9$ i dla każdej sprawdź, jaka cyfra jedności pasuje. Wszystkie pasujące pary wypisz po kolei.

Zadanie Ile jest liczb dwucyfrowych, których suma cyfr wynosi 7?

Ustawmy cyfrę dziesiątek d od 1 do 9. Cyfra jedności j musi spełniać j = 7 − d (i być cyfrą, czyli 0 ≤ j ≤ 9).
d = 1: j = 6, liczba 16.
d = 2: j = 5, liczba 25.
d = 3: j = 4, liczba 34.
d = 4: j = 3, liczba 43.
d = 5: j = 2, liczba 52.
d = 6: j = 1, liczba 61.
d = 7: j = 0, liczba 70.
d = 8: j = −1 — nie jest cyfrą, koniec.
Wypisaliśmy 7 liczb: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70.

Odpowiedź: 7

Przykład 3 Pary dwóch różnych elementów ze zbioru

Gdy ze zbioru wybieramy dwa różne elementy i kolejność wyboru nie ma znaczenia (czyli para $\{A, B\}$ to ta sama para co $\{B, A\}$ ), wypisujemy pary systematycznie: ustalamy pierwszy element (w kolejności np. alfabetycznej) i wymieniamy tylko te elementy, które stoją dalej w tej kolejności.

Zadanie Na ile sposobów można wybrać dwie różne litery ze zbioru {A, B, C, D, E}?

Wybieramy pary {x, y}, gdzie x jest wcześniej w alfabecie niż y — wtedy żadnej pary nie policzymy dwa razy.
Pierwszy element A: pary {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E} — 4 pary.
Pierwszy element B: pary {B,C}, {B,D}, {B,E} — 3 pary.
Pierwszy element C: pary {C,D}, {C,E} — 2 pary.
Pierwszy element D: para {D,E} — 1 para.
Razem: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 par.

Odpowiedź: 10

Przykład 4 Liczby spełniające dwa warunki naraz

Gdy szukamy obiektów spełniających warunek $A$ i warunek $B$ , wypisujemy najpierw obiekty spełniające trudniejszy warunek (zwykle ten, który daje krótszą listę), a potem wykreślamy te, które nie spełniają drugiego warunku.

Zadanie Ile jest liczb naturalnych od 1 do 30, które są jednocześnie parzyste i podzielne przez 3?

Najpierw wypisujemy liczby od 1 do 30 podzielne przez 3 (krótsza lista): 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
Z tej listy zostawiamy tylko parzyste: 6, 12, 18, 24, 30.
Razem: 5 liczb.

Odpowiedź: 5

Najczęstsze błędy

Liczenie liczb od $20$ do $60$ jako $60 - 20 = 40$ . Obie granice się liczą, więc jest ich $60 - 20 + 1 = 41$ — pamiętaj o $+1$ .
Liczby dwucyfrowe zaczynające się od zera. Liczba dwucyfrowa to liczba od $10$ do $99$ — cyfra dziesiątek nie może być $0$ .
Liczenie par $\{A, B\}$ i $\{B, A\}$ jako dwóch różnych. Przy wyborze dwóch różnych elementów to zwykle ta sama para, chyba że treść mówi inaczej.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Ile jest liczb naturalnych od 10 do 50, które są podzielne przez 3?

Zadanie 2

Ile jest liczb dwucyfrowych, których suma cyfr wynosi 4?

Zadanie 3

Na ile sposobów można wybrać dwóch różnych uczniów ze zbioru {Ala, Bartek, Czarek, Dorota}? Kolejność wyboru nie ma znaczenia.

Zadanie 4

Ile jest liczb naturalnych od 1 do 50, które są jednocześnie podzielne przez 4 i podzielne przez 6?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 14

W pudełku było wyłącznie 6 kulek zielonych i 8 kulek niebieskich. Po dołożeniu do tego pudełka pewnej liczby kulek zielonych prawdopodobieństwo wylosowania kulki niebieskiej jest równe $\frac{1}{4}$ .

Ile kulek zielonych dołożono do pudełka? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

W pudełku było wyłącznie 6 kulek zielonych i 8 kulek niebieskich. Po dołożeniu do tego pudełka pewnej liczby… Egzamin ósmoklasisty 2022 — matematyka · zadanie 14

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo — powtórka do egzaminu 8-klasisty Pi-stacja

Prawdopodobieństwo — liczebność zbiorów MatFiz24.PL

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo — powtórka 8-klasisty Lekcje z CDT

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć, ile jest liczb podzielnych przez daną liczbę w przedziale?

Znajdź najmniejszą i największą taką liczbę w przedziale i policz $\frac{\text{ostatnia} - \text{pierwsza}}{k} + 1$ . Np. liczb od $1$ do $100$ podzielnych przez $3$ jest $(99 - 3) : 3 + 1 = 33$ .

Ile jest liczb od 20 do 60?

$60 - 20 + 1 = 41$ , a nie $40$ — obie granice też się liczą. Ta sama zasada działa dla każdego przedziału liczb całkowitych.

Jak nie pominąć żadnego przypadku przy zliczaniu?

Wypisuj systematycznie: ustaw obiekty w jasnej kolejności (np. cyfra dziesiątek od $1$ do $9$ albo litery alfabetycznie) i przejdź po kolei wszystkie przypadki.

Jak policzyć pary różnych elementów ze zbioru?

Ustal pierwszy element w kolejności (np. alfabetycznej) i łącz go tylko z elementami stojącymi dalej. Z czterech liter A, B, C, D wychodzi $3 + 2 + 1 = 6$ par.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Proste doświadczenia losowe Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa Cechy przystawania trójkątów Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Długość okręgu Długość okręgu i pole koła Dowody geometryczne Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty przy prostych równoległych Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Mnożenie dwumianów Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Objętość i pole ostrosłupa Geometria przestrzenna Pole koła Długość okręgu i pole koła

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę